《概率论与数理统计》复习答案

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1、概率论复习一、单项选择题1. 袋中有个乒乓球,其中个黄球,个白球,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人取到黄球的概率是( B ).A. B. C. D. 2. 设为随机事件,且,.则( C ).A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.83. 设随机变量的分布函数为,则的分布函数为( C ). A. B.C. D.4. 设二维随机变量的分布律为则(A). A. B. C. D.5. 设随机变量与相互独立,且,则( D ).A.0 B.1 C. D. 66. 设,未知,取样本,记分别为样本均值和样本方差.检验:,应取检验统计量( C ).A. B. C. D.7. 在10个乒乓球

2、中,有8个白球,2个黄球,从中任意抽取3个的必然事件是( B ).A. 三个都是白球 B. 至少有一个白球 C. 至少有一个黄球D. 三个都是黄球8. 设为随机事件,且,则下列式子正确的是( A ).A.B.C. D.9. 设随机变量,已知标准正态分布函数值,为使,则常数( C ).A. B.1 C.2 D.310. 设随机变量的分布函数为,则( B ).A. B. C. D.11. 二维随机变量的分布律为设,则下列各式中错误的是(D).A. B. C. D.12. 设,则( A ).A. B.0.1 C. D. 113. 在假设检验问题中，犯第一类错误的概率的意义是( C ).A.在不成立的

3、条件下,经检验被拒绝的概率 B.在不成立的条件下,经检验被接受的概率C.在成立的条件下,经检验被拒绝的概率 D.在成立的条件下,经检验被接受的概率14. 设X和Y是方差存在的随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y),则( B )A、D(XY)=D(X) D(Y) B、 D(X+Y)=D(X) + D(Y) C、 X和Y 相互独立 D、 X和Y相互不独立15. 若那么（ B ） A、； B、； C、； D、16. 设总体服从正态分布是来自的样本，的无偏估计量是（ B ）A、； B、； C、； D、17、设随机变量的概率密度为，则 （ B ）A、服从指数分布 B、 C、 D、18、设服从，则服从自

4、由度为的分布的随机变量是（ B ）A、 B、 C、 D、19、设总体，其中已知，未知，取自总体的一个样本，则下列选项中不是统计量的是 （ B ）A、（） B、C、 D、20、设随机变量分布，则等于 （ C ） A、0 B、0.8413 C、0.5 D、无法判断21、已知随机变量，且，则的值分别为 （ D ）A、 B、 C、 D、22. 设是来自总体X的样本，EX=，则（ D ）是参数的最有效估计。（A） （B）（C） （D）23. 已知随机变量服从二项分布，且 则二项分布的参数的值为（ B ）A、 B、 C、 D、二填空1.设，则 2.已知P(A)=0.4,P(B)=0.3, ；3. ；4.设

5、X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中的概率为0.4,则 ；5.设随机变量X和Y的方差分别为25和36，若相关系数为0.4，则D(XY) 37 ；6.若X和Y相互独立,且XN(1,4),YN(0,3),则_ N(2,43)_；7. 用（）的联合分布函数表示 ； 8. 已知随机变量的均值，标准差，试用切比雪夫不等式估计： ；9.设，的矩估计量是 ；10. 设是来自正态总体的样本，令 则当 时11、“A、B、C三个事件中至少发生了两个”，可以表示为 。12、随机变量的分布函数是事件 的概率。13、某校一次英语测验，及格率80%，则一个班（50人）中，不及格的人数 分布，=10 = 8 。

6、14、设为总体的一个样本，若且，则 _， _。 15、设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有_。16、“A、B、C三个事件中恰好有一个发生”，可以表示为 。17、设X服从参数为的泊松分布，且，则=_。18.设的期望和方差分别为和，则由切比雪夫不等式可估计 。19.设是取自总体的一个样本，为样本方差，则 20. 已知=0.4,=0.3，则当A、B互不相容时，= 0.7,，= 0 。当A、B相互独立时，= 0.58 ，= 0.12 。 三、计算题1.设,求与.解： , . 2.有来自三个地区的各名、名和名考生的报名表,其中女生的报名表分别为份、份和份.随机地取一个地区的报名表,从中先后

