大学物理流体力学)#

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1、第 4 章 流体力学前面讨论过刚体的运动,刚体是指形状大小不变的物体.只有固体才可以近似 地认为是刚体.气体和液体都是没有一定形状的 ,容器的形状就是它们的形状 .固 体的分子虽然可以在它们的平衡位置上来回振动或旋转,但活动范围是很小的.然 而气体或液体的分子却可以以整体的形式从一个位置流动到另一个位置 ,这是它 们与固体不同的一个特点 ,即具有流动性.因为这种流动性 ,把气体和液体统称为 流体 .流体是一种特殊的质点组,它的特殊性主要表现为连续性和流动性 .因而仍 可用质点组的规律处理流体的运动情况.研究静止流体规律的学科称为流体静力 学,大家熟悉的阿基米德原理、帕斯卡原理等都是它的内容.研

2、究流体运动的学科 叫流体动力学,它的一些基本概念和规律即为本章中要介绍的内容.流体力学在航空、航海、气象、化工、煤气、石油的输运等项目部门中都有 广泛的应用,研究流体运动的规律具有重要的意义.4.1 流体的基本概念一、理想流体实际流体的运动是很复杂的 .为了抓住问题的主要矛盾 ,并简化我们的讨论, 即对实际流体的性质提出一些限制,然而这些限制条件并不影响问题的主要方面. 在此基础上用一个理想化的模型来代替实际流体进行讨论 .此理想化的模型即为 理想流体.1. 理想流体理想流体是不可压缩的.实际流体是可压缩的,但就液体来说,压缩性很小.例 如的水,每增加一个大气压,水体积只减小约二万分之一,这个

3、数值十分微小,可忽 略不计 ,所以液体可看成是不可压缩的 .气体虽然比较容易压缩 ,但对于流动的气 体,很小的压强改变就可导致气体的迅速流动,因而压强差不引起密度的显著改变, 所以在研究流动的气体问题时,也可以认为气体是不可压缩的.理想流体没有粘滞性.实际流体在流动时都或多或少地具有粘滞性.所谓粘滞 性,就是当流体流动时,层与层之间有阻碍相对运动的内摩擦力（粘滞力）.例如瓶中 的油,若将油向下倒时 ,可看到靠近瓶壁的油几乎是粘在瓶壁上 ,靠近中心的油流 速最大,其它均小于中心的流速.但有些实际流体的粘滞性很小 ,例如水和酒精等 流体的粘滞性很小,气体的粘滞性更小 ,对于粘滞性小的流体在小范围内

4、流动时 , 其粘滞性可以忽略不计.为了突出流体的主要性质流动性,在上述条件下忽略它的次要性质 可压缩性和粘滞性,我们得到了一个理想化的模型：不可压缩、没有粘滞性的流 体,此流体即为理想流体.2.稳定流动流线 流体的流动,可看作组成流体的所有质点的运动的总和 ,在某一时刻,流 过空间任一点（对一定参照系如地球而言）的流体质点都有一个确定的速度矢量 , 一般情况下,这个速度矢量是随时间改变的 .但在任一瞬间 ,可以在流体中画出这 样一些线,使这些线上各点的切线方向与流体质点在这一点的速度方向相同,这些 线就叫这一时刻的流线.稳定流动流体中流线上各点的速度都不随时间变化。流体作稳定流动时 ,流 线的

5、形状不会发生变化,流线也就成了流体质点的运动轨迹。例如:化工生产中常 用管道输运流体物料.开始时,管内各处的流速都随时间变化 ,这时物料的流动就 不是稳定流动;但在转入正常工作后,管内各处流速随时间变化就不显著了 ,这时 物料的流动就可以看作稳定流动.又如水龙头流出的细水;水缓慢地流过堤坝等现 象,在不太长的时间内都可以看作稳定流动。流管 如果在稳定流动的流体中划出一个小截面 S ,如图 4.2 所示,并且通过 它的周边各点作许多流线，由这些流 线所组成的管状体叫流管 .流管是为 了讨论问题方便所设想的 .因为在稳 定流动的流体中一点只能有一个速 度，所以流线是不能相交的 .又因为速 度矢量相

6、切于流线 ，所以管内流体不 会流出管外，管外流体也不可能流入 流管里面，流管确实和真实的管道相 似.我们可以把整个流动的流体看成是由许多流管组成的，只要知道每一个流管中 流体的运动规律，就可以知道流体的运动规律.二、实际流体在前面的讨论中，我们把流体当作理想流体看待 .理想流体是不可压缩，没有 粘滞性或粘滞性可忽略的流体 .但是有些液体，例如前面讲过的油类，粘滞性较大， 内摩擦阻力就必须考虑 ，既使粘滞性较小，内摩擦较小，但在长距离流动中，内摩擦 力所引起的能量损失也不能忽略.所以我们还需要讨论实际流体.1 层流如果在一支垂直的滴定管中倒入无色甘油，在上面加上一段着色的甘油，然后 打开管下端的

