排列、组合、二项式定理

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1、回归课本(十) 排列、组合、二项式定理一 考试内容：分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.二考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 【注意】这部分内容复习的重点有：排列组合的理论基础、原理，二项式定理的通项公式，二项式系数的性质等.三基

2、础知识:1.分类计数原理（加法原理）.2.分步计数原理（乘法原理）.3.排列数公式 =.(，N*，且)注:规定.4.排列恒等式 (1）;（2）;（3）; （4）;（5）.(6) .5.组合数公式 =(N*，且).6.组合数的两个性质(1)= ;(2) +=.注:规定.7.组合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.(6).(7). (8).(9).(10).8.排列数与组合数的关系 .9单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”某（特）元必在某位有种；某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定

3、位紧贴：个元在固定位的排列有种.浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.9分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）(平均分组无归属问题)将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.（3）(非平均分组有归属问题)将相

4、异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有 .（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有.（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，时，

5、则无论，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.10.二项式定理 ;二项展开式的通项公式.二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；(2) 若n为偶数，中间一项（第1项）的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和1项）的二项式系数最大；（3）11.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为；偶数项的系数和为；四高考题回顾一、组数问题：1（2004年全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）. A. 56个 B. 57个 C. 58个 D. 60个2.（辽宁卷

6、）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）3. 从集合 P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)4. .（江西卷）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）A70 B140C280D840二、分配问题：5（2004年全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）. A.1

7、2种 B. 24种 C. 36种 D. 48种6. （北京卷）北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )（A） （B） （C） （D） 7. （湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A168B96C72D1448. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）. A. B. C. D. 三、几何问题：9.（2

8、004年北京卷.理7）从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为，则等于（ ）. A. B. C. D. 10. 湖北卷）以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为ABCD11（2004年湖南卷.文理10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）. A. 56 B. 52 C. 48 D. 40 四.二项式定理问题12. （全国卷）在(x1)(x+1)8的展开式中x5的系数是( )（A）14 （B）14

9、 （C）28 （D）2813. (山东)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（A）7 （B） （C）21 （D）14. 设,则 15. （湖南卷）在（1x）（1x）2（1x）6的展开式中，x 2项的系数是.（用数字作答）16.（04年天津卷.理15）若，则= .17. （04年福建卷.文9）已知展开式常数项为1120, 其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）. A. B. C. 1或 D. 1或18.（04年上海卷.9）若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .（结果用分数是表示）19.（04年福建卷.理9）若展开式的第3项为288，则）的值是（ ）

10、. A. 2 B. 1 C. D. 五.课本中习题归纳一.分类计数原理与分步计数原理1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有 种不同的取法;(2)从书架的第1,2,3,层各取1本,有 种不同的取法;2.一种号码锁有6个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这6个拨号盘可以组成 个六位数字号码.3.要从甲,乙,丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有 种不同的选法.4.乘积展开后共有 项.5.用1,5,9,13中任意一个作分子,4,8,12,16中任意一个数作分母,可构造 个不同的分数;可构造 个不同的真分

11、数;可构造 个不同的假分数.6.(1)在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有 个. (2)在平面直角坐标系内,直线的斜率在集合内取值,截距在集合内取值,这样不同的直线共有 条.7.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的1个运动队,则有 种不同的报名方法. (2)3个班分别从5个风景点中选择1处游览,则有 种不同的选法.二.排列 组合 二项式定理8.某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主,客场分别比赛1次,共进行 场比赛.9.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法; (2)有5种

12、不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法.10.某信号兵用红,黄,白3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面,2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示 种不同的信号.11.用0到9这10个数字,可以组成 个没有重复数字的三位数;可以组成 个没有重复数字的三位偶数;可以组成 个十位数字比个位数字与百位数字都大的三位数.12.由数字1,2,3,4,5可以组成 个没有重复数字,并且比2005大的正整数.13.(1)7个人站成一排,如果甲必须站在正中间,有 种排法; (2) 7个人站成一排,如果甲不站在正中间,有 种排法; (3) 7个人站成一排,

13、如果甲,乙2人必须站在两端,有 种排法; (4) 7个人站成一排,如果甲不站在左端,乙不站在右端,有 种排法;(5) 7个小孩子站成两排,其中3个女孩站在前排,4个男孩站在后排,有 种排法;(6) 7个小孩子站成两排,其中前排站3人,后排站4人,有 种排法.14.(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有 种不同的方法; (2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有 种不同的方法.15.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有 条; (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有 条.16.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取

14、出3个球,共有 种取法; (2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 种取法; (3)从口袋内取出3个球,使其中不含有黑球,有 种取法.17.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)一共有 种不同的抽法;(2)抽出的3件中恰1件是次品的抽法有 种; (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 种.18.计算:(1) ; (2) ; (3) = ;(4)= .19.1圆,2圆,5圆,10圆的人民币各2张,一共可以组成 种币值.20.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛. (1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法;(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有 种选法;(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法;(4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法.21.的展开式中的倒数第四项的系数是220,则 ;常数项等于 .22.的展开式中的系数是 ;的展开式的中间一项是 .23.的展开式的中间两项系数的和等于 .