中考数学 第14讲 函数的应用课件1.ppt

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1、1 函 数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应 用 2 利 用函数知识解应用题的一般步骤： ( 1 ) 设定实际问题中的变量； ( 2 ) 建立变量与变量之间的函数关系 ， 如： 一次函数 ， 二次函数或其他 复合而成的函数式； ( 3 ) 确定自变量的取值范围 ， 保证自变量具有实际意义； ( 4 ) 利用函数的性质解决问题； ( 5 ) 写出答 案 3 利 用函数并与方程 ( 组 ) 、不等式 ( 组 ) 联系在一起解决实际生活中的 利率、利润、租金、生产方案的设计问 题 1 构建函数模型 函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际 问题要认真分析，构建函数模型，

2、从而解决实际问题函数的图象与性质 也是中考重点考查的一个方面 2 实际问题中函数解析式的求法： 设 x 为自变量， y 为 x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题 一样先列出关于 x ， y 的二元方程，再用含 x 的代数式表示 y. 利用题中的不 等关系，或结合实际求出自变量 x 的取值范围 3 三种题型 (1) 选择题 关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2) 综合题 关键：运用数形结合思想； (3) 求运动过程中的函数解析式 关键：以静 制动 B 1 ( 20 16 孝感 ) “ 科学用眼 ， 保护视力 ” 是青少年珍爱生命的具体表 现科 学证实：近视眼镜的度数 y ( 度 )

3、 与镜片焦距 x ( m ) 成反比 例如 果 5 00 度近视眼镜片的焦距为 0.2 m ， 则表示 y 与 x 函数关系的图象大致是 ( ) B 2 ( 2016 哈尔滨 ) 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项 任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率该绿化组完成的绿化面 积 S( 单位： m 2 ) 与工作时间 t( 单位： h ) 之间的函数关系如图所示，则该绿化 组提高工作效率前每小时完成的绿化面 积是 ( ) A 300 m 2 B 150 m 2 C 330 m 2 D 450 m 2 , D 3 ( 2016 海南 ) 某村耕地总面积为 50 公顷 ， 且该 村人

4、均耕地面积 y ( 单 位：公顷 / 人 ) 与总人口 x ( 单位：人 ) 的函数图象如图所示 ， 则下列说法正确 的是 ( ) A 该 村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B 该 村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例 C 若 该村人均耕地面积为 2 公顷 ， 则总人口有 10 0 人 D 当 该村总人口为 50 人时 ， 人均耕地面积为 1 公顷 4 ( 201 6 沈阳 ) 在一条笔直的公路上有 A ， B ， C 三地 ， C 地 位于 A ， B 两地之间 ， 甲 ， 乙两车分别从 A ， B 两地出发 ， 沿这条公路匀速行驶至 C 地停 止从 甲车出发至甲车到达 C 地的过程

5、 ， 甲、乙两车各自与 C 地的距 离 y ( km ) 与甲车行驶时间 t ( h ) 之间的函数关系如图表示 ， 当甲车出发 _ _ _ h 时 ， 两车相距 35 0 km . 1.6 5 ( 2016 台州 ) 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数 ， 小 军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球 ， 假设两个小球离手时离地高度相 同 ， 在各自抛出后 1. 1 秒时到达相同的最大离地高度 ， 第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同 ， 则 t _ _ . 一次函数相关应用 20 【例 1 】 ( 2016 绥化 ) 周末 ，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从

6、家 出发 0.5 小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家 1 小时 20 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶 10 分钟时，恰好经过甲地， 如图是她们距乙地的路程 y( km ) 与小芳离家时间 x( h ) 的函数图象 (1) 小芳骑车的速度为 _ km / h ， H 点坐标 _ _ _ (2) 小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？ (3) 相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地 ( 彼此交流时间忽略不 计 ) ，求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？ 解： (1) 由函数图可以得出，小芳家距离甲地的路程为 1 0 km ，花费时 间为 0.5 h ，故

7、小芳骑车的速度为： 1 0 0. 5 20( km / h ) ，由题意可得出，点 H 的纵坐标为 20 ，横坐标为： 4 3 1 6 3 2 ，故点 H 的坐标为 ( 3 2 ， 20) ； (2) 设直线 AB 的解析式为： y 1 k 1 x b 1 ，将点 A(0 ， 30) ， B (0.5 ， 20) 代 入得： y 1 20 x 30 ， AB CD ， 设直线 CD 的解析式为： y 2 2 0 x b 2 ，将点 C(1 ， 20) 代入得： b 2 40 ，故 y 2 2 0 x 40 ，设直线 EF 的解 析式为： y 3 k 3 x b 3 ，将点 E( 4 3 ， 3

