完全弹性碰撞

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1、37完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞一、碰撞（Collision）1. 基本概念：碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中相 互靠近，或发生接触时，在相对较短的时间内发生强 烈相互作用的过程。碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态 发生明显的变化。碰撞过程一般都非常复杂，难于对过程进行仔细 分析。但由于我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生 碰撞的物体系来说，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用动量、角动量 以及能量守恒定律对有关问题求解。2. 特点:1）碰撞时间极短2）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒3）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计3 .碰撞

2、过程的分析：讨论两个球的碰撞过程。碰撞过程可分为两个过程。开始碰撞时，两球相 互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两 球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩 阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有 相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰 撞的第二阶段，称为恢复阶段。整个碰撞过程到此结束。4.分类：根据碰撞过程能量是否守恒1）完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）；2）非弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）；3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运

3、动（完全不能恢复原状）。二、完全弹性碰撞（Perfect Elastic Collision） 在碰撞后，两物体的动能之和（即 总动能）完全没有损失，这种碰撞叫做 完全弹性碰撞。解题要点：动量、动能守恒。问题：两球m1， m2对心碰撞，碰撞前吋u) fltlt右速度分别为V1, V ；碰撞后速度变为V ,V10 20 1 2动量守恒动能守恒由（1）由（2）m V + m V 二 m V + m V1 1 2 2 1 10 2 201111m v 2 + m v 2 = m v 2 + m v 221 122221 1022 20 -v )= m G1 102 V 2(1)(2)由(4)/(3)

4、m1m1 1 10V + V二 V + V1 10 2 20-V202、2 V 2202(4)V v 二 V v10 20 2 1即碰撞前两球相互趋近的相对速度v0 -v20(5)等于碰撞后两球相互分开的相对速度叮气。由(3)、讨论:式可以解出：+ 2m v100-m + m (m m . 2 1m + mi+ 2m v500 m m，则v v ， v v，两球碰撞时交换速度1 2 2 10 1 20 v 0，m m则v u v ，v 0，m反弹，即质量很大且原来20 1 2 1 10 2 1静止的物体，在碰撞后仍保持不动，质量小的物体碰撞后速度等值反向。 若m m，且v =0，则v v ，

5、v 2v，即一个质量很大的球体，当它2 1 20 1 10 2 10的与质量很小的球体相碰时，它的速度不发生显著的改变，但是质量很小 的球却以近似于两倍于大球体的速度运动。三、完全非弹性碰撞(Perfect Inelas tic Collision)如两物体在碰撞后以同一速度运动(即它们相碰后不再分开)，这种碰撞叫 做完全非弹性碰撞。解题要点：动量守恒。碰撞后系统以相同的速度运动v v 2 v m v + m v =(m + m )02 20 1 2m v+ m vv 02 20m + m12动量守恒所以动能损失为E=1 )+ m v 22 20丿丄(m + m212m m (1_1v v21

6、m + m 10201 2四、非完全弹性碰撞两物体碰撞时，由于非保守力作用，致使机械能转换为热能、声能、化学 能等其他形式的能量，或者其他形式的能量转换为机械能，这种碰撞就叫做非 弹性碰撞。解题要点：动量守恒、能量守恒。由于压缩后的物体不能完全恢复原状而有部分形变被保留下来，因此系统 的动量守恒而动能不守恒。实验表明，压缩后的恢复程度取决于碰撞物体的材料。牛顿总结实验结果， 提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度v -v与碰撞前两球的接近速度v -v2 1 1020 之比为以定值，比值由两球材料的性质决定。该比值称为恢复系数(Coefficient of Restitution),用 e 表示，即

7、v ve 21v v10 20由上式可见：e=0，v2=v1，为完全非弹性碰撞；e=1，v2=v1= v10-v20，为完全弹性碰撞;0e1，为非完全弹性碰撞。m em 人1 2 10m + m1 2丿 + (1 + e)m v+ (1 + e)m v2 20(m em= 21_20 -m + m1 2例题：如图所示，质量为1kg的钢球，系在长为l=0.8m的绳子的一端，绳子的 另一端固定。把绳子拉至水平位置后将球由静止释 放，球在最低点与质量为5kg的钢块作完全弹性碰 撞。求碰撞后钢球升高的高度。解：本题分三个过程： 第一过程：钢球下落到最低点。以钢球和地球为系 统，机械能守恒。以钢球在最低

