《高等数学第二节对面积的曲面积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第二节对面积的曲面积分（19页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第二第二节节 对对面面积积的曲面的曲面积积分分 定定义义1 对对于空于空间间曲面曲面,如果如果上任意一点都上任意一点都有切平面有切平面,当切点当切点连续变动时连续变动时,切平面也切平面也连续转连续转动动,此曲面此曲面称称为为光滑曲面光滑曲面.本本节节下面所研下面所研讨讨的一系列的一系列问题问题皆与本章第一皆与本章第一节节所述所述问题问题完全完全类类似似.一、一、对对面面积积的曲面的曲面积积分的定分的定义义二、二、对对面面积积的曲面的曲面积积分的性分的性质质三、三、对对面面积积的曲面的曲面积积分的分的计计算算四、四、对对面面积积的曲面的曲面积积分的分的应应用用 把把曲曲面面分分成成n片片小小曲曲
2、面面,这这些些小小曲曲面面为为 S1,S2,Sn,Si也表示也表示 Si的面的面积积(i=1,2,n).一、一、对对面面积积的曲面的曲面积积分的定分的定义义 设设有一曲面形构件有一曲面形构件,它所占位置的空它所占位置的空间间曲面曲面见图见图9-4,面密度面密度为连续为连续函数函数u=f(x,y,z),利用分割、作和、取极限的方法利用分割、作和、取极限的方法求求该该构件的构件的质质量量.在在 Si上上取取点点 Mi(i,i,i),称称 Si任任意意取取两两点点间间距距离离的的最最大大值为值为 Si的直径的直径,Si图图9-4,则则曲面形构件的曲面形构件的质质量量为为式中式中为为n片小曲面直径中的
3、最大片小曲面直径中的最大值值.Si图图9-4,定定义义2 设设是是光光滑滑曲曲面面,函函数数u=f(x,y,z),在在上上有有界界,分分为为n片片小小曲曲面面,这这些些小小曲曲面面为为 S1,S2,Sn,Si 也表示也表示 Si 的面的面积积(i=1,2,n).如果如果存在存在,则则称称该值该值f(x,y,z)在在上的上的对对面面积积的曲面的曲面积积分分,也称也称为为第一型的曲面第一型的曲面积积分分,记记成成 在在 Si上取上取点点Mi(i,i,i),记记为为n片小曲面直径的最大片小曲面直径的最大值值.其中其中f(x,y,z)称称为为被被积积分函数分函数,称称为积为积分曲面分曲面.如果是如果是
4、闭闭合曲面合曲面上的上的积积分分,又可又可记记成成 定定理理1 当当f(x,y,z)在在光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时,存在存在.二、二、对对面面积积的曲面的曲面积积分的性分的性质质 设设下面所涉及的曲面下面所涉及的曲面积积分是存在的分是存在的,则则有下述性有下述性质质性性质质1 设设k为为常数常数,则则性性质质2 性性质质3 将将分成分成1 与与2,则则 k为为常数常数,A为为的面的面积积.性性质质4性性质质5 若在若在上上 f(x,y,z)g(x,y,z),则则 性性质质7 当当 f(x,y,z)在光滑曲面在光滑曲面上上连续时连续时,必有必有(,)在在上上,使得使得性
5、性质质6 在在上若没上若没m f(x,y,z)M,则则其中其中A表示表示的面的面积积.三、三、对对面面积积的曲面的曲面积积分的分的计计算算 定理定理2 设设曲面曲面:在在z=z(x,y),它在它在xOy面上的面上的投影区域投影区域为为Dxy,z=z(x,y)在在Dxy上具有上具有连续连续偏偏导导数数,f(x,y,z)在在上上连续连续,则则有公式有公式如果曲面如果曲面投影到投影到yOz或或 zOx面面,则则有下述有下述计计算曲面算曲面积积分的公式分的公式 定理定理3 设设 f(x,y,z)与与满满足定理足定理 2 的条件的条件,若若 f(x,y,z)=f(x,y,-z),关于关于xOy对对称称,
6、1表示表示的位的位于于xOy面上方的部分面上方的部分,则则有有若若f(x,y,z)=f(x,y,z),则则有有例例1 求求其中其中为为平面平面 中解出中解出在第一卦限中的部分在第一卦限中的部分.将将在在xOy面上投影区域面上投影区域记为记为Dxy,如如图图9-5图图9-5例例2 求求其中其中 :x2+y2=R2,0 z h(R 0)解法解法1 把把分成前后两部分分成前后两部分1与与2,则则Dyz:-R y R,0 z h解法解法2 面面积积的微分的微分dS=2 Rdz,故故 设设有一分布着有一分布着质质量的光滑曲面量的光滑曲面,在点在点(x,y,z)处处的面密度的面密度为连续为连续函数函数f(x,y,z),利用微元分析法不利用微元分析法不难难推得下面各公式推得下面各公式.四、四、对对面面积积的曲面的曲面积积分的分的应应用用 质质量量 设设重心重心为为则则转动惯转动惯量量式中式中Ix,Iy,Iz,Io,分分别别表示曲面表示曲面对对x轴轴,y轴轴,z轴轴以以及原点的及原点的转动惯转动惯量量.例例3 求抛物面壳的求抛物面壳的质质量量 此壳面密度此壳面密度为为=z.所求所求质质量量为为故所求故所求转动惯转动惯量量为为 例例4 求面密度求面密度为为常数常数 0的半球壳的半球壳 x2+y2+z2=a2 (0 z)对对于于z 轴轴的的转动惯转动惯量量.作业作业P89 1、2、5、6
高等数学第二节对面积的曲面积分