7、抽出两份, 求先抽到的一份是女生表的概率.解：记=报名表是第个地区考生(),=第次抽到的报名表是男生(),由题意知(), , 由全概率公式,知. 3.设随机变量的分布函数为试求:(1)的分布律; (2).解：(1)的所有可能取值为,从而的分布律为 1 3(2). 4.一大批种子,良种占,从中任选5000粒.试计算其良种率与之差小于的概率. .解：设表示在任选5000粒种子中良种粒数,则,其中,则 , 由棣莫夫-拉普拉斯中心极限定理得,良种率与之差小于的概率为. 5.假设甲、乙两厂生产同样的灯泡,且其寿命,.已知它们寿命的标准差分别为84小时和96小时,现从两厂生产的灯泡中各取60只,测得平均寿

8、命甲厂为1295小时,乙厂为1230小时,能否认为两厂生产的灯泡寿命无显着差异()?解：建立假设,.在为真时,统计量. 对于给定的显着性水平,查标准正态分布表,可得,从而拒绝域为.又由,得 , 故应拒绝,即认为此制造厂家的说法不可靠. 6.设二维随机变量的联合分布律为证明:和相互独立.证： 由联合分布律可求得和的边缘分布律分别为0 1 20.25 0.25 0.5和-1 0 20.4 0.2 0.4直接验证可知对任何,有成立,所以和相互独立.7.设随机变量的分布律为求:(1)常数;(2);(3);(4)分布函数.解：(1) 由,得; (2) ; (3) ; (4) 由于的所有可能取值为故应分情

9、况讨论: 当时,;当时,;当时,;当时,.从而 8.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为:3.25,3.27, 3.24,3.26,3.24，假设镍含量的测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25()? 解：检验假设 ,. 当成立时,统计量. 又时,查表得.于是的拒绝域为.经计算,且.于是 , 所以接受,即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25. 9.设有三只外形完全相同的盒子，甲盒中有14个黑球，6个白球，乙盒中有5个黑球，25个白球，丙盒中有8个黑球42个白球，现在从三个盒子中 任取一盒，再从中任取一球；问（1）求取到黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它恰好是从乙盒来的概率是多少？

10、 解：设B表示黑球，表示从第i个盒子取球（i=1,2,3）则显然，构成样本空间的一个划分，1）（2）10.设随机变量的密度函数为求 :(1)常数A; (2) (3)分布函数F(x)；（4）；解：（1）(2) (3) （4） 11.某电站供应10000户居民用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9， 若每户用电0.2千瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证居民用电。解：设表示用电的用户数，需要至少有k千瓦发电量，则， 由中心极限定理得：，即 即需要供应1809.9（或1810）千瓦的电才能保证供应。12.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：求：（1） 常数c；（

11、2）求边缘密度函数；（3）X与Y是否独立解：（1） -3分（2） （3）不独立13.为了在正常条件下检验一种杂交作物的两种处理方案，在同一地块随机选择8块地段。在各试验地段，按二种方案种植作物，这8块地段的单位面积产量是：一号方案：86,87,56,93,84,93,75,79；二号方案：80,79,58,91,77,82,74,66假设这二种方案的产量均服从正态分布，问：（1）这二种方案的方差有无明显差异？（2）这二种方案的均值有无明显差异？（均取0.05）。 ；解： 在下检验：设两种产量分别为，且设(1)先在下检验：； 取检验统计量为：， 则拒绝域为： 已知，经计算得：-4分， 由于检验统

12、计量的观察值1.4266没有落在拒绝域中,故接受原假设H0,即可以认为两个总体的方差没有显着差异； (1)再在下检验：取检验统计量为：，其中； 则拒绝域为：； 经计算得：， 故接受H0,即认为两个总体的均值没有显着差异-14.已知，其中且，求：。解 ， ， ， 15.某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材，数量（株）之比为，甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%，24%，18%，若从该公司收购的药材中任取一株，如果取到的药材是优等品，求它恰好是从乙地收购来的概率是多少？解 设分别表示甲，乙，丙地药材，表示优等品， 则根据贝叶斯公式有16.设连续型随机变量的概率密度函数，求： 常数； ； 的分布函

