工程力学-组合变形

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1、10组合变形1、斜弯曲，弯扭，拉(压)弯，偏心拉伸(压缩)等组合变形的概念;2、危险截面和危险点的确定，中性轴的确定;如双向偏心拉伸，中性轴方程为z y1 + yz +黄-y = 0y z3、危险点的应力计算，强度计算,变形计算、。4、截面核心。F解题范例10.1、定性分析图10。1示结构中各构件将发生哪些基本变形?解(a)AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变 形。(b) AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。(c) AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。(d) CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。10.2分析图1

2、0。2中各杆的受力和变形情况。:mz P解(a)力可分解成水平和竖直方向的分力，为压弯变形。(b) 所受外力偶矩作用，产生弯曲变形.(c) 该杆受竖向集中荷载，产生弯曲变形。(d) 该杆受水平集中荷载，偏心受压，产生压缩和弯曲变形。(e) AB段:受弯，弯曲变形，BC段:弯曲。(f) AB段:受弯，弯曲变形,BC段：压弯组合.(g) AB段：斜弯曲，BC段:弯纽扭合。10。3分析图10。3示构件中(AB、BC和CD)各段将发生哪些变形?图 10。3解AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形;CD段发生拉伸、双向弯曲变形.10.4 一悬臂滑车架如图10.4所示，杆AB为18号工字钢（截面面积

3、30。6cm2, Wz=185cm3），其长度为1=2。6m。试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正 应力。设工字钢的自重可略去不计。图 10.4解取AB为研究对象，对A点取矩可得FNBC亍12.5kN25 ；则 Fnbcx =疽分别作出AB的轴力图和弯矩图：kNIIIIIIIII-IIIIIIIIIkN。m轴力作用时截面正应力均匀分布，。二勺（压）弯矩作用时截面正应力三角形分布，b =（下拉上压）Wz可知D截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94。9MPa（压10.5如图10。5所示,截面为16a号槽钢的简支梁，跨长L=42m,受集度为q的均布荷载作用，q=2KN/m

4、。梁放在中=20。的斜面上，试确定梁危险截面上A点和B点处的弯曲正应力。图 10.5解双向弯曲梁，在梁跨中点处的截面是危险截面，该截面上的弯矩、1 ，M= ql 2 cos a = 4.15kN m1 ， . 一M= & ql 2 sin a = 1.5kM m从型钢规格中查得16A号钢的抗弯截面模量W = 108cm 3I = 73.3cm 4 zz - 1.08cmb = 6.3cm离中和轴最远的点是危险点:A点:b = MZmax + Mymax .(3 一 1 = 145.22MPacmax WIB 点： b=皿空 + ymax_% = 60.5.MPat maxWIy习题解析10.1

5、矩形截面木檩条，跨度L=4m，荷载及截面尺寸如图10.6所示，木材为杉木，弯 曲容许应力。=12MPa,E=9X 103MPa容许挠度为L/200，试验算穰条的强度和刚度。图 10.6解首先进行强度的校核：先将q分解成为两个分量qx =716N/m， q =1430N/m, 二者对应最大弯矩分别为M=2860 N - m,M =1432N - m,代入强度条件公式得/ Wz=1053.MPa t =12MPaM max / W +M 皿 故强度条件满足. 再进行刚度的核算:与q相应的挠度/二 /4=14.9mmxx 384EIZ与q相应的挠 度/ = jq /4=14。mm384EIxf =

6、Jf + f =20。51mmb= 8MPa所以，不满足强度条件。10。5 起重机受力如图 10.10,P3OkN, P22OkN, P3=6OkN,它们的作用线离立柱中心线的距离分别为1.Om , 1o2m和1.6m,如立柱为实心钢柱， 材料许用应力o=16OMPa,试设计其底部A -A处的直径。图 10。 10解该杆为压弯组合变形，设底部A-A处直径D,柱底部所受的压应力有两部分（30 + 220 + 60） x 103兀d2 4394.9 x 103d2柱底部最大弯矩M = Pl + Pl -Pl = 468kN mmax 1 12 23 3由此弯矩产生的最大压力M468 x103 x

7、32 4769.4八b = max = =X 1032 W兀 d3d3柱底部所受的压应力气+b2 tb= 160MPa由于b2b1，若只考虑弯矩的作用解得d=31cm取 d=40cm10.6上题中，若立柱为空心钢管，内外径之比d/D=0。9,试设计A-A处的直径。解此题为压弯组合变形，将立柱在A-A处截开，合压力F = PP2 + P3 = 30 + 220 + 60 = 310kN底部面积兀（D2 d2）A = -（） = 0.15D2弯矩Mz = P1 x10 + P2 x1.2 - P3 x1.6 = 30 x10 + 220 x1.2 - 60 x1.6 = 468kN - m兀D3兀

