《复变函数论第3章第2节课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数论第3章第2节课件（36页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、2 2 柯西积分定理柯西积分定理1、柯西积分定理2、不定积分3、柯西积分定理的推广4、柯西积分定理推广到复周线的情形1.1.柯西积分定理柯西积分定理观察上节例观察上节例4，同，同，或说沿或说沿z平面上任何闭曲线平面上任何闭曲线的的它沿连接起点和终点的任何路径它沿连接起点和终点的任何路径C的积分值都相的积分值都相此时积分与路线无关，此时积分与路线无关，观察上节例观察上节例2,积分为零积分为零.(从而积分值不为零从而积分值不为零).观察上节例观察上节例5,满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程,由于不由于不因而在复平面内处处不解析因而在复平面内处处不解析,复积分与路径无关的条件可归结为研究沿复积分与路径
2、无关的条件可归结为研究沿任一简单闭曲线积分为零的条件任一简单闭曲线积分为零的条件.1825年法国数年法国数学家柯西解决了这一问题学家柯西解决了这一问题,人们称之为人们称之为柯西积分柯西积分定理，定理，它是研究复变解析理论的基石它是研究复变解析理论的基石.由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线有关积分是否与路线有关,可能可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关与被积函数的解析性及区域的单连通性有关.定理定理3.3(柯西积分定理柯西积分定理)1851年，黎曼在给定理附加年，黎曼在给定理附加“在在D内连续内连续”的条件下，的条件下，得到如下的简单证明得到如下的简单证明:黎曼证明：黎曼证明：在
3、公式在公式柯西积分定理柯西积分定理也称也称柯西柯西古萨基本定理古萨基本定理.(定理的古萨证明略定理的古萨证明略).2.2.不定积分不定积分定理定理 3.6证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.由于积分与路线无关由于积分与路线无关,由积分的估值性质由积分的估值性质,此定理与数学分析中的对变上限积分的求导此定理与数学分析中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.证毕证毕定理定理3.8 由原函数的定义，可得到类似于数学分析由原函数的定义，可得到类似于数学分析中的中的牛顿牛顿-莱布尼兹莱布尼兹公式公式说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用与复变函数的积分就可以用与数学分析
4、中类似的方法去计算数学分析中类似的方法去计算.例例1 1解解(使用了分析学中的使用了分析学中的“凑微分凑微分”法法)例例2 2解解此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”例例3 3解解例例4 4解解3.3.柯西积分定理的推广柯西积分定理的推广4.4.柯西积分定理推广到复周线的情形柯西积分定理推广到复周线的情形 现将柯西积分定理推广到多连域中现将柯西积分定理推广到多连域中.即将柯西积即将柯西积分定理从以单分定理从以单(一个一个)周线为边界的有界单连通区域，周线为边界的有界单连通区域，推广到以多条周线组成的推广到以多条周线组成的“复周线复周线”为边界的有界多为边界的有界多连
5、通区域连通区域.定义定义3.3定理定理3.10证明：证明：于是，由复积分的基本性质于是，由复积分的基本性质(3)可得到可得到定理定理 3.10也称也称复合闭路定理复合闭路定理.解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值域内作连续变形而改变它的值.注意注意:在变形过程中曲线不经过函在变形过程中曲线不经过函数数 f(z)的不解析的点的不解析的点.闭路变形原理闭路变形原理这一重要事实，称作这一重要事实，称作例例5 5解解根据柯西积分定理得根据柯西积分定理得例例6 6解解依题意知依题意知,根据复合闭路定理根据复合闭路定理,从上述两例可知，借助于复合闭路定理，一些比从上述两例可知，借助于复合闭路定理，一些比较复杂函数的积分可以转化为比较简单函数的积分来较复杂函数的积分可以转化为比较简单函数的积分来计算计算.这是计算复积分常用的一种方法这是计算复积分常用的一种方法.作业作业:
复变函数论第3章第2节课件