7、活塞让甘油流出.从上面着色甘油的形状变化可以看出，甘油流动的 速度并不是完全一致的愈靠近管壁，液体的速度愈慢，和管壁接触的液粒附着在管 壁上，速度为零.在中央轴线上的液粒速度最大 .这种现象说明管内的液体是分层 流动的，称为层流.实际液体作层流时,相邻液层作相对滑动,两层之间存在着切向的相互作用力, 称为内摩擦力或粘滞力.在图 4.4 中,为了表示得清楚一些,我们把相邻的两个液层 画得分开远一点,并假设左边的液层流速 比右边的液层流速要快. F 是右液层作 用于左液层的内摩擦力,F 是左液层作用于右液层的内摩擦力.根据牛顿第三定律, 它们是大小相等方向相反的.通过内摩擦力,流速快的液层对流速慢

8、的相邻液层有 推动前进的作用,而流速慢的液层对流速快的相邻液层则有阻止作用.内摩擦力是由分子间的相互作用力引起的.液体的内摩擦力比气体大得多.内 摩擦力和温度密切相关.液体的温度越高,内摩擦力越小,而气体则相反,内摩擦力 随温度增加而增加.2粘滞系数在层流中,内摩擦力的大小与从一层到另一层液体流速变化的快慢程度很有 关系.图4.5表示相距Ax的两个液层,它们的速度差为Au ,比值Au/Ax的极限 色表示在点A速度沿x方向的变化率称为在x方向上的速度梯度实验证明，内 dx摩擦力F的大小是和液层的接触面积S以及被考虑地点的速度梯度dU成正比的,dxdU即 F 二耳 SdU(4.1)dx式中的比例系

9、数n称为液体的粘滞系数或内摩擦系数.它的值取决于液体的性质, 并和液体的温度有关.粘滞系数的SI制单位是Nsm23 湍流当流体流动的速度超过一定数值时,流体将不能再保持分层流动.外层的流体 粒子不断卷入内层,形成漩涡.整个流动显得杂乱而不稳定,称为湍流.在水管及河 流中都可以看到这种现象.在一根管子中，影响湍流出现的因素除速度u外，还有流体的密度p、粘滞系 数n以及管子的半径r.我们可以把这些因素写成pu r(4.2) 1000层流=R 2000 湍流称为雷诺数,它是一个无量纲的值. 从式(4.2)可以看出,流体的粘滞性愈小,密度愈大愈容易发生湍流 .细的管子 不容易出现湍流.流体在作湍流时所

10、消耗的能量要比层流多.另外湍流还有一个区别于层流的 特点,就是它能发出声音.4.2理想流体的流动一、连续性方程在一个流管中任意取两个与流管垂直的截面S和s2 (如图4.2).设流体在这两个截面处的速度分别是u和u .则在单位时间内流过截面s1和s2的体积应分别等1 2 1 2于 s u 和 s u .对于作稳定流动的理想流体来1 1 2 2说,在同样的时间内流过两截面的流体体积应该是相等的.由此得:S u At 二 S u At T S u 二 S u (4.3)1 1 2 2 1 1 2 2这就是说,不可压缩的流体在管中作稳 定流动时，流体流动的速度u和管的横截面积S成反比，粗处流速较慢，细

11、处流速较 快.式(4.3)称为流体的连续性方程 .这一关系对任何垂直于流管的截面都成立 .式 (4.3)表明:理想流体作稳定流动时 ，流管的任一截面与该处流速的乘积为一恒量 . su表示单位时间流过任一截面的流体体积，称为流量.单位为米3 /秒.(4.3)式表示 沿一流管，流量守恒.这一关系称为连续性原理.理想流体是不可压缩的，流管内各处的密度是相同的.所以 pS u =pS u(4.4)1 1 2 2即单位时间内流过流管中任何截面的流体质量都相同.进入截面S的流体质量等 于由截面 s2 流出的流体质量.所以式(4.4)表示的是流体动力学中的质量守恒定 律.4.6伯努利方程的推导二、伯努利方程

12、伯努利方程式是流体动力学中 一个重要的基本规律，用处很广，本质 上它是质点组的功能原理在流体流 动中的应用.当流体由左向右作稳定流动时，取一细流管，将其中的XY这一流体块作为我们研究对象如图4.6(a)所示. 设流体在X处的截面为s1,压强为P1,速度为u，高度(距参考面)为h1;在Y处的1 1 1 1截面积为s2,压强为P2,速度为铁，高度为h2经过很短的一段时间At后，此段流体的 位置由XY移到了 XY，如图4.6(b)所示，实际情况是截面s1前进了距离Al，截11面s2前进了 Al .在At T 0的情况下,Al T 0 , Al t 0 .可以认为在这样微小距离2 2 1 2内u和作用

