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1、W7醉商明I广州卓越教育机构专题五立体几何中二面角的求法高考在考什么成缅好酷I tiri*i 1二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题 来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射 影法一、定义法:例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D，中，E为CC】中点，求截面A】BD和EBD 所成二面角的度数。1 1 1 !11二、垂线法 例2如图3，设三棱锥V-ABC中，VAL底面ABC，ABBC，DE垂直平分 VC，且分别交 AC、VC 于 D、E，又 VA二AB，VB=BC，求二面角 E-BD-
2、C 的 度数。三、垂面法:例3如图6，设正方体ABCD-A BCD中，E、F分别是AB、CD的中点。 11111 1（1）求证：AE、C、F四点共面；（2）求二面角A -EC-D的大小。1四、延伸法例4.如图10,设正三棱柱ABC-A,B,C 各棱长均为a, D为CC 1中点， 求平面A,BD与平面ABC所成二面角的度数。图m五、射影法例5如图12，设正万体ABCD-A1B1C1D中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底 面ABCD所成二面角。图12参考答案例1、分析与解：本题可用定义法直接作出两截面*BD、EBD所成二面角的平 面角，设 AC、BD 交于 O,连 EO,
3、 AO，由 EB=ED，AB=AD 即知 EOBD, A1OBD，故NEO*%所求二面角的平面角。1 1设棱长为任,则在艮M AO,RiAECO,RtMYCYE中分别求出3 I十勺&。=兰7携再0=七,&区=了,则得刃1。+占。=归渣,即匕41。占 =9。口,所以两截面4和EEZ）所成二面角为90 例2、分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角，因 VBC为等腰三角形,E%VC中点，故BEXVC，又因DEXVC, 故VC1平面BED，所以BDXVC，又VA1平面ABC，故VABD， 从而BD平面VAC。所以匕EDC为二面角E-BD-C的平面角.设日=叫则如=叫四=配=、因故又在整逐AC中jt
4、gAVCA= 屈3故/矿CA=3（J。,而DElC，故匕S DC二页七所以二面角E-BD-C小为6例3分析与证明（1）要证AE、C、F四点共面，可证：A、F/EC，取 DC 中点 H，连 AH、FH，则 AH=EC，又 FH=AA。1故A1F/AH，即A1F/EC，从而A、E、C、F四点共面。(2)要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面 角，本题可用三垂线法，因FH底面ABCD于H，过H作 HMXEC于M，连FM，则由三垂线定理知FMECO所以ZHMF为所求二面角A -EC-D的平面角。1AA=aFH=a,HE=HC=,从而2 2HM二岑皿即妪YFMH =必,所以二面角A-EC-
5、 D为弥tgE例4分析与解 由图，平面A,BD与平面ABC只出现一个交点， 故延长A,D交AC延长线于F点，连BF，则BF为所求二面 角的棱。因 CD=CD，则 AC=CF二BC二AC，所以ZABF=90，取 BF 中点E，连DE，则CEXBF，又DC平面ABF，即DEXBF， 从而ZDEC为所求二面角的平面角。f/-AB=-a,DC=-a,故 N DSC=4T.222所以平面且与平面姬。所成二面角度数为45。说明本题也可用射影法求二面角的度数。例5分析与解：本题应用“射影法”求截面BDM与底面ABCD 所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。因是正方体，所以B、D、M在底面射影分别为B、D、A， 设棱长为a.1 1因AB】风跛在底面的射影AABD的面积为A?,而AB】LM23 5为等腰三角形月I皿耳叫二气反口贝I1MB二日4 4设0中点为Q所 则血。二a4畛 应2故电硒二一队截面$呻与底面如。D所成二面角为&.17即8如少/詹应286/=arccos.17所以截面与底面所成二面角为armoE、区17
立体几何中二面角的求法
