中考数学考点专题复习 因式分解课件.ppt

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1、数学 因式分解 第一章 数与式 1 因式分解 把一个多项式化成几个 _积的形式叫做分解因式 ， 也叫做因式 分解 ， 因式分解与 是互逆变形 2 基本方法 (1)提取公因式法： ma mb mc (2)公式法： 运用平方差公式： a2 b2 ； 运用完全平方公式： a2 2ab b2 整式 整式乘法 m(a b c) (a b)(a b) (a b)2 3 因式分解的一般步骤 (1) 如果多项式的各项有公因式 ， 那么必须先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式 ， 那么尽可能尝试用公式法来分解； (3) 分解因式必须分解到不能再分解为止 ， 每个因式的内部 不再有括号 ， 且同类项合并完毕

2、 ， 若有相同因式写成幂的形式； ( 4) 注意因式分解中的范围 ， 如 x 4 4 ( x 2 2)( x 2 2) ， 在实数范围内分 解因式 ， x 4 4 ( x 2 2)( x 2 )( x 2 ) ， 题目不作说明的 ， 表明是在有理数 范围内因式分解 1 公因式确定的步骤： (1)看系数：取各 项 整数系数的最大公 约 数 (2)看字母：取各 项 相同的字母 (3)看指数：取各相同字母的最低次 幂 如：分解因式 6xy2 2xy， 第一步取系数 为 6和 2的最大公 约 数 2， 第二 步取相同字母 为 xy， 第三步取 xy的最低次 幂为 1， 故公因式 为 2xy. 2 因式

3、分解的思考步骤 (1)提取公因式； (2)看有几 项 ：如果 为 二 项时 ， 考 虑 使用平方差公式；如果 为 三 项时 ， 考 虑 使用完全平方公式； (3)检查 是否分解 彻 底 在分解出的每个因式化 简 整理后 ， 把它作 为 一个新的多 项 式 ， 再重复以上 过 程 进 行思考 ， 试 探分解的可能性 ， 直 至不可能分解 为 止 以上步 骤 可以概括 为 “ 一提二套三 查 ” 3 变形技巧 当 n为 奇数 时 ， (a b)n (b a)n； 当 n为 偶数 时 ， (a b)n (b a)n. 1 (2015武汉 )把 a2 2a分解因式 ， 正确的是 ( ) A a(a 2

4、) B a(a 2) C a(a2 2) D a(2 a) 2 (2015宜宾 )把代数式 3x3 12x2 12x分解因式 ， 结果正确的 是 ( ) A 3x(x2 4x 4) B 3x(x 4)2 C 3x(x 2)(x 2) D 3x(x 2)2 A D 3 (2015北海 )下列因式分解正确的是 ( ) A x2 4 (x 4)(x 4) B x2 2x 1 x(x 2) 1 C 3mx 6my 3m(x 6y) D 2x 4 2(x 2) 4 (2015广西 )分解因式： x3 2x2y 5 (2015北京 )分解因式： 5x3 10 x2 5x . D x2(x 2y) 5x(x

5、 1)2 【 例 1】 (2014海南 )下列式子从左到右变形是因式分解的是 ( ) A a2 4a 21 a(a 4) 21 B a2 4a 21 (a 3)(a 7) C (a 3)(a 7) a2 4a 21 D a2 4a 21 (a 2)2 25 【 点评 】 因式分解是将一个多 项 式化成几个整式 积 的形式的恒 等 变 形 ， 若 结 果不是 积 的形式 ， 则 不是因式分解 ， 还 要注意分解 要 彻 底 对应训练 1下列等式从左到右的变形 ， 属于因式分解的是 ( ) A a(x y) ax ay B x2 2x 1 x(x 2) 1 C (x 1)(x 3) x2 4x 3

6、 D x3 x x(x 1)(x 1) B D 【 例 2】 阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后 ， 可提取公因式或运用公式继续分解的方 法是分组分解法 例如： (1)am an bm bn (am bm) (an bn) m(a b) n(a b) (a b)(m n)； (2)x2 y2 2y 1 x2 (y2 2y 1) x2 (y 1)2 (x y 1)(x y 1) 试用上述方法分解因式： a2 2ab ac bc b2 【 点评 】 (1)首 项 系数 为负 数 时 ， 一般公因式的系数取 负 数 ， 使括号内首 项 系数 为 正； (2)当某 项 正好是公因式 时 ， 提取

7、公因式 后 ， 该项应为 1， 不可漏掉； (3)公因式也可以是多 项 式 (a b)(a b c) 对应训练 2 (1)(2015临沂 )多项式 mx2 m与多项式 x2 2x 1的公因式是 ( ) A x 1 B x 1 C x2 1 D (x 1)2 (2)把多项式 (m 1)(m 1) (m 1)提取公因式 (m 1)后 ， 余下的 部分是 ( ) A m 1 B 2m C 2 D m 2 (3)分解因式： (x y)2 3(x y) 解： (x y)2 3(x y) (x y)(x y 3) A D 【 例 3】 (1) (2015哈尔滨 )把多项式 9a3 ab2因式分解的结果 是

8、 ； (2015巴中 )分解因式： 2a2 4a 2 (2)分解因式： (2015株洲 )因式分解： x2(x 2) 16(x 2) ； (2015酒泉 )分解因式： x3y 2x2y xy 【 点评 】 (1)用平方差公式分解因式 ， 其关 键 是将多 项 式 转 化 为 a2 b2的形式 ， 需注意 对 所 给 多 项 式要善于 观 察 ， 并作适当 变 形 ， 使之符合平方差公式的特点 ， 公式中的 “ a”“b”也可以是多 项 式 ， 可将 这 个多 项 式看作一 个整体 ， 分解后注意合并同 类项 ； (2)用完全 平方公式分解因式 时 ， 其关 键 是掌握公式的特征 a(3a b)