8、点为重力势能零点。mv 2 = mgl2 o第二过程： 恒。1mv 22 o钢球与钢块作完全弹性碰撞，以钢球和钢块为系统，动能和动量守11=mv 2 + MV 222mv 二 mv + MV(3)0第三过程：钢球上升。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为 重力势能零点。mv 2 = mgh2(3)可得2 v 2 厶 MV 2由(6)/(5), 代入因而m(v v)二 MV0 得 v + v 二 V mv 二 mv + M (v + v)0 0(m M vo(4)/(1),(7)代入(8) h =得v 2 _ hv 2 l0厂 m M代入数据，得h =x 0.8 二 0.356m38

9、能量守恒定律一、内容：如果系统内除了万有引力、弹性力等保守力作功以外，还有摩擦力或其他 非保守内力作功，那么这系统的机械能就要发生变化，但它总是转换为其他形 式的能量，这是由大量的实验所证明的。对于一个孤立系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是 不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，能量的总和是不变的。这就是 能量守恒定律。该定律是自然界的基本定律之一，是物理学中最具普遍性的定律之一，可 适用于任何变化过程，不论是机械的、热的、电磁的、原子和原子核内的，以 及化学的、生物的等等，其意义远远超出了机械能守恒定律的范围，后者只不 过是前者的一个特例。二、说明：1 .能量守恒定律是

10、19世纪，经过J.M.Meyer, D.Joule和H.Von Helmholtz等人的努力建立起来的。Engels把能量守恒定律同生物进化论、细胞的发现相提 并论，誉为19世纪的三个最伟大的科学发现。2 .因为能量是各种运动的一般量度，所以能量守恒定律所阐明的实质就是各种物质的运动可以相互转换。三、能量守恒定律的重要性： 自然界一切已经实现的过程无一例外遵守能量守恒定律。 凡是违反能量守恒定律的过程都是不可能实现的，例如“永动机”只能以 失败而告终。 利用能量守恒定律研究物体系统，可以不管系统内各物体的相互作用如何 复杂，也可以不问过程的细节如何，而直截了当地对系统的始末状态的某 些特征下结

11、论，为解决问题另辟新路子。这也是守恒定律的特点和优点。四、守恒定律的意义自然界中许多物理量，如动量、角动量、机械能、电荷、质量、宇称、粒 子反应中的重子数、轻子数等等，都具有相应的守恒定律。物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为：第一，从方法论上看：利用守恒定律可避开过程细节而对系统始、末态下结论(特点、优点)。 第二，从适用性来看：守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、低速均适用(牛顿定律只 适用于宏观、低速，但由它导出的动量守恒定律的适用范围远它广泛，迄今为止没发现它不 对过)。第三，从认识世界来看：守恒定律是认识世界的有力武器。在新现象研究中，当发现某个守 恒定律不成立时，往往作

12、以下考虑：(1) 寻找被忽略的因素，从而恢复守恒定律的应用。(2) 引入新概念，使守恒定律更普遍化。(3) 无法“补救”时，宣布该守恒定律失效。例：中微子的发现问题的提出:卩衰变：核A - 核B + e如果核A静止，则由动量守恒应有PB +P = 0 ；但卩衰变云室照片表明,B、e的径迹并 不在一条直线上。6问题何在？是动量守恒有问题?还是有其它未知粒子参与？物理学家坚信动量守恒。 1930年泡利（W.Pauli）提出中微子假说，以解释卩衰变各种现象。 1956年（26年后）终于在实验上直接找到中微子。 1962实验上正式确定有两种中微子：电子中微子v e、p子中微子v 第四，从本质上看：守恒

13、定律揭示了自然界普遍的属性一对称性。每一个守恒定律都相应于一种对称性（变空间平移的对称性 时间平移的对称性 空间转动的对称性换不变性）：动量守恒 相应于 能量守恒 相应于 角动量守恒 相应于*功与能量的联系和区别能量守恒定律能使我们更深刻地理解功的意义。按能量守恒定律，一个物体或系统的能量变化时，必然有另一个物体或系 统的能量同时发生变化。所以当我们用作功的方法（以及用传递热量等其他方 法）使一个系统的能量变化时，在本质上是这个系统与另一个系统之间发生了 能量的交换。而这个能量的交换在量值上就用功来描述。所以说，（1）功总是和能量的变化与转换过程相联系。（2）功是能量交换或变化的一种量度。（3