13、数； 期望，方差。解（1）， （2） （3） （4）（奇函数且积分区间对称） 17.某车间有同型号的机床200部,每部机器开动的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产? 解 设表示某一时刻机器开动的台数,则服从，设电厂至少要供应个单位的电能,则由题意,有. 由棣莫弗-拉普拉斯定理,有. ，. 故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.18.设总体X的密度函数为：，是来自总体X的样本，求参数的矩估计和最大似然估计。 解(1) EX

14、= = 的矩估计， (2) L()= ln L()= n ln+ 的极大似然估计 19.某医院从2009年的新生儿中随机抽出20个,测得其平均体重为3160克.样本标准差为300克,而根据2008年资料 ,新生儿平均体重为3140克,问2009年与2008年新生儿体重均值有无显着差异? (设体重服从正态分布,取), 解 设为2009年新生儿的体重, 则由题意可设, 本题是要求在显着性水平下检验假设: (其中) 由于 未知, 故采用t检验, 取检验统计量为, 拒绝域为. 已知 所以， 故接受, 即在显着性水平0.05下认为2009年新生儿的平均体重与2008年的没有显着差异. 20.若事件相互独

15、立，且，求.解 21.某厂有4条流水线生产同一批产品，产品分别占总量的15%，20%，30%，35%，且四条流水线中，不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从中任取一件，求取到不合格品是第一条流水线生产的概率是多少？ 解 设第条流水线生产的产品，取到不合格品， 则由贝叶斯公式有，22.设连续型随机变量X的概率密度函数为，求： 常数； P()； 的分布函数；期望、方差。解 （1）， （2） （3） （4） 23.设二维随机向量（X，Y）的概率分布为YX020.300.3 10.10.20.1求 X，Y的边缘分布，并讨论X，Y的独立性； P（XY）；在X=1的条件下，Y的条件分

16、布；=X+|Y|的概率分布。解（1） X-11Y-102 P PX与Y不独立。 （2） （3） （4） X+|Y|-10123 P24.某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机的个数在6至12个之间的概率。 （2.5）=0.9938。解B（120，0.05） =0.9938-0.5 =0.493825.设总体X的密度函数为：, 其中为未知参数，是来自总体X的样本，求参数的矩估计和最大似然估计。 解 (1) , 令 ,解得矩估计量为 . (2) 设是相应于的样本，则似然函数为当时,并且令 , 解得的极大似然估

17、计量为 . 26.某种电子元件的寿命服从正态分布，其中均未知，现测得只元件的寿命的样本平均值，样本均方差。问是否有理由认为元件的平均寿命大于。（，） 解 由题设服从，且未知， 由于未知，选择检验法当成立时，有服从 又由，而由已知，则 故 接受，拒绝，即 认为元件的平均寿命不大于240。27. 对一架飞机进行三次快速独立实验，命中率为0.6，而飞机中一弹、中二弹、中三弹被击落的概率分别为0.2，0.6，1.0，求射击三次后飞机被击落的概率。0.532829.设随机向量（X,Y）的联合分布律为： X Y -1 1 2 -1 0.05 0.10 0.1 0.05 0.11 0.2 0.1 0.2 若

18、X,Y相互独立，求（1）；（2）X,Y的边际分布律；（3）X+Y的分布律；（4）。 （1） （2）X -1 0 1P 0.25 0.25 0.5Y -1 1 2P 0.4 0.2 0.4 (3) X+Y -2 -1 0 1 2 3P 0.1 0.1 0.25 0.15 0.2 0.2 (4) 0.1530.设，求正交矩阵，使为对角矩阵.解 的特征值为对，求解故对应的特征向量为：正交化单位化.对，求解 特征向量为单位化 令.31设三阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值。若都是的属于6的特征向量（1）求的另一个特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵。解：（1）得设另一个特征向量为（2）=32设为三阶实对称矩阵，且满足 已知向量, ,是对应特征值的特征向量，求，其中为自然数。解:，特征值1、1、2， ，特征向量，所以 .