不允许卖空的组合投资决策

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1、第11卷 第1期运 筹 与 管 理Vol.11,No.12002年2月OPERATIONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCEFeb.,2002 收稿日期:2001210202作者简介:丁元耀(19652)男,安徽五河人,硕士,宁波大学商学院副教授。不允许卖空的组合投资决策丁元耀(宁波大学 数量经济研究所,浙江 宁波315211)摘 要:本文建立了一定置信水平下最小收益最大准则下的组合投资决策模型,该模型不仅适用于风险规避者,也适用于风险偏好者。在风险资产的收益率联合服从正态分布的假设下,给出不容许卖空情形下的求解有效资产组合的算法,并给出一个算例。关键词:2有效资

2、产组合;置信度;风险中图分类号:F830159;O22112 文献标识码:A 文章编号:100723221(2002)0120092206Portfolio Selection Decision with Limited Short SellingDING Yuan2yao(Research Institute of Econometrics,Ningbo University,Ningbo315211,China)Abstract:The portfolio selection model to maximize the minimal return rate under a certain

3、 confi2dent level is studied.Given that the return rate of risk assets is jointly distributed with normaldistribution and short selling is not allowed,a procedure is given to find the efficient portfolio.Fi2nally,an example is calculated.Key words:2efficient portfolio;confident level;risk0 引言投资者投资于某

4、种资产是为了获取收益,由于不确定因素的影响,使得投资结果取得的未来收益具有不确定性,因此投资者必须承担相应的风险,如债券、股票、房地产的投资等。为了减少风险获取较为稳定的收益,投资者一般选择将资金分散投资于不同的资产,这就是资产组合。研究如何将资金按一定比例分散投资于不同资产的决策模型称为组合投资决策模型,相关的理论称为组合投资理论,马柯维茨(Markowitz)是组合投资理论的创始人之一,采用方差作为度量风险的尺度,建立了著名的均值 方差模型1(EV模型)。在EV模型中,投资者选择满足下列条件的EV有效资产组合进行投资:(1)在既定风险水平下,收益最大;(2)在既定收益水平下,风险最小。所有

5、EV有效资产组合对应的收益和风险(方差)形成的轨线称为 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.EV有效前沿。为解决EV模型求解的复杂性,文献2提出了均值 平均差(或均值 离差)模型,关于现代组合投资理论的研究进展可参考文献34。文献510考虑不同的风险尺度或者投资者的态度建立了不同的组合投资模型,文献1116在EV模型的框架下对不允许卖空限制下有效资产组合解的算法或模型性质进行了探讨。本文研究了一定置信水平下最小收益最大准则下的组合投资决策模型,该模型不仅适用于风险规避者,也适用于风险偏好者。在

6、风险资产的收益率联合服从正态分布的假设下,给出不容许卖空情形下的求解有效资产组合的算法,并给出一个算例。1 最小收益最大准则下的组合投资模型的建立今有n种可供投资的风险资产(如证券、债券、房地产等)Si(i=1,n),在投资期末的收益率分别为R1,R2,Rn,它们是随机变量,并记R=(R1,R2,Rn)T,T表示矩阵的转置。某投资者现有一笔资金W,想完全用于分散投资,那么应该如何分配投资资金呢?假设不存在交易手续费用和印花税等,而且对各资产的投资为无限可分的。若用xi表示投资者对第i种风险资产的投资额占总投资额W的比重(i=1,2,n),并记x=(x1,x2,xn)T,F=(1,1,1)T,则

7、x代表一个可行的资产组合,满足FTx=1和x0(不容许卖空),且其对应的投资期末的收益率为R(x)=RTx。若x为选择的资产组合,则在给定置信水平下投资者的最低实际收益率为Ox(),它满足:P(R(x)Ox()=1-。如果投资者的预期(或保留)收益率为R0(常数),则在给定置信水平下投资者的最低超额收益r(x,)=W(Ox()-R0)。显然,一般的投资者不仅希望最低超额收益越大越好,同时也希望最低超额收益不能实现的可能性(风险或不确定性)1-越小越好,但两者因r(x,)随增大而减小而不可兼得。投资者可以采用的一个决策准则是根据自己满意的置信水平,选择适当的资产组合x使能够实现的最低超额收益达到

