信号与系统实验四

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1、实验四、连续时间系统的复频域分析一、实验目的(1) 深刻理解和掌握拉普拉斯变换的运算方法及其性质；(2) 熟练掌握利用部分分式展开的方法求解拉普拉斯逆变换，并能利用MATLAB实现；(3) 理解复频域系统函数的意义，并能熟练画出其频谱；(4) 利用复频域系统函数的零、极点分布对连续时间系统进行复频域分析原理和方法。二、实验原理(1) 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是分析连续时间信号的有效手段。信号的拉普拉斯变换定义为：其中，若以为横坐标（实轴），为纵坐标（虚轴），复变量就构成了一个复平面，称为平面。(2) 部分分式展开法求拉普拉斯逆变换如果是的实系数有理真分式，则可写为：式中分母多项式称为系统的特征

2、多项式，方程称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。为将展开为部分分式，要先求出特征方程的个特征根，这些特征根称为极点。根据的极点或特征根的分布情况，可以将展开成不同的部分分式。利用Matlab中的residue函数可得复杂的域表示式的部分分式展开式，其调用形式为：r,p,k=residue(num,den)其中，num(numerator)、den(denominator)分别为分子多项式和分母多项式的系数向量,r为所得部分分式展开式的系数向量，p为极点，k为分式的直流分量。(2) 连续系统复频域分析拉普拉斯变换可以将连续系统从时域转化到复频域进行分析，将描述系统

3、的时域微积分方程变换为复频域的代数方程，便于运算和求解。在复频域中描述系统的代数方程一般可表示为：即系统响应在复频域中也可以分解成零输入响应和零状态响应。(3) 系统函数与频率响应函数系统零状态响应的象函数与激励的象函数之比称为系统函数，即：系统函数只与描述系统的微分方程系数有关，即只与系统的结构、元件参数有关，而与外界因素（激励、初始状态等）无关。系统函数为复频域中的函数，因此也存在着相频特性和幅频特性。而在系统分析时，经常采用的是系统的频率响应。系统函数与频率响应之间存在一定的关系。对于连续系统，如果其系统函数的极点均在左半开平面，那么它在虚轴上也收敛，从而得到系统的频率响应函数为：如果已

4、经知道系统的零极点分布，则可以采用几何矢量法求出系统的频率响应函数，画出系统的幅频特性曲线和相频特性曲线（参考第七章第一节系统函数与频率响应函数部分）。如果利用Matlab来求解系统的频率响应特性曲线，也可以用impulse函数求出系统的冲激响应，然后再利用freqs函数直接计算系统的频率响应。它们的调用形式分别为：sys=tf(b,a)，y=impulse(sys,t)。其中tf函数中的b和a参数分别为LTI系统微分方程右端和左端各项系数向量，分别对应着系统函数的分子和分母多项式的系数；implulse函数直接求解系统冲激响应。freqs函数直接计算系统的频率响应，其调用形式为H=freqs

5、(b,a,w)。其中b为频率响应函数分子多项式系数向量，a为分母多项式系数向量，它们也分别对应着系统函数相应的系数向量；w为需要计算的频率抽样点向量。值得注意的是，这种方法的前提条件是系统函数的极点全部在复平面的左半开平面，因此必须先对系统函数的零极点进行分析和判断，只有满足了条件才可以如此求解。(5) 系统函数的零极点与系统的稳定性系统函数通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。如上所述，分母多项式的根对应着其极点，而分子多项式的根则对应着其零点。若连续系统系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来。即系统函数的零、极点分布完全决定了系统的特性。根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳

6、定性是零极点分析的重要应用之一。在复频域中，连续系统的充要条件是系统函数的所有极点均位于复平面的左半平面内。因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。在Matlab中，求解系统函数的零极点实际上是求解多项式的根，可调用roots函数来求出。求出零极点后，可以直接画出零极点图也可以调用pzmap(sys)函数来画出由sys所描述的系统的零极点分布图。三、程序示例示例1：求函数的拉普拉斯逆变换。源程序：num = 1 0;den = 1 6 8;r,p,k = residue(num, den);运行结果为：r2 1p4 2k=0由运行结果可知，有2个极点，分别是p4 2，所对应的系

