中考数学 教材知识梳理 第3单元 函数 第14课时 二次函数的图象及性质课件 (2).ppt

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1、河北 6 年中考真题 河北中考考点梳理 河北中考题型突破 第三单元 函 数 第 14课时 一次函数的图象及性质 考点 2 考点 3 二 次函数的 图象及 其 性 质 (必考 ) 二次函数图 象的平移 河北中考考点梳理 温馨提示：点击文字链接进入 考点 1 二次函数的 概念及解析 式 二次函数与一 元二次方程的 关系 考点 4 第一部分 教材知识梳理 河北中考题型突破 温馨提示：点击文字链接进入 第一部分 教材知识梳理 题组二 题组三 二次函数解 析式的确定 次函数与一 元二次方程 的关系 题组一 二次函数的 图象及性质 1.【导学号： 79700060】 (2012， T12， 3分 )如图，

2、抛物 线 y1 a(x 2)2 3与 y2 (x 3)2 1交于点 A(1， 3)， 过点 A作 x轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B， C.则以下结论： 无论 x取何值， y2的值总是正数； a 1； 当 x 0时， y2 y1 4； 2AB 3AC.其 中正确的结论是 ( ) A B C D (一 ) 河北 6年中考真题 河北 6年中考真题 D 1 2 2.【导学号： 79700061】 (2013， T20， 3分 )如图，一段 抛物线： y x(x 3)(0 x3)，记为 C1，它与 x轴交 于点 O， A1；将 C1绕点 A1旋转 180 得 C2，交 x轴于点 A2；将 C2绕点

3、 A2旋转 180 得 C3，交 x轴于点 A3； ； 如此进行下去，直至得 C13.若 P(37， m)在第 13段抛物 线 C13上，则 m _ (一 ) 河北 6年中考真题 2 3.【导学号： 79700062】 (2015， T25， 11分 )如图所示，已知 点 O(0， 0)， A( 5， 0)， B(2， 1)，抛物线 l： y (x h)2 1(h为常数 )与 y轴的交点为 C. (1)若 l经过点 B，求它的解析式，并写出此时 l的对称轴及顶 点坐标； (2)设点 C的纵坐标为 yC，求 yC的最大值，此时 l上有两点 (x1， y1)， (x2， y2)，其中 x1 x20

4、，比较 y1与 y2的大小； (3)当线段 OA被 l只分为两部分， 且这两部分的比是 1 4时， 求 h的值 (一 ) 河北 6年中考真题 解： (1)把 x 2， y 1代入 y (x h)2 1，解得 h 2. l的解析式为 y (x 2)2 1. 对称轴为直线 x 2，顶点坐标为 (2， 1) (2)点 C的横坐标为 0，则 yC h2 1. 当 h 0时， yC有最大值 1. 此时 l的解析式为 y x2 1，对称轴为 y轴， 当 x0时， y随 x的增大而减小 当 x1 x20时， y1 y2. (一 ) 河北 6年中考真题 (3)把线段 OA分为 1 4两部分的点为 ( 1， 0

5、)或 ( 4， 0) 把 x 1， y 0代入 y (x h)2 1， 解得 h 0或 h 2. 但当 h 2时， OA被 l分为三部分，不合题意，舍去 同理，把 x 4， y 0代入 y (x h)2 1， 解得 h 5或 h 3(舍去 ) 综上所述， h的值为 0或 5. (一 ) 河北 6年中考真题 4.【导学号： 79700063】 (2014， T24， 11分 )如图， 2 2网格 (每个小正方形的边长为 1)中有 A， B， C， D， E， F， G， H， O九个格点抛物线 l的解析式为 y ( 1)nx2 bx c (n为整数 ) (1)若 n为奇数，且 l经过点 H(0，

6、 1)和 C(2， 1)，求 b， c的值， 并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点； (2)若 n为偶数，且 l经过点 A(1， 0)和 B(2， 0)，通过计算说明点 F(0， 2) 和 H(0， 1)是否在该抛物线上； (3)若 l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条 件的抛物线条数 (一 ) 河北 6年中考真题 解： (1)当 n为奇数时， y x2 bx c， 把点 H(0， 1)， C(2， 1)的坐标代入 y x2 bx c， 得 解得 此时格点 E(1， 2)是该抛物线的顶点 (一 ) 河北 6年中考真题 1, 4 2 1 , c bc 2, 1. b c (一 ) 河北

7、 6年中考真题 (2)当 n为偶数时， y x2 bx c， 把点 A(1， 0)和 B(2， 0)的坐标代入 y x2 bx c， 得 解得 抛物线对应的函数解析式为 y x2 3x 2. 当 x 0时， y 2， 点 F(0， 2)在该抛物线上，点 H(0， 1)不在该抛物 线上 (3)所有满足条件的抛物线共有 8条 . 1 0, 4 2 0, bc bc 3, 2. b c (一 ) 河北 6年中考真题 (3)中当 n为奇数时，由 (1)中的抛物线平移又得到 3条抛物线， 如答图所示；当 n为偶数时，由 (2)中的抛物线平移又 得到 3条抛物线，如答图 3. 所示所以满足 (3)中条件