8、0) ， H( 3 2 ， 20) 代入得： k 3 60 ， b 3 1 10 ， y 3 60 x 1 10 ， 解方程组 y 60 x 1 10 ， y 20 x 40 ， 得 x 1.75 ， y 5 ， 点 D 坐 标为 ( 1.75 ， 5 ) ， 30 5 25 ( km ) ， 所以小芳出发 1.75 小时候被妈妈追上 ， 此 时距家 25 km ； ( 3 ) 将 y 0 代入直线 CD 解析式有： 20 x 40 0 ， 解得 x 2 ， 将 y 0 代 入直线 EF 的解析式有： 60 x 1 10 0 ， 解得 x 11 6 ， 2 11 6 1 6 ( h ) 10

9、( 分 钟 ) ， 故小芳比预计时间早 10 分钟到达乙 地 【点评】 本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于读懂题 意，根据函数图象所给的信息求出合适的函数解析式并求解 70 95 60 1 ( 2016 齐齐哈尔 ) 有一科技小组进行了机器人行走性能试验 ， 在试验 场地有 A ， B ， C 三点顺次在同一笔直的赛道上 ， 甲、乙两机器人分别从 A ， B 两点同时同向出发 ， 历时 7 分钟同时到达 C 点 ， 乙机器人始终以 60 米 / 分的速度行走 ， 如图是甲、乙两机器人之间的距离 y ( 米 ) 与他们的行走时间 x ( 分钟 ) 之间的函数图象 ， 请结合图 象 ，

10、回答下列问题： ( 1 ) A ， B 两点之间的距离是 _ _ 米 ， 甲机器人前 2 分钟的速度为 _ _ 米 / 分； ( 2 ) 若前 3 分钟甲机器人的速度不变 ， 求线段 EF 所在直线的函数解析 式； ( 3 ) 若线段 FG x 轴 ， 则此段时间 ， 甲机器人的速度为 _ _ 米 / 分； ( 4 ) 求 A ， C 两点之间的距离； ( 5 ) 直接写出两机器人出发多长时间相距 28 米 解： ( 1 ) 由图象可知 ， A ， B 两点之间的距离是 70 米 ， 甲机器人前 2 分 钟的速度为： ( 70 60 2 ) 2 95 米 / 分； ( 2 ) 设线段 EF 所

11、在直线的函数解析式为： y kx b ， 1 ( 95 60 ) 35 ， 点 F 的坐标为 ( 3 ， 35 ) ， 则 2k b 0 ， 3k b 35 ， 解得 k 35 ， b 70 ， 线段 EF 所在直 线的函数解析式为 y 35x 70 ； ( 3 ) 线段 FG x 轴 ， 甲、乙两机器人的速度都是 60 米 / 分； ( 4 ) A ， C 两点之间的距离为 70 60 7 4 90 米； ( 5 ) 设前 2 分钟 ， 两机器人出发 x 分钟相距 28 米 ， 由题意得 ， 60 x 70 95x 28 ， 解得 ， x 1.2 ， 前 2 分钟 3 分钟 ， 两机器人相距

12、 28 米时 ， 35x 70 28 ， 解得 ， x 2 .8 ， 4 分钟 7 分钟 ， 两机器人相距 28 米时 ， 35 3 x 7 ， 解得 x 0. 6 ， 0.6 4 4.6 ， 答：两 机器人出发 1.2 分钟或 2.8 分钟或 4.8 分 钟相距 28 米 反比例函数相关应用 【例 2 】 ( 2016 连云港 ) 环保局对某企业排污情况进行检测 ， 结果显示： 所排污水中硫化物的浓度超标 ， 即硫化物的浓度超过最高允许的 1.0 mg / L . 环保局要求该企业立即整改 ， 在 15 天以内 ( 含 15 天 ) 排污达 标整 改过程中 ， 所排污水中硫化物的浓度 y (