13、于s1上的压强P1是不变的;u和作用于s2上的压强P2也是不变的,1 1 1 2 2 2高度亦为hh2同时设想S和s2面积都未变，而且作用于它们上的压强是均匀的. 让我们来分析一下在这段时间内各种力对这段流体所作的功以及由此而引起的 能量变化.对这段流体做功的一种外力就是段外流体对它的压力，在图上用F和F表示,12 则外力所作的净功应为：W = FAl -F Al = PS u At-PS u At = PV-PV(4.5)1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 根据功能原理,外力对这段流体系统所作的净功 ,应等于这段流体机械能的增量 . 即 W = AE +AE(4.6)kP仔细分析

14、一下流动过程中所发生的变化可知，过程前后X 与Y之间的流体状 态并未出现任何变化.变化仅仅是表现在截面 X 与 X 之间流体的消失和截面 Y 和 Y 之间流体的出现.显然,这两部分流体的质量是相等的.以 m 表示这一质量,则 此段流体的动能和势能的增量分别为AEkAE 二 mgh mgh ,P2111二 mu 2 mu 22 2 2 111于是就有 PV P V 二(一mu2 mu2) + (mgh mgh )1 2 2 2 2 1 2 111即 PV + mu2 + mgh 二 P V + mu2 + mgh12i12222(4.7)1 1P + pu2+p gh广 P+2 pu2+p gh

15、2式中p = m/ V是液体的密度因为X和Y这两个截面是在流管上任意选取的，可见 对同一流管的任一截面来说,均有P + 2pu2 + p gh二常数(4.8)式(4.7)和(4.8)称为伯努利方程式,它说明理想流体在流管中作稳定流动时,每单位 体积的动能和重力势能以及该点的压强之和是一常量.伯努利方程在水利、造船、化工、航空等部门有着广泛的应用 .在项目上伯努 利方程常写成+ 兰 + h 二常数(4.9)p g 2 g上式左端三项依次称为压力头、速度头、和高度头,三项之和称为总头.于是 式(4.9)说明“沿一流线,总头守恒”.很明显,式(4.8)中压强 P 与单位体积的动能以及单位体积的重力势

16、能 pgh 的 量纲是相同的.从能量的观点出发,有时把称为单位体积的压强能 .这样以来,伯努 利方程的意义就成为理想流体在流管中作稳定流动时 ,流管中各点单位体积的压 强能、动能与重力势能之和保持不变.具有能量守恒的性质.应用伯努利方程式时应注意以下几点：(1) 取一流线,在适当地方取两个点,在这两个点的 V、h、P 或为已知或为所 求,根据(4.7)式可列出方程.(2) 在许多问题中,伯努利方程式常和连续性方程联合使用 ,这样便有两个方 程式,可解两个未知数.(3) 方程中的压强 P 是流动流体中的压强,不是静止流体中的压强,不能用静 止流体中的公式求解除与大气接触处压强近似为大气压外，在一

17、般情况下,P是未 知数,要用伯努利方程去求.(4) 为了能正确使用这个规律,再次强调,应用伯努利方程式时,必须同时满足 三个条件：理想流体,稳定流动,同一流线.三、伯努利方程式的应用1.水平管在许多问题中，流体常在水平或接近水平的管子中流动这时,h = h，式(4.7)12变为P + pu2 = P + pu2(h = h )1 2 1 2 2 2 1 2 从这一公式可以得出:在水平管中流动的流体,流速小处压强大,流速大处压强小的结论.如图4.7所示.这个结论和连续性原理:截面积大处速度小,截面积小处 速度大联合使用,可定性说明许多问题.例如,空吸作用、水流抽气机、喷雾器等都是根据这一原理制成

18、的.Pl2.在a管的侧面，流体平行于管孔 小孔d在管的一端,正对准流动方流速计匕于5_-_鸡女口图4.8所示,a、b两流过,这时液体在直管中上升高度为hj 向，进入管内的流粒被阻止，形成流速为零的滞止区，这时液体在管中的高度就比a管高，设为h2，令 P、P2分别为hh2与 对应点处的压强,根据伯努利方程有P + pU2 二 P + pU2T P - P 二-PU22 2而 P - P =p gh22 2 2 2在流体力学中，经常用液柱或流体柱高度（高度差）来表示压强（压强差）的大小.所以上式就可表示为P2 -P 二 2P2 =pgh若表示压强差的流体与管中流体相同，则U = p顽，若两者不同，则 u= ：2p型.因此，用液柱高度表示流体压强时，必须注意二者相同与否.P作业（P94）： 4.5