8、最大,即把问题转化为如下的数学模型:模型(A)maxxr(x,)=W(Ox()-R0)s.t.P(R(x)0为收益率协方差矩阵,则R(x)=RTxN(xT,xTx),从而Ox()=xT+Z1-xTx,其中Z1-为一维标准正态分布N(0,1)的(下侧)1-分位点。因此,模型A可以简化为如下的模型(B):模型(B)maxxOx()=xT+Z1-xTxs.t.FTx=1x0一般地,风险规避者取较大的置信水平(50%),此时Z1-0,而风险偏好者则取较39第1期 丁元耀:不允许卖空的组合投资决策 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All

9、rights reserved.小的置信水平(0,上述模型不仅适用于风险规避者,也适用于风险偏好者。在实际操作中可以对不同的,求解模型(B)得到不同的资产组合(称为 2有效资产组合),并计算相应的最低超额收益率Ox(),最后兼顾和R0选择合适的资产组合进行投资。2 不允许卖空情形 2有效资产组合的算法模型(B)存在非负约束,是一个非线性规划问题,虽然可以利用Kuhn2Tucker条件将其转化为线性规划问题求近似解,但求解并不容易。如果市场容许卖空存在,模型(B)中非负约束可以去掉,则 2有效资产组合可以通过求解如下的模型(B)来确定:模型(B)maxxOx()=xT+Z1-xTxs.t.FTx

10、=1由于模型(B)可以利用拉格朗日(Lagrange)乘子法求解,因此,本节希望通过讨论模型(B)与模型(B)的关系,给出模型(B)的求解算法。定理1 对模型(B)的最优解x3=(x31,x32,x3n)T,(1)若x30,则x3必为模型(B)的最优解;(2)若x3的存在k个负分量x3i1,x3i2,x3ik,则模型(B)的最优解必在集合C=kt=1Cit中,其中Cit为与xit=0对应的模型(B)的可行解的集合。证明(1)很显然。(2)的证明采用反证法。假设?x=(?x1,?x2,?xn)T0为模型(B)的最优解,但?x/C,即?xkt=1C-it。从而?x的分量满足?xit 0,(t=1,

11、2,k),其余分量非负。令 x(a)=a?x+(1-a)x3,O(a)=O x()=xT+Z1-xT x,a0,1。显然FT x=1,即 x为模型(B)的可行解。由于:O(a)=Z1-xT x-1(?x-x3)T(?x-x3)-(xT x)-1(?x-x3)T x2且根据对称矩阵的乔列斯基分解定理,存在唯一的对角元素非零的上三角阵A,使得=ATA,利用柯西不等式,可得(?x-x3)T x2(?x-x3)T(?x-x3)xT x i如果Z1-0),则有:O(a)0),即得O(a)为0,1上的严格上凸(或严格下凹)函数。又由于x3为模型(B)的最优解,所以当a(0,1时,有:O(0)=Ox3()O

12、 x()=O(a)。从而O(a)为严格单调递减的函数,对a0,1有O(a)O(1)=O?x()。由于 x(a)关于a连续,且 x(1)=?x,所以在1的附近存在a,使 x(a)的分量满足 xit0,(t=1,2,k),其余分量非负。从而 x(a)为模型(B)的可行解,且O x()=O()O(1)=O?x()这与?x=(?x1,?x2,?xn)T0为模型(B)的最优解相矛盾,所以假设?x/C不成立。49运 筹 与 管 理 2002年第11卷 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.故原命题得证。根据