13、 mg / L ) 与时间 x ( 天 ) 的变化规律如图所示 ， 其中 线段 AB 表示前 3 天的变化规律 ， 从第 3 天起 ， 所排污水中硫化物的浓度 y 与时间 x 成反比例关 系 ( 1 ) 求整改过程中硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式； ( 2 ) 该企业所排污水中硫化物的浓度 ， 能否在 15 天 以内不超过最高允许 的 1.0 mg / L ？为什么？ 解： ( 1 ) 分情况讨论： 当 0 x 3 时 ， 设线段 AB 对应的函数表达 式 为 y kx b ；把 A ( 0 ， 10 ) ， B ( 3 ， 4 ) 代入得 b 10 ， 3k b 4 ， 解得：

14、k 2 ， b 10 ， y 2x 10 ； 当 x 3 时 ， 设 y m x ， 把 ( 3 ， 4 ) 代入得： m 3 4 12 ， y 12 x ； 综上所述：当 0 x 3 时 ， y 2x 10 ；当 x 3 时 ， y 12 x ； ( 2 ) 能；理由如下：令 y 12 x 1 ， 则 x 12 15 ， 故能在 15 天以内不超 过最高允许的 1. 0 mg / L . 【点评】 本题是反比例函数的应用，根据题意得出函数关系式是解 决问题的关键 对应训练 2 ( 2016 德州 ) 某中学组织学生到商场参加社会实践活动 ， 他们参与了 某种品牌运动鞋的销售工作 ， 已知该运

15、动鞋每双的进价 为 120 元 ， 为寻求 合适的销售价格进行了 4 天的试销 ， 试销情况如表所示： 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 售价 x( 元 / 双 ) 150 200 250 300 销售量 y( 双 ) 40 30 24 20 ( 1 ) 观察表中数据 ， x ， y 满足什么函 数关系？请求出这个函数关系式； ( 2 ) 若商场计划每天的销售利润为 3 00 0 元 ， 则其单价应定为多少元？ 解： ( 1 ) 由表中数据得： xy 6 000 ， y 6 000 x ， y 是 x 的反比例函 数 ， 故所求函数关系式为 y 6 000 x ； ( 2 ) 由

16、题意得： ( x 120 ) y 3 000 ， 把 y 6 000 x 代入得： ( x 120 ) 6 000 x 3 000 ， 解得： x 240 ；经检验 ， x 2 40 是原方程的根；答：若商场计划每 天的销售利润为 3 00 0 元 ， 则其单价应定为 240 元 二次函数相关应用 【例 3 】 ( 2016 龙岩 ) 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售 一种商 品 ， 利用 30 天的时间销售一种成本为 10 元 / 件的商品 ， 售后经过统 计得到此商品单价在第 x 天 ( x 为正整数 ) 销售的相关信息 ， 如表所示： ( 1 ) 请计算第几天该商品单价为 25

17、 元 / 件？ ( 2 ) 求网店销售该商品 30 天里所获利润 y ( 元 ) 关于 x ( 天 ) 的函数关系式； ( 3 ) 这 30 天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 解： ( 1 ) 分两种情况： 当 1 x 20 时 ， 将 m 25 代入 m 20 1 2 x ， 解得 x 10 ， 当 21 x 30 时 ， 25 10 420 x ， 解得 x 28 ， 经检验 x 28 是方程的解 ， x 28 ， 答：第 10 天或第 28 天时该商品为 25 元 / 件 ( 2 ) 分两种情况： 当 1 x 20 时 ， y ( m 10 ) n ( 20 1 2 x 10

18、)( 50 x ) 1 2 x 2 15x 500 ， 当 21 x 30 时 ， y ( 10 420 x 10 )( 50 x ) 21 000 x 420. 综上所述： y 1 2 x 2 15x 500 （ 1 x 20 ） ， 21 000 x 420 （ 21 x 30 ） . ( 3 ) 当 1 x 20 时由 y 1 2 x 2 15x 50 0 1 2 ( x 15 ) 2 1 225 2 ， a 1 2 0 ， 当 x 15 时 ， y 最大值 1 125 2 ， 当 21 x 30 时 ， 由 y 21 000 x 420 ， 可知 y 随 x 的增大而减小 当 x 21

19、 时 ， y 最大值 21 000 21 42 0 580 元 5 80 1 225 2 ， 第 15 天时获得利润最大 ， 最大利润为 61 2.5 元 【点评】 本题考查二次函数的应用、反比例函数的性质等知识，解 题的关键是学会构建函数，利用二次函数的性质解决问题 对应训练 3 ( 2016 丽水 ) 如图 ，地面 BD 上两根等长立柱 AB ， CD 之间悬挂一 根近似成抛物线 y 1 10 x 2 4 5 x 3 的绳子 (1) 求绳子最低点离地面的距离； (2) 因实际需要，在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子 ( 如 图 ) ，使左边抛物线 F 1 的最低点距

