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1、传球问题的统一解法及染色问题刘克让1. 传球问题很多高中数学复习资料中常见有关传球和染色类型的问题.请看:例 1 甲、乙、丙三人相互传球, 甲首先发球作为第一次传球, 传球 5 次 , 球在甲手中 的不同方法有多少种?分析 此类问题解法很多，有的从传球方向分析；有的从中间持球人分析，但传球次 数一多，则分类复杂，不易算对，且方法难以掌握. 本人以遇难则返的思想, 直接用树图求 解,不但简单明快, 还能找到一般的解题规律。解: 由于持球人只能传球给其他2 人, 所以:甲乙丙甲乙 丙A A乙甲(传 1 次)(传 2 次)(传 3 次)(传 4 次)丙甲乙乙丙甲乙容易看出, 若要第5次传球到甲手中,
2、 只要乙丙二人传出即可。 所以, 传球5次, 球在甲手中的不同方法有10种。此种方法有一般性：例2 a , a , a , m (m 3)个人相互传球，a首先发球作为第一次传球，传球12 m1n (n 3)次,球在a手中的不同方法有多少种？球在甲手中的概率是多少?分析1次传球巴传(m-1)种，其中,0(巴手中无球)，传给其余人共：(m-1)种2次传球(m-1)2种，其中a : (m-1)1种，传给其余人共：(m-1)2-(m-1)种；3次传 1球(m-1)种，其中 a : (m-1)2 - (m-1)种，传给其余人:(m-1)3 (m-1)2 + (m-1) 1种；n 次传球(m- 1)n 种
3、，其中 a : (m- 1)n-i - (m- 1)n-2 + + (-1)n(m-1)种，(即 n -1 1次传给其余人的种数)设 S 二(m - 1)n-1 - (m - 1)n-2 + (-1)n (m -1)(-l)n (m 1)1- (-l)nT(m - 1)n-11 + m 1(-1)n (m 1) + (-1)2n (m 1)nm(m - 1)n + (-1)n (m -1)m用数学归纳法容易证得：定理1 m (m 3)个人相互传球，确定某人首先发球作为第一次传球，传球n (n 3)次，球在此人手中的不同方法有S =(m - 1)n + (-1)n (m -1)种；球在甲手中的概
4、mS(m-1)n由此定理计算例1： m = 3, n = 5,(3 -1)5 + (-1)5(3 -1)3=10 (种)2. 传球问题与染色问题的关系仍以例 1 为例. 若把甲、乙、丙三人看成“三种颜色”，5 次传球到甲手中看成“染 5 个区域，相邻区域不同染色，甲选定某色”.，求染法种数. 则两种提法实质是相同的.例 3 现有三种不同颜色供选择染如图 5 个区域，且相邻区域不同色，求不同的染法种数.分析 由于 1 号区有三种染法，由定理1 知不同染法种数(3 -1)5 + (-1)5(3 -1)3=30.于是我们得到如下的(无心)染色定理:定理2有m种不同颜色供选择，染如图n个区域(把图中5改为n,n 3,m 3)，并且相邻区域不同色，则不同染法有(m- 1)n + (-1)n(m-1)种.例 4 甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次 由拿球者传给其他三人中任一人，这样共传了4次，则第 4次球仍回到甲的方法有多少种？ 7回到甲的概率是多少？(21； p= 27)此类问题还有研究空间，欢迎有兴趣的读者积极探索。
传球问题的统一解法及染色问题
