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1、高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法5.3 5.3 5.3 5.3 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式将定积分的计算转化为求原函将定积分的计算转化为求原函数在积分区间上的增量，而为了求原函数我们常使用数在积分区间上的增量，而为了求原函数我们常使用换元积分法换元积分法和和分部积分法分部积分法问题：问题：能否用这种方法直接计算定积分呢？能否用这种方法直接计算定积分呢？例例1 计算计算 （1）先求不定积分，）先
2、求不定积分，则则解解令令（2）再由牛顿）再由牛顿莱布尼兹公式，有莱布尼兹公式，有利用关系利用关系x=sin(t)回代为以回代为以x为自变量的原函数这一过程比较为自变量的原函数这一过程比较麻烦我们能否不回代，直接把麻烦我们能否不回代，直接把(1)、(2)合二为一这便是以下的合二为一这便是以下的定积分换元积分法定积分换元积分法一、换元积分法一、换元积分法定理定理 假设函数假设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，上连续，满足条件满足条件 函数函数(1)(2)在在，(或或,)上具有连续导数，上具有连续导数，且其值域不越出且其值域不越出a,b，则有，则有这个公式叫做定积分的这个公式叫做定积分的换元公式
3、换元公式 f(x)在在区间上是连续，因而区间上是连续，因而在区间在区间上也是连续的，上也是连续的，证明证明 由假设知，由假设知，是可积的是可积的,(或或)因而是可积的因而是可积的假设假设F(x)是是f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则另一方面，因为另一方面，因为所以所以F(t)是是的一个原函数，的一个原函数，从而从而因此因此 例例2 计算计算解解 则则而当而当时，时，当当时，时，令令于是于是例例3 计算算 解解 令令则当当时，当当时，于是于是例例4 解解提示提示:在在上上|cos x|cos x,上上|cos x|cos x在在例例5 设设求求解解 令令于是于是例例6 证明证明 若若f(x
4、)在在上连续且为偶函数，则上连续且为偶函数，则证明证明 因为因为而而所以所以讨论讨论 若若f(x)在在且为奇函数，问且为奇函数，问为什么？为什么？上连续上连续(1)(2)则则例例7 若若f(x)在在上连续，上连续，证明证明证明证明(1)令令，证明证明(2)所以所以 则则令令(2)例例7 若若f(x)在在上连续，上连续，二、分部积分法二、分部积分法设函数设函数u(x)、v(x)在区间在区间由不定积分的分部积分法，可由不定积分的分部积分法，可上具有连续导数上具有连续导数u(x)，v(x)，简记为简记为 或或这就是定积分的这就是定积分的分部积分公式分部积分公式 分部积分过程分部积分过程 例例8 计算
5、计算解解例例9 计算计算解解 则则令令2定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法有何联系与区别？有何联系与区别？问题讨论问题讨论1定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法有何联系与区别？有何联系与区别？3设设f(x)是以周期为是以周期为T的连续函数，定积分的连续函数，定积分与与是否相等？为什么？是否相等？为什么？4当积分表达式为当积分表达式为用分部积分法，用分部积分法，如何选择？如何选择？本节本节给出给出了了计算计算定积分的换元积分法与分部积分定积分的换元积分法与分部积分法，它们与不定积分相应的方法是有连续与区别的法，它们与不定积分相应的方法是有连续与区别的这些方法是计算定积分的主要方法之一这些方法是计算定积分的主要方法之一.
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