20、MN 为 1 米，离 地 1.8 米，求 MN 的长； (3) 将立柱 MN 的长度提升为 3 米，通过调整 MN 的位置，使抛物线 F 2 对应函数的二次项系数始终为 1 4 ，设 MN 离 AB 的距离为 m ，抛物线 F 2 的 顶点离地面距离为 k ，当 2 k 2.5 时，求 m 的取值范围 解： ( 1 ) a 1 10 0 ， 抛物线顶点为最低点 ， y 1 10 x 2 4 5 x 3 1 10 ( x 4 ) 2 7 5 ， 绳子最低点离地面的距离为 7 5 m ； ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 ， BD 8 ， 令 x 0 得 y 3 ， A ( 0 ， 3 ) ， C

21、 ( 8 ， 3 ) ， 由题意可得： 抛物线 F 1 的顶点坐标为： ( 2 ， 1 .8 ) ， 设 F 1 的解析式为： y a ( x 2 ) 2 1.8 ， 将 ( 0 ， 3 ) 代入得： 4a 1.8 3 ， 解得： a 0.3 ， 抛物线 F 1 为： y 0.3 ( x 2 ) 2 1.8 ， 当 x 3 时 ， y 0.3 1 1. 8 2. 1 ， MN 的长度为： 2.1 m ； ( 3 ) MN DC 3 ， 根据抛物线的对称性可知抛物线 F 2 的顶点在 ND 的垂直平分线上 ， 抛物线 F 2 的顶点坐标为： ( 1 2 m 4 ， k ) ， 抛物线 F 2 的

22、 解析式为： y 1 4 ( x 1 2 m 4 ) 2 k ， 把 C ( 8 ， 3 ) 代入得： 1 4 ( 8 1 2 m 4 ) 2 k 3 ， 解得： k 1 4 ( 4 1 2 m ) 2 3 ， k 1 16 ( m 8 ) 2 3 ， k 是关于 m 的二次 函数 ， 又 由已知 m 8 ， 在对称轴的左侧 ， k 随 m 的增大而增大 ， 当 k 2 时 ， 1 16 ( m 8 ) 2 3 2 ， 解得： m 1 4 ， m 2 12 ( 不符 合题意 ， 舍去 ) ， 当 k 2.5 时 ， 1 16 ( m 8 ) 2 3 2.5 ， 解得： m 1 8 2 2 ，

23、m 2 8 2 2 ( 不 符合题意 ， 舍去 ) ， m 的取值范围是： 4 m 8 2 2 . 14.注意养成良好的解 题习惯 试题 某游乐场投资 150 万元引进一项大型游乐设施若不计维修保 养费用，预计开放后每月可创收 33 万元而该游乐场开放后，从第 1 个月 到第 x 个月的维修保养费用累计为 y( 万元 ) ，且 y ax 2 b x. 若将创收扣除投 资和维修保养费用称为游乐场的纯收益 g( 万元 ) ， g 也是关于 x 的二次函数 (1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元，求 y 关于 x 的解析式； (2) 求纯收益 g 关于 x 的解析式

24、； (3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收 回投资？ 剖析 这种解法没有认真读题、审题，忽略题中 “ 累计 ” 二字，误以 为 x 2 时 y 4 ，而应该是 “ x 2 时， y 2 4 6 ” ，这个理解的失误， 导致后面的两问虽然思路正确，但由于关系式出错， (2)(3) 问都错了在建 立函数关系解实际 问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解 题习惯 正解 ( 1 ) 由题意 ， 得 x 1 时 ， y 2 ； x 2 时 ， y 2 4 6 ， 代入 y ax 2 bx 中 ， 有 2 a b ， 6 4a 2b ， 解得 a 1 ， b 1 ， 故 y x 2 x. ( 2 ) 纯收益 g 33x 15 0 ( x 2 x ) x 2 32 x 150. ( 3 ) g x 2 32x 150 ( x 16 ) 2 10 6 ， x 16 时 ， g 有最大值 ， 即设施开放 16 个月后游乐场的纯收益最 大由 二次函数的增减性可知 ， 当 0 x 16 时 ， g 随 x 的增大而增大；又当 x 5 时 ， g ( 5 16 ) 2 106 15 0 ；当 x 6 时 ， g ( 6 16 ) 2 106 6 0 ， 所以 6 个月后 ， 能 收回 成 本