7、数向量分别是r2 1，因此可得的展开式为：再由基本的拉普拉斯变换可知，的拉普拉斯逆变换为：示例2：求函数的拉氏逆变换。F(s)的分母不是多项式，可以利用conv函数将现在的因子相乘的形式转换为多项式的形式，然后再调用residue函数。源程序如下：num = 1;a=conv(1 -1,1 -1);den = conv(1 0, a);r,p,k = residue(num, den);运行结果为：r-1 1 1p1 1 0k=0由运行结果可知，有1个单极点和一个重极点，所对应的系数向量分别是r0，1，1，因此可得的展开式为：再由基本的拉普拉斯变换可知，的拉普拉斯逆变换为：示例3：求函数的拉氏

8、逆变换。同样，的分母不是多项式，可以利用conv函数将现在的因子相乘的形式转换为多项式的形式，然后再调用residue函数。源程序如下：num = 1 0 -4;den = conv(1 0 4, 1 0 4);r,p,k = residue(num, den);运行结果为：r-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip-0.0000+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000ik=0由运行结果可知，有2个重极点，所对应的系数向量分别是r0，0.5，

9、0，0.5，因此可得的展开式为：再由基本的拉普拉斯变换可知，的拉氏逆变换为：示例4：已知系统函数为：，画出该系统的零极点分布图。源程序如下：num=1 -1;den=1 2 2;zs=roots(num);ps=roots(den);% The first method figure(1);plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps), kx, markersize,12);axis(-2 2 -2 2);grid on;sys=tf(num,den);% The second methodfigure(2);pzmap(sys);运行结果为：从运行结果

10、可以看出，两种方法所画出的零极点图是一致的。示例5：已知系统函数为：，利用Matlab画出该系统的零极点分布图，分析系统的稳定性，并求出该系统的单位冲激响应和幅频响应。源程序如下：num=1;den=1 2 2 1;sys=tf(num,den);poles=roots(den);figure(1);pzmap(sys);xlabel(t(s);ylabel(h(t);title(Impulse Response);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);H,w=freqs(num,den);figure(3);plot(w,a

11、bs(H);xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(Magenitude Response);运行结果为：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i即该系统函数的极点都位于s平面的左半平面，因此该系统是稳定的。其极点分布图、单位冲激响应和幅频响应分别如下图所示。四、实验内容与步骤(1) 求函数的拉氏逆变换。程序代码：n=5d=1 1 4 4r,p,k = residue(n, d)实验结果：n =5d =1 1 4 4r =-0.5000 - 0.2500i -0.5000 + 0.2

12、500i 1.0000 p = -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 k =(2) 已知连续系统的系统函数，试用Matlab画出系统的零极点图，并分析系统的稳定性。num=1 0 -4;den=1 2 -3 2 1;zs=roots(num);ps=roots(den);% The first method figure(1);plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps), kx, markersize,12);axis(-2 2 -2 2);grid on;sys=tf(num,den);% The s

13、econd methodfigure(2);pzmap(sys);实验结果：四个极点：两个零点：-2和2零极点图如下图所示：(3) 已知系统的系统函数为，求出系统的冲激响应和系统的幅频响应。程序代码：num=1 4;den=1 3 2 0;sys=tf(num,den);poles=roots(den);figure(1);pzmap(sys);xlabel(t(s);ylabel(h(t);title();t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);H,w=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H

14、);xlabel(omega(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title();axis(0 10 0 10)(4) 已知连续系统的极点分布图如下所示，试用Matlab分析系统冲激响应的时域特性和幅频响应特性。 （a） （b）实验结果如下图所示五、实验报告要求整理并给出“实验内容与步骤”（1）、（2）、（3）（4）中的程序代码与产生的图形；并回答下面的问题。(1) 利用系统函数采用Matlab进行系统稳定性分析时，所存在的前提条件是什么？系统函数和频率响应函数之间的关系？(2) 比较连续系统在频域和复频域进行分析时的不同方法和效果。说明实验内容与步骤中(2)、(3)、(4)所描述的系统所起的作用。