8、的抛物线共有 8条 返回 考点 1 二次函数的概念及解析式 (二 ) 河北中考考点梳理 1. 定义：一般地，如果两个变量 x和 y之间的函数关 系可以表示成 y ax2 bx c(a， b， c是常数，且 a0)，那么称 y是 x的二次函数，其中， a叫做二 次项系数， b叫做一次项系数， c叫做常数项 (二 ) 河北中考考点梳理 2二次函数解析式的确定 (1)求二次函数解析式一般用待定系数法根据所给条 件的不同，要灵活选用函数的解析式： A.当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 y ax2 bx c的形式； B.当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶 点式 y a(x h)2 k的形式

9、； C.当已知抛物线与 x轴的交点或交点横坐标时，通 常设为两点式 y a(x x1)(x x2)的形式 (二 ) 河北中考考点梳理 (2)步骤： 设二次函数的解析式； 根据已知条件，得到关于待定系数的方程 (组 )； 解方程 (组 )，求出待定系数的值，从而写出函数 的解析式 (3)三种解析式之间的关系 顶点式 一般式 两点式 返回 配 方 因 式 分 解 1. 图象 及性质 考点 2 二 次函数的图象及 其 性质 (必考 ) (二 ) 河北中考考点梳理 函数 二次函数 y ax 2 bx c(a， b， c为常数， a0) 图象 a 0 a 0 对称 轴 直线 x _ 2ba 续表 (二

10、) 河北中考考点梳理 函数 二次函数 y ax2 bx c(a， b， c为常数， a0) 顶点 坐标 增减性 在对称轴的左侧， 即 当 x 时 ， y随 x的 增大而减小；在 对称 轴 的右侧，即当 x 时 ， y随 x的增大而增大， 简记为 “左减右增 ” 在对称轴的左侧，即 当 x 时 ， y随 x 的增大而增大；在对 称轴的右侧，即当 x 时 ， y随 x的 增大而减小，简记为 “左增右减 ” 24 ,24b a c baa _ 2 b a 2 b a 2 b a 2 b a 续表 (二 ) 河北中考考点梳理 函 数 二次函数 y ax 2 bx c(a， b， c为常数， a0) 最

11、 值 抛物线有最低点，且当 _时， y有最小 值， y最小值 抛物线有最高点，且 当 时， y有最 大值， y最大值 _ 2 bx a 24 4 ac b a 2 bx a 24 4 ac b a 2.系数 a， b， c与二次函数图象的关系 (二 ) 河北中考考点梳理 字母的符号 图象的特征 a a 0 开口向上 a 0 _ b b 0 对称轴为 _ ab 0(b与 a同号 ) 对称轴在 y轴左侧 ab 0(b与 a异号 ) 对称轴在 y轴右侧 开口向下 y轴 项目 字母 续表 (二 ) 河北中考考点梳理 字母的符号 图象的特征 c c 0 过 _ c 0 与 y轴正半轴相交 c 0 与 y

12、轴负半轴相交 b2 4ac b2 4ac 0 与 x轴有唯一公共点 (顶点 ) b2 4ac 0 与 x轴有 _公共点 b2 4ac 0 与 x轴 _公共点 项目 字母 两个不同的 原点 没有 续表 (二 ) 河北中考考点梳理 字母的符号 图象的特征 特殊关系 当 x 1时， y a b c 当 x 1时， y a b c 若 a b c 0，即 x 1时， y 0 若 a b c 0，即 x 1时， y 0 项目 字母 返回 1. 平移步骤： (1)将抛物线解析式转化为顶点式 y a(x h)2 k， 确定其顶点坐标； (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标 (h， k) 即可 考点 3

13、二 次函数 图象的平移 (二 ) 河北中考考点梳理 2. 平移规律 (二 ) 河北中考考点梳理 移动方向 平移前的解析式 平移后的解析式 规律 向左平移 m个单位 长度 (m 0) y a(x h)2 k y a(x h m) 2 k 左 加 向右平移 m个单位 长度 (m 0) y a(x h)2 k y a(x h m) 2 k 右 减 续表 (二 ) 河北中考考点梳理 移动方向 平移前的解析式 平移后的解析式 规律 向上平移 m个单位长 度 (m 0) y a(x h)2 k y a(x h) 2 k m 上加 向下平移 m个单位长 度 (m 0) y a(x h)2 k y a(x h

14、) 2 k m 下减 口诀：左加 右减 、上加 下减 返回 1. 当抛物线与 x轴有两个公共点时，两公共点的横坐 标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数 根 2当抛物线与 x轴只有一个公共点时，该公共点的横 坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数 根 3当抛物线与 x轴没有公共点时，对应的一元二次方 程没有实数根 考点 4 二次函数与一元二次方程的关系 (二 ) 河北中考考点梳理 返回 1 (2016广州 )对于二次函数 y x2 x 4，下 列说法正确的是 ( ) A当 x0时， y随 x的增大而增大 B当 x 2时， y有最大值 3 C图象的顶点坐标为 ( 2， 7) D图象与 x

