高斯公式的两种表示方法

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1、ffLap eQ eRJJ J(+)dvex ey ezQJJ (P cos a + Q cos P+ R cos Y )dS726 Gauss 公式 7.2.7 Stokes 公式一、相关问题1. 高斯公式的两种表示方法。解 设空间闭区域Q是由分片光滑的闭曲面工所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x, y, z)在Q上具有一阶连续偏导数，则有川(? +exQeQ + eR) dv = H Pdydz + Qdzdx + Rdxdy dy dz2. 斯托克斯简介。斯托克斯(George Gabriel Stokes),英国数学家、物理学家。1819年8月13日生于爱 尔兰的一个

2、小镇，1903年2月1日卒于英国剑桥斯托克斯在对光学和流体动力学进行研究 时，推导出了在曲线积分中最有名的被后人称之为“斯托斯公式”的定理。直至现代，此定 理在数学、物理学等方面都有着重要而深刻的影响斯托克斯的研究是建立在剑桥大学前一 辈科学家的研究成果之上的，对他有重要影响的科学家包括拉格朗日、拉普拉斯、傅立叶、 泊松和柯西等人。斯托克斯在对光学和流体动力学进行研究时，推导出了在曲线积分中最有名的被后人 称之为“斯托斯公式”的定理。直至现代，此定理在数学、物理学等方面都有着重要而深刻 的影响。二、相关知识1. 高斯公式的实质是什么？解高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积

3、分之间的关系2. 高斯公式添加辅助面的技巧？ 解辅助面一般取为坐标面或平行于坐标面的平面，并且应给出所选定的侧面。3. 斯托克斯公式的实质？ 解其将空间上的曲面积分与空间闭曲线积分联系起来。4. 斯托克斯公式和格林公式的联系？解格林公式是将平面上的二重积分与平面上的闭曲线联系在一起。5. 满足什么条件时空间曲线积分与路径无关？解设空间开区域G是一维单连通区域，P(x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z)在G内具有一偏导数连续，则空间曲线积分J Pdx + Qdy + Rdz在G内与路径无关(或沿G内任 r意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式：dP dQ dQ OR

4、dR OP dy Ox，Oz Oy，Ox Oz在 G 内恒成立。三、练习题1.利用高斯公式计算曲面积分I = D 2x3dydz + 2y3dzdx + 3(z2 -l)dxdy ,其中E是 曲面z = 1 x2 - y2(z 0)的上侧。解 取E为xOy平面上圆x2 + y2 1的下侧，记Q为由E与E围成的空间闭区域11I =2x3dydz + 2y 3dzdx + 3(z 2 1)dxdy - JJ 2x3dydz + 2y 3dzdx + 3(z 2 1)dxdy+气E1由高斯公式知：I + JJ 2x 3 dydz + 2y3dzdx+3(z2 -1)dxdyE1=JJJ 6( x 2

5、 + y 2 + z) dxdydz = 62 兀 do J1 dr J1-r 2( z + r )rdz0 0 0Q=12兀 J T1 r(1 - r2)2 + r3(1 - r2)dr = 2兀， 0 2而 JJ 2x3dydz + 2y 3dzdx + 3(z 2 1)dxdy = - JJ (-3)dxdy = 3兀E1x2+ y21因此I = 2兀3兀=兀。2.计算积分曲ydydz-“如，其中工是任一包围原点的分片光滑闭曲面的外侧。 e J x 2 + y 2 + z 2.y ，Q -x，R = 0x 2 + y 2 + z 2x 2 + y 2 + z 2-xyxyOP + 聖 +

6、 竺=+ 0 = 0OxOyOz(x 2 + y 2 + z 2)1(x 2 + y 2 + z 2)1作辅助面E0：x2 + y2 + z2 =s 2内侧；则在E、E0围成的区域上高斯公式的条件满足，从而(JJE+E 0ydydz - xdzdx0dv = 0，即Q旺 ydydz - xdzdx =曲工 t x 2 + y 2 + z 2:ydydz - xdzdx =曲Eox2 + y2 + z2-E 0ydydz - xdzdxx 2 + y 2 + z 2=丄 4b ydydz - xdzdx = B! Odv = 0-esQ03.利用斯托克斯公式计算曲线积分Izdx+xdy + yd

