信号与系统第6讲-连续时间周期信号的傅里叶级数表示

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1、第六讲第六讲 连续时间周期信号连续时间周期信号的傅里叶级数表示的傅里叶级数表示孙孙 黎黎信息与通信工程系信息与通信工程系Email:2014-03内容提要内容提要引言LTI系统对复指数信号的响应连续时间周期信号的傅里叶级数表示内容提要内容提要引言LTI系统对复指数信号的响应连续时间周期信号的傅里叶级数表示为什么要引入频域分析为什么要引入频域分析时域方法在研究信号特性和设计信号处理算法时不够直观时域方法在系统辨识和分析系统特性时不够方便频域分析的引入体现了化归的思想傅里叶及傅里叶分析傅里叶及傅里叶分析J.B.Joseph Fourier(1768-1830)1768年3月21日生于法国奥赛尔(A

2、uxerre)的一个裁缝家庭，在全家12个孩子中排行第9 9岁时母亲去世，次年父亲去世，成为孤儿，被当地修道院收养傅里叶及傅里叶分析傅里叶及傅里叶分析1780年进入天主教管理的奥赛尔皇家军校学习 13岁时，显现出对文学与数学的兴趣14岁他已读完Bezout数学教程全六册19岁时他却选择进入Benedictine(圣本笃)修道院，希望成为神父。此后三年，他不断挣扎于数学与宗教之间傅里叶及傅里叶分析傅里叶及傅里叶分析1793年参加奥赛尔革命委员会，1794年被捕入狱，后因政治气氛改变而获得释放 1795年1月成为法国巴黎高等师范学院的数学教授，与拉普拉斯、拉格朗日、孟济等人共事1797年任教于当时

3、极富盛名的法国巴黎综合理工学院1790年回到母校任教傅里叶及傅里叶分析傅里叶及傅里叶分析1801回国继续任教，1802年被任命为法国南部伊泽尔行政区的行政长官抽干了一个沼泽的水铺了一条从Grenoble到Turin的公路创立格勒诺布尔大学，后改称约瑟夫傅里叶大学1798年傅里叶随拿破仑远征埃及，被任命为下埃及的总督。他致力于考古探测，并创立了开罗学院 傅里叶及傅里叶分析傅里叶及傅里叶分析1811年，上述论文获得法国科学院颁发的论文奖，但却未能正式出版1807完成论文固体中的热传导，提出任何周期函数都可以用正弦函数的级数来表示这一观点 1817年当选法兰西科学院院士1822年当选法兰西科学院终身

4、秘书，全面负责科学院的行政事务傅里叶及傅里叶分析傅里叶及傅里叶分析1822年出版专著热的分析理论，提出了两个重要观点：周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和；非周期信号都可以表示为正弦信号的加权积分1824年发现“温室效应”1829年狄里赫利给出傅里叶级数收敛条件1830年傅里叶病逝于巴黎，葬于巴黎著名的拉雪兹神父公墓内容提要内容提要引言LTI系统对复指数信号的响应连续时间周期信号的傅里叶级数表示信号分解信号分解时域分解基本信号的要求把信号表示为基本信号的线性组合由这些信号能够表示相当广泛的一类信号LTI系统对每一个基本信号的响应容易确定特征函数和特征值特征函数和特征值令：可得：特征

5、函数特征值一个信号，如果系统对它的响应仅是一个常数乘以它，则称该信号为系统的特征函数特征函数和特征值特征函数和特征值令：可得：特征函数特征值特征函数和特征值特征函数和特征值对于某一个LTI系统来说，其特征函数不是唯一的，也不一定具有复指数的形式。尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数，但复指数信号是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。特征函数和特征值特征函数和特征值举例：1)2)特征函数和特征值特征函数和特征值连续时间系统：离散时间系统：？内容提要内容提要引言LTI系统对复指数信号的响应连续时间周期信号的傅里叶级数表示成谐波关系的复指数信号的线性组合成谐波关系的复指数信号的线性组合构造如

6、下复指数信号集合：其中：成谐波关系的复指数信号的线性组合：傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定因为：所以：连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间周期信号的傅里叶级数综合公式分析公式频谱系数(频谱)直流分量(平均值)k次谐波分量正交分解连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间周期信号的傅里叶级数讨论：若x(t)为实信号，即：则：而：所以：没有负频率分量！举例举例举例举例举例：周期性方波的傅里叶级数表示举例：周期性方波的傅里叶级数表示该周期性方波在一个周期内的定义如下：举例：周期性方波的傅里叶级数表示举例：周期性方波的傅里叶级数表示占空比举例：周期性方波的傅里叶级数表示举例：周期性方波的傅里叶级数表示举例：周期性方波的傅里叶级数表示举例：周期性方波的傅里叶级数表示举例：周期性方波的傅里叶级数表示举例：周期性方波的傅里叶级数表示几点讨论：2)频谱含量与有效带宽：时域和频域之间的相反关系3)随着k的增加，ak减小，说明信号的能量主要集中在低频附近1)周期性方波的频谱系数是包络 的等间隔样本，样本间隔随周期的增大而减小谢谢大家！谢谢大家！