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1、v极限的四则运算法则 1.5 极限运算法则上页下页铃结束返回首页1 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A B 定理3 如果如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么那么下页v一、极限的四则运算法则 (1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=A B 推论2返回 证明 定理3 如果如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么那么 (1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=A B v一、极限的四则运算法则则有则有(其其中中为无穷小为无穷小)于是于是由定理由定理 1 可知可知也是无穷小也是无穷小,再利用极限与无穷
2、小再利用极限与无穷小的关系定理的关系定理,知定理结论成立知定理结论成立.3为无穷小为无穷小(详见详见P44)定理3.若且 B0,则有证:因因有有其中其中设设无穷小无穷小有界有界因此因此由极限与无穷小关系定理由极限与无穷小关系定理,得得为无穷小为无穷小,4 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A B 推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则lim cf(x)clim f(x)推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则limf(x)nlimf(x)n 定理3 如果如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么那么下页v一、极限的四则运算法则 (1
3、)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=A B 5v二、数列极限的四则运算法则定理5 如果f(x)g(x)而limf(x)=a limg(x)=b 那么ab v三、不等式(保序性保序性)定理4 设有数列xn和yn 如果那么下页利用保号性定理证明.提示提示:令6v五、求极限举例讨论 提示 例1 解 下页 例2 解 7 解 例3 解 例4 根据无穷大与无穷小的关系得 下页因为提问(消去零因子法消去零因子法)8讨论 提示 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)下页9先用x3去除分子及分母 然后取极限 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例5 解:例6 下页(无
4、穷小因子分出法无穷小因子分出法)10讨论提示 例7 解 所以下页11 解解 当当x时时 分子及分母的极限都不存在分子及分母的极限都不存在 故关于故关于商的极限的运算法则不能应用商的极限的运算法则不能应用 例例8 8 是无穷小与有界函数的乘积是无穷小与有界函数的乘积 下页下页12v定理6(复合函数的极限运算法则)说明 设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则 把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果 下页13v定理6(复合函数的极限运算法则)结束 设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则 例9 解 14思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误15
高数同济15极限运算法则