15、轴有两个交点 题组一 二 次函数的图象 及 性质 (三 ) 河北中考题型突破 B 1 4 (三 ) 河北中考题型突破 二次函数 y x2 x 4 (x 2)2 3， 所以二次函数的图象开口向下，当 x 2时， y取得最 大值，最大值为 3，所以 B正确 1 4 1 4 2.(2016枣庄 )已知二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象 如图所示，给出以下四个结论： abc 0； a b c 0； a b； 4ac b2 0.其中，正确的结论 有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 (三 ) 河北中考题型突破 C (三 ) 河北中考题型突破 由 y ax2 bx c的图象过原点

16、(0， 0)，得 c 0， 所以 abc 0，所以 正确；观察图象可知，当 x 1时， y 0，所以 a b c 0，所以 不正确；由图象， 得 ，得 b 3a.又 a 0，所以 a b，所以 正确；抛物线与 x轴有两个交点，所以 b2 4ac 0， 4ac b2 0，所以 正确解答此类问题要注意多从 图象中获取信息 3 22 b a 3. (2016邯郸一模 )已知抛物线 y x2 (4m 1)x 2m 1 与 x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于 2，另 一个交点的横坐标小于 2，并且抛物线与 y轴的交点在 点 的下方，那么 m的取值范围是 ( ) A. m B m C m D全体实数

17、 (三 ) 河北中考题型突破 A 1 0, 2 1 4 1 4 1 6 1 6 (三 ) 河北中考题型突破 抛物线 y x2 (4m 1)x 2m 1与 x轴交于两点， 一个交点的横坐标大于 2，另一个交点的横坐标小 于 2，且抛物线开口向上， 当 x 2时， y 0，即 4 2(4m 1) 2m 1 0， 解得 m . 又 抛物线与 y轴的交点在点的 下方， 2m 1 0，解得 m ， 综上可得 m . 1 6 1 6 1 4 1 4 10, 2 返回 (三 ) 河北中考题型突破 规律点拨 抛物线的开口方向取决于 a的符号；抛物线 y a(x h)2 k的顶点坐标为 (h， k)；对称轴为直

18、线 x h；增 减性既要考虑开口方向，又要考虑是在对称轴的左边 还是右边 1. (2016邯郸一模 )如图，在平面直角坐标系中，过 点 A且与 x轴平行的直线交抛物线 y (x 1)2于 点 B， C，线段 BC的长度为 6，抛物线 y 2x2 b与 y轴交于点 A，则 b等于 ( ) A 1 B 4.5 C 3 D 6 题组二 二 次函数解析式的确定 (三 ) 河北中考题型突破 C 1 3 (三 ) 河北中考题型突破 抛物线 y (x 1)2的对称轴为直线 x 1，由 BC x轴，且 BC 6，可知点 C的横坐标为 2， 点 C 的纵坐标为 (2 1)2 3， b 3. 1 3 1 3 2.

19、 (2016泰安 )将抛物线 y 2(x 1)2 2向左平移 3个单 位，再向下平移 4个单位，那么得到的抛物线的解 析式为 _ (三 ) 河北中考题型突破 y 2(x 2)2 2 将抛物线 y 2(x 1)2 2向左平移 3个单位，向下 平移 4个单位，得到的抛物线的解析式为 y 2(x 1 3)2 2 4，即 y 2(x 2)2 2. 3. (2016保定模拟 )若抛物线 y ax2 bx c的顶点是 A(2， 1)，且经过点 B(1， 0)，则抛物线的解析式为 _ (三 ) 河北中考题型突破 y x2 4x 3 方法点拨 求二次函数的解析式，通常需要三个条件，要 学会转化，把所给信息转化

20、为等式 返回 (三 ) 河北中考题型突破 1. (2016宿迁 )若二次函数 y ax2 2ax c的图象经过 点 ( 1， 0)，则方程 ax2 2ax c 0的解为 ( ) A x1 3， x2 1 B x1 1， x2 3 C x1 1， x2 3 D x1 3， x2 1 题组三 二次函数与一元二次方程的关系 (三 ) 河北中考题型突破 C 二次函数 y ax2 2ax c的图象经过点 ( 1， 0)， 方程 ax2 2ax c 0一定有一个解为： x 1. 抛物线的对称轴为：直线 x 1， 二次函数 y ax2 2ax c的图象与 x轴的另一个交点为： (3， 0)， 方程 ax2

21、2ax c 0的解为： x1 1， x2 3. (三 ) 河北中考题型突破 2已知抛物线 y x2 x 1与 x轴的一个交点为 (m， 0)， 则代数式 m2 m 2 016的值为 ( ) A 2 014 B 2 015 C 2 016 D 2 017 D 方法点拨 抛物线 y ax2 bx c(a0)与 x轴交点的横坐标就是 一元二次方程 ax2 bx c 0(a0)的解这里要注意 两点：一是抛物线与 x轴的交点的横坐标与方程解的 联系，二是与一元二次方程的这两个解对应的抛物 线与 x轴的两个交点关于对称轴对称在已知抛物线 的对称轴和其中一个交点的坐标时，根据对称性， 可以便捷地求出另一个交点的坐标 (三 ) 河北中考题型突破