8、D3(1 -a 4)=32x(1 - 0.94 ) = .343响33232lFMF 工 32M% = A W = 0.15D2 0.3439；D3Z b = 16. x 103解得D q 43cm, d = 0.9D = 38cm可取 D = 45 cm, d = 38cm10。7三角形构架ABC,受力如图10.11。水平杆AB由18号工字钢制成,试求AB 杆的最大应力。如产生力P的小车能在AB杆上移动，则又如何？解AB杆产生压缩与弯曲组合变形NBCP x 1.52 x 1.5 sin 300=150kN荷载移动到中点时弯矩最大，其值为 Mmax = Nbc xsin300 x 1.5 =

9、125kN mb1 = MD + N = 717.92MPa（截面的上边缘为压应力）c max W A10.8上题中，若工字钢材料的许用应力。=10O0MPa，试选择AB杆的截面尺寸。解接上题b=马+ MD b，c maxA WZ选16号普通工字钢，W = 141cm3, A = 26.1cm2强度校核：max = 936.3MPa In 即选16号普通工字钢，Wz = 141cm3, A = 26.1cm 2。10。9图10。12示钻床，受力P=15kN，铸铁立柱的许用应力。=35MPa,试计算立柱所需的直径d。图 10。 12解为拉弯组合变形，只考虑弯矩的作用解得M n = t maxWZ

10、M P e _兀W -|n= |y = 0.17xIO3m3 或元d3 = 0.17x 10-3解得d - 12cm取 d=14cm代入验算:btmaxP M-L=+ max = 28.95MPa 35MPaA Wz10。10砖砌烟囱，高H=30m，自重Q=200OkN,受水平风力q=2kN/m作用，如图10.13所示。如烟囱底部截面的外径D=3m时，内径d=2m,求烟囱底部截面上的最大压应力。图 10。 13解由自重引起的压应力大小为:b= Q = 0.509 x MPa A烟囱底部截面上的弯距大小为1， CCfM = ql 2 = 9.0 x 105 N m max 2b = Q + ma

11、x = 0.92MPa max AW10.11如图10.14所示某厂房柱子，受到吊车竖直轮压力P=22OKN,屋架传给柱顶的 水平力Q=8KN，以及风载荷q=1kN/m的作用，P力的作用线离底部柱的中心线的距离 e=0.4m,柱子底部截面尺寸为1mX03m,试计算柱底部的危险点的应力。图 10.14/ n iHInrtq 二二.0匚解分析知，危险截面在底部，危险点在右侧边缘力的作用分为三部分，？的作用Pe P、b =-（+二）（右侧边缘受压）1c W AQ作用下：（右侧边缘受拉）Q lb =21 W在均布荷载的作用：q x l x l/2b =- 一（右侧边缘受压） 3tW危险点的应力为:bm

12、ax =b1c +七10。11如图10.15,功率N=8.8kW的电动机轴以转速n=80Or/min旋转着，胶带传动 轮的直径D=250mm,胶带轮重力G=70ON。轴可看成长度L =120mm的悬臂梁，其许用应力 o=100MPa .试按最大切应力理论求直径d。图 10.15解转子在水轮机部分产生的外力偶矩M = 9.55 x N = 0.105 x 103 N m nn（2T - T ）x ? = Mn可解得： T=840N轴所受荷载分解x, y两个方向,其值为p = G + 3T x sin 45o = 2481.64N yp = 3Tcos45 0 = 1781.64N二者合力p =

13、J p2+p2 = 718对2 N危险载的处最大弯矩M = pL = 0.366kN m max由些弯矩产生的最大正压力_Mb =maxmaxWz轴产生弯扭变形，由扭矩M产生的最大切应力M MT =n- maxWWp P用最大切应力理论：max + 4T 2max代入后得+ M2-2 + M2 1-b可解得d=157mm.10.21如图10。16，电动机带动一胶带轮轴，轴直径d=40mrn,胶带轮直径D=30Omm, 轮重G=6OON .若电动机功率N=14KW，转速n=980r/min,胶带紧边与松边拉力之比T/t=2,轴的o=12OMPa。试按最大切应力理论校核轴的强度。图 10。 16解