7、z,其中r为平面x + y + z = 0被三r 个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则。解 设Y为闭曲线r所围成的三角形平面，Y在yoz面、zox面和xoy面上的投影区域 分别为D、D和D ,按斯托克斯公式，有yx xx xyb zdx+xdy+ydz =JJr丫dydzddxzdzdxddydzxdxdyd=II dydz+dzdx+dxdy = II dydz + II dzdx + II dxdy=3II dxdy = 3 .乙为DDDDyzzxxyxy4.利用斯托克斯公式计算积分6 ydx + zdy + xdz，其中r为用平面x + y

8、+ z = 0截球 r面x2 + y2 + z2 = R2所得的截痕，若从X轴的正向看去取逆时针方向。解 取S为平面x+ y + z = 0的上侧被曲线r所围成的部分，则S的上侧法向量为n =冷1,1,1，法向方向余弦为cos a = cos卩=cos 丫 =*6 ydx + zdy + xdz = II r工cos ad_QxPcos卩d_QyQcos YQQzRdS(P= y,Q= z,R= x)=II (甞-字)cosa-(字-甞)cos P+ (字-学)cosYdS 工 QyQzQxQzQxQy=II(0 1)cos a + (0 1)cos 卩 + (0 1)cos Y dS-IIc

9、os a + cos 卩 + cos Y dS3 IIzdS5.利用斯托克斯公式计算曲线积分I= (y2-z2)dx+(z2-x2)dy + (x2-y2)dz,r3其中r是用平面x + y + z=2截立方体：0 x 1，0 y 1，0 z 1的表面所得的截 痕，若从x轴的正向看去取逆时针方向。31解 取Z为平面x + y+z=2的上侧被r所围成的部分，Y的单位法向量n =韦(1,1,1),即cosa= cos P= cosy =吉。按斯托克斯公式，有1?38而1_38示n=13ddZdS=鲁(x + y + z)dS .其中D为Z在xoy平面上的投影区域, xyDxyDxydydzd_dx

10、y2z2dzdxd_dyz2x2dxdyddZx 2 - y 2-2口( y+z)dydz+(x+z)dzdx+(x + y)dxdy提示cosad_dxy 2 - x 2cos卩cosydddydzz 2 - x 2 x 2 - y 2(x + y + z). dS = J12+12 +12dxdyy 2 x 2 z 2 x 2 x 2 y 2吉-2ds 一2勇际如Z爲2zDxyI= JJ (x + y + z)dS=- 3 H dS = 2、： 33dxdy=6 JJ dxdy9-Dxyz、思考题1.设L是柱面方程x2 + y2 1与平面z x + y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为 逆

11、时针方向，求曲线积分6 xzdx + xdy +斗dz。L2解 由斯托克斯公式法，取在L上的曲面为S :x + y - z = 0,x2 + y2 1，方向向外。因为 z x + y, z 1, z 1，xydydzdzdxdxdyddddx石dzxzx21则原式= JJSJJ ydydz + xdzdx + dxdyS由转换投影法得：JJ ydydz + xdzdx + dxdy = JJ y - (一1)+ x(l)+1dxdy = JJ(-x一 y + 1)dxdySD:x2 + y2 1D:x2 + y2 1此外，本题也可以用参数法来解，L在xoy平面上的投影曲线I x 2 + y 2 = 1L: ，参数方程L: x = cos t, y = sin t, z = 0I z = 0t 从 0 到 2兀，则 L 的参数式为 L : x = cos t, y = sin t, z = cos t + sin t， t 从 0 到 2兀。于是(sin t)2原式二 J2兀cos t(cos t + sin t)( sin t) + cos t cos t + (cos t 一 sin t)dt =兀。