13、定理1,对于事先给定的置信水平,可以给出不允许卖空情形 2有效资产组合(模型(B)的最优解)的算法步骤如下:步骤1 求解允许卖空情形下的 2有效资产组合,即求解模型(B),记其解为x3;步骤2 如果x30,则x3即为模型(B)的最优解;步骤3 如果x3有负分量,不妨设其负分量为x3i1,x3i2,x3ik,那么在模型(B)中分别令x3i1=0,x3i2=0,x3ik=0,即分别去掉资产Sit(t=1,2,k)后,求模型(B)的最优值记为Oit,并求出O=maxtOit,记录与目标值O对应的模型(B)的解为x3 3;步骤4 如果x3 30,则x3 3即为模型(B)的最优解;否则,x3 3有负分量

14、,则重复进行步骤3,直到找到模型(B)的最优解为止。由于可选资产的个数为有限的(通常事先经过初步筛选,数字不会太大),所以运行的过程不会太长。3 模型的进一步分析在上节给出的求解模型(B)的步骤中,关键是求解模型(B),关于模型(B)本文给出如下结论:记A对角元素非零的上三角阵(乔列斯基分解),使得=ATA,且向量a和向量b分别为线性方程组ATa=和ATb=F的解,并记c=-(aTb)2-(bTb)(aTa)(bTb)-1,=(aTb)2-(bTb)(aTa)+(bTb)Z21-1=-aTb+bTb,y(1)=a+1b2=-aTb-bTb,y(2)=-a+2b定理2 模型(B)从而模型(B)存

15、在最优解即 2有效资产组合的必要条件是满足如下条件:Z1-C定理3 在Z1-c的条件下,模型(B)的最优解和相应的最优目标值分别为:x=A-1y(2)和O()=aTb+bTb由于模型(B)不存在不等式约束,可以采用Lagrange乘子法得到最优解,限于篇幅且不是本文的重点,定理2和定理3的证明略。4 一个算例设有5种证券,收益的期望值为:=(0120801353012620116701318)T59第1期 丁元耀:不允许卖空的组合投资决策 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.收益率的协方差为:

16、=21102121-21161162-211521212175-21461189-2147-2116-21462156-1185215411621189-11851142-1188-2115-21472154-11882166下面以此为例给出不允许卖空情形下 2有效资产组合的解。根据定理2可以得到问题有解的置信水平的范围:01664 1或者0 01336。表1中列出了该例的一部分计算结果:表1 2有效资产组合x、目标值O()计算结果Table 1Results of 2efficient portfolio and objective value019501900185018001750170

17、01690168Z1-11645-11282-11036-01842-01674-01524-01496-01468x10105301052010520105101050010480104701035x20100601029010570109501158013150139001464x30122701223012180121101200011720115901135x40151101484014530140901338011590107301000 x50120401212012210123301254013060133101365O-01027010290106801100011290116

18、10116801177 从表中数据可以看出:投资者选择资产组合x=(01048,01315,01172,01159,01306)T可以有70%的置信度保证期末的实际收益率不低于1611%,可以算得该资产组合的收益率期望值为29%,方差为01061。5 结束语由于投资者为了分散风险而选择组合投资时,存在心理预期,当实际投资结果实现的收益超过预期时,投资者获得超预期盈利,然而超预期盈利越大,实现的可能性一般会减少。风险规避者或厌恶者选择较高的置信水平,风险偏好者则可能选择的置信水平较小。本文提出的一定置信水平下最小收益最大化的组合投资决策模型,就是在选择资产组合进行投资时,保证在一定的置信水平下使

19、能够实现的最低超预期盈利最大,该模型不仅适用于风险规避者,也适用于风险偏好者。文中不仅给出了不允许卖空情形的有效资产组合的求解步骤,还给出允许卖空情形的解的表达式,便于操作,因而具有实际应用参考价值。但是,模型讨论和结果是在正态分布的假设下得到的,没有考虑交易费用的存在以及多阶段投资的情况,因而具有一定的局限性。69运 筹 与 管 理 2002年第11卷 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.参考文献1 Markowitz Harry H.Mean2Variance Analysis in Po

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