14、）能量是代表物体系统在一定状态下所具有的作功本领，它和物体系统 的状态有关，是系统状态的函数。* 39质心 质心运动定律内容：1.质心的概念；2.质心运动定律。一、质心(Center of Mass)的概念1. 例子：水平上抛三角板；运动员跳水2. 质心代表质点系质量分布的平均位 置，质心可以代表质点系的平动。3. 推导：N个质点组成的质点系，第i个质 点的质量为m，位置矢量为r，所受的合ii力为F = / + / ，其中f.为系统内各质i ii夕卜 -i点对它作用的内力，f 为系统外质点对它i外作用的外力。根据牛顿第二定律得d2 r -m i = F = f + fi dt 2i ii外对整

15、个质点系中的所有质点求和V 咅 Vd2rF =厶 m 1-i i dt 2由于质点系内各质点之间的相互作用 满足牛顿第三定律，这些相互作用力的和为零(V f = 0)，所以V零(V f = 0),所以乙F等于质点系所受的合外力F，即VF=F，而 V m ii dt 2i因而可引入质心V m ri ir = -i=c Vmii=1在直角坐标系中，质心位置矢量各分量的表达式为：V m zi i-4=1V mii=1d2rd2 Vf -A V d24=m r mLJdt 2i i1 dt2miV m xi i-i=1V mii=1对于连续分布的物体,r = J rdmc M分量形式为x = J xd

16、m ,c MV m yi i=-4=1V mii=1质心的计算公式为:二丄 J ydm, zM二丄 J zdmM例题：试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。解：取如图所示的坐标系。由于质量面密度b为恒量，取微元ds二dxdy的质量为 dm = g ds = g dxdy所以质心的x坐标为JJ xbdxdyG dxdya 从图中可以看出，三角形斜边的方程为y二a- xb积分得odxdyab 2aboa0 0dxdy同样可以求得质心的y坐标ycJJ yG dxdyJJg dxdy积分yc0drdta 2 b g - _6_ ab G2因而质心的坐标为 说明：1) 坐标系的选择不同，

17、质心的坐标也不同；2) 对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处；3) 质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上；4) 质心和重心(CenterofGravity)是两个不同的概念质心是有由质量分布决定的特殊的点；重心是地球对物体各部分引力的合 力的作用点。当物体远离地球时，重力不存在，重心的概念失去意义，但是质 心还是存在的。二、质心运动定律(Theorem of Motion of Center-of-Mass)1. 系统的动量把质心公式对时间求导dr m i i dtdr- dr-i为质心的速度V， 4为第i个质点的速度为V，因而上式为 dtc dtiMv =乙 m

18、 v =乙 pci ii即，系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积。2. 质心运动定理引入系统动量以后，系统所受的合外力可以写成-dv-F = M ，= Ma cdtc即,作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相对于系统的质量全部集中于系统 的质心，在合外力的作用下，质心以加速度a运动。c说明：无论系统内各质点的运动任何复杂，但是质心的运动可能相当简单，只 由作用在系统上的外力决定；内力不能改变质心的运动状态。大力士不能自举 其身就是一例。质心是质点系平动的代表点，各质点追随质心的运动，表现出 系统的整体运动。3.

19、克尼希(Konig Theorem)定理质点系的总动能，等于相对于质点系的动能，加上随质点系整体平动的动 能，即1E = E + mv 2kk 2 c例题：设有一个质量为2m的弹丸，从地面 斜抛出去，它飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两个碎片。其中一个碎片竖直自由下落, 另一个碎片水平抛出，它们同时落地。试问 第二各碎片落地点在何处？解：考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸前后弹丸的质心的运动轨迹都在同一抛物线上。如取第一个碎片的落地点 为坐标原点，水平向右为坐标轴的正方向，设m1和m2为两个碎片的质量，且 m-= m=m； x和x2为两个碎片落地点距原点的距离，x为弹丸质心距坐标原点1 2 1 2的距离。有假设可知叫=0,于是m x + m x2m + m1 2由于x1=0， m= m2=m，由上式可得x1=x即第二各碎片的落地点的水平距离为碎片质心与第一个碎片水平距离的两倍。