14、电动机所产生的扭距为M = 9.55 x ： = 136。43Nm=(Tt)D/2令拉紧边拉力T,则松边拉力t=T/2，于是可解得T=1819N,t=909N危险截面处最大弯距M= 1PL =1(1819 + 909 + 600)x 0.8 = 665.6N - mmax 44b= Mmax = 105.98MPmaxWaz最大扭转切应力t =虬=52.99MPa,max WP代入第三强度理论公式得切2 + 4c2 = 149.88MPa A b = 120MPa不符合要求.10.22卷扬机轴为圆形截面，直径d=30mm,其它尺寸如图10.17示。许用应力。=80MPa,试求最大许可起重载荷P

15、。解支反力RA = RB = P/2设C点在轴与轮交点处,外力距T = T RT广 Px D/2图 10。 17轴产生弯扭变形，由扭矩M产生的最大切应力轴跨中为危险截面:M = pl = 0.2 p max 4M = Tc = P x D/2 = 0.09PM b = max Wc =虬=虬，W = 2Wmax W WP Zp P根据第三强度理论可得如 2 + 4c 2 80MPa将数值代入可得，PW945。5N10。23 一起重螺旋的载荷和尺寸如图10。18所示.己知起重载荷W=40X 103N，载荷 的偏心距e=5mm。若起重时推力P=32ON,力臂l =500mm,起重最大高度h=30O

16、mm,螺纹根 部直径d=40mm,螺杆的o=10OMPa,试用最大切应力理论校螺杆强度。提示:校核时不计螺纹影响，螺杆可近似看作d=40mm的等截面圆杆。解螺杆弯、压、扭组合变形，危险截面处的弯距M= We = 200N mQ = Mmax + 七=31.79 + 31.85 = 63.64MPa （压力）W A危险截面处的扭距M = Pl = 160N mt=n = 12.73MPamax WP用最大扭转切应力理论进行校核：b 2 + 4t 2 = 68。54MPa t = 100MPa满足要求。10.24图10.19示钢制圈轴上有两个齿轮，齿轮C上作用着铅直切线力P1=5kN,齿轮 D上作

17、用着水平切线力P2=lOkN。若。=100MPa,齿轮C直径dc=30Omm,齿轮D 直径d D =150mm。试用第四强度理论求轴的直径。图 10.19解支座反力Rb堕r600P4501600zma+ M2ymax , W2+ M2zmaxymax由第四强度理论:f b2 + 3T2一 二W2+ 0.7M JM 2 + 0.75M2上式中的=p x A = 0.75kN m1 2M= 1.125kN mMz = 0.19kN m, M = 1.14kN m兀1.142 + 0.75 x 0.752100 x106d3 = 13.12x10-632解得d 51.1mm10.25如图10。20所

18、示电动机功率N=6kW,转速n=1430r/min,胶带水平张力T=1kN, 电动机轴和电枢重G=94N，单边磁拉力Pb=60ON（铅直平面），轴材料为30号钢，o=74MPa. 试按第三强度理论校核轴的强度.图 10.20解计算简图如10.21示，由分析得，外力矩N6 x103T = 9.55 x 蚪=9.55 x=40N mn1430剪应力为：c = Q = 40Wp(kD3 /16)= 40X16/(3.14x 0.0283 )= 9.26MPa , M57 x 32C 截面有：b = 26.5MPaW3.14 x 0.02831:.如:I刖卧麴般；57N.MT = 1KN图 10.21

19、按第三强度理论如 + 4” =；26.42 + 4 x 9.32 = 32.25MP 74MPa10o 26有一术质拉杆如图10.22所示,截面原为边长a的正方形，拉力P与杆轴重合。 后因使用上的需要，在杆的某一段范围内开一 a/2宽的切口。试求m-m截面上的最大拉应力。这个最大拉应力是截面削弱以前的拉应力值的几倍。图 10o 22解未削弱之前，拉应力为P P c =A a 2_ a削弱之后竖向下力P产生的弯矩M = p -. ，2P由P引起的拉应力c= 由弯矩引起的最大拉应力所以bmaxb =wZ-a 68P=b +b= a 2=8(倍)bmaxb10.27受拉构件形状如图10.23所示，已

20、知截面尺才为40mmX5mm,通过轴线的拉力P=12kN。现拉杆开有切口,如不计应力集中影响，当材料的o=10OMPa时，试确定切口的 容许最大深度，并绘出切口截面的应力变化图.图 10。 23解设槽深为x=P + Mtmax A W ZM = Px/2A = (h - x) - b b ,W = (h - x)2Z 6由b lb得 x5.2x 10-3m10.28 一圆截面直杆受偏心拉力作用，其偏心距e=20mm,杆的直径为70mm,容许拉 应力o=120MPa,试求此杆容许承受的偏心拉力。解分析有Pe+P b w A出P x 0.021/ 32兀 x(0.07+1/ 4兀(0.07 * 6计算可得偏心拉力为：P=140。5kN.