9、(3a b) 2(a 1)2 (x 2)(x 4)(x 4) xy(x 1)2 对应训练 3 分解因式： (1)9x2 1； (2)25(x y)2 9(x y)2； (3)(2015南京 )分解因式 (a b)(a 4b) ab； (4)(2015杭州 )分解因式： m3n 4mn. 解： (1)9x2 1 (3x 1)(3x 1) (2)25(x y)2 9(x y)2 5(x y) 3(x y)5(x y) 3(x y) (8x 2y)(2x 8y) 4(4x y)(x 4y) (3)(a b)(a 4b) ab a2 5ab 4b2 ab a2 4ab 4b2 (a 2b)2 (4)

10、m3n 4mn mn(m2 4) mn(m 2)(m 2) 【例 4 】 给出三个多项式： 1 2 x 2 x 1 ， 1 2 x 2 3 x 1 ， 1 2 x 2 x ， 请你选择 其中两个进行加法运算 ， 并把结果分解因式 解： ( 1 2 x 2 x 1 ) ( 1 2 x 2 3x 1 ) x 2 4x x ( x 4 ) ； ( 1 2 x 2 x 1 ) ( 1 2 x 2 x ) x 2 1 ( x 1 )( x 1 ) ； ( 1 2 x 2 3x 1 ) ( 1 2 x 2 x ) x 2 2x 1 ( x 1 ) 2 【 点评 】 灵活运用多种方法分解因式 ， 其一般 顺

11、 序是：首先提 取公因式 ， 然后再考 虑 用公式 ， 最后 结 果一定要分解到不能再分 解 为 止 对应训练 4 ( 1) ( 2015 恩施 ) 因式分解： 9bx 2 y by 3 ； (2) ( 2015 黄冈 ) 分解因式： x 3 2x 2 x ； (3) 分解因式： ( x 2)( x 4) x 2 4 ； (4) 在实数范围内分解因式： m 4 9. by(3x y)(3x y) x(x 1)2 解： (x 2)(x 4) x2 4 (x 2)(x 4) (x 2)(x 2) (x 2)(x 4 x 2) (x 2)(2x 2) 2(x 2)(x 1) 解： m 4 9 ( m

12、 2 3 )( m 2 3 ) ( m 2 3 )( m 3 )( m 3 ) 【 例 5】 (1)(2014河北 )计算： 852 152等于 ( ) A 70 B 700 C 4900 D 7000 (2)已知 a2 b2 6a 10b 34 0， 求 a b的值 解： a2 b2 6a 10b 34 0， a2 6a 9 b2 10b 25 0 ， 即 (a 3)2 (b 5)2 0， a 3 0且 b 5 0， a 3， b 5， a b 3 5 2 【 点评 】 (1)利用因式分解 ， 将多 项 式分解之后整体代入求 值 ； (2)一个 问题 有两个未知数 ， 只有一个条件 ， 根据

13、已知式右 边 等于 0， 若将左 边转 化成两个完全平方式的和 ， 而它 们 都是非 负 数 ， 要使和 为 0， 则 每个完全平方式都等于 0， 从而使 问题 得以求解 D 对应训练 5 ( 1) ( 2015 大连 ) 若 a 49 ， b 109 ， 则 ab 9a 的值为 ； (2) 已知 a ， b ， c 是 ABC 的三边长 ， 且满足 a 3 ab 2 bc 2 b 3 a 2 b ac 2 ， 则 ABC 的形状是 ( ) A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 ( 3) ( 20 14 北京 ) 已知 x y 3 ， 求代数式 (x

14、1) 2 2x y (y 2x) 的值 4900 C 解析： a3 ab2 bc2 b3 a2b ac2， a3 b3 a2b ab2 ac2 bc2 0， (a3 a2b) (ab2 b3) (ac2 bc2) 0， a2(a b) b2(a b) c2(a b) 0， (a b)(a2 b2 c2) 0， a b 0或 a2 b2 c2 0. a b或 a2 b2 c2， 故 ABC的形状是等腰三角形或直角三角形 解：原式 x 2 2 xy y 2 1 ( x y ) 2 1 ， 把 x y 3 代入 ， 原式 3 1 4 试题 分解因式： (1)20m3n 15m2n2 5m2n； (2

15、)4x2 16y2； (3)m(a b) n(b a)； (4) 3x2 18x 27. 错解 (1)20m3n 15m2n2 5m2n 5m2n(4m 3n)； (2)4x2 16y2 (2x 4y)(2x 4y)； (3)m(a b) n(b a) (a b)(m n)； (4) 3x2 18x 27 3(x2 6x 9) 剖析 学 习 因式分解 ， 若 对 分解因式的方法不熟 练 ， 理解不透 彻 ， 可能会出 现 各种各 样 的 错误 因式分解提取公因式后 ， 括号内 的 项 一定要与原来的 项 数一 样 多 ， 错 解主要是 对 分配律理解不深 或粗心大意造成的 ， 提取公因式 还 有符号方面的 错误 ；分解因式 时 ， 应 先 观 察是否有公因式可提 ， 公因式包括系数 ， 错 解忽 视 提 取系数的最大公 约 数；分解因式 还 要使分解后的每个因式都不能 再分解 正解 (1)20m3n 15m2n2 5m2n 5m2n(4m 3n 1) (2)4x2 16y2 4(x 2y)(x 2y) (3)m(a b) n(b a) m(a b) n(a b) (a b)(m n) (4) 3x2 18x 27 3(x2 6x 9) 3(x 3)2