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1、初中数学三角形全等倍长中线法模型专题分类练习大全基础模型: ABC 中, AD 是 BC 边中线AB C D思路 1： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BEABC DE思路 2：间接倍长,延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CNAMBDC N思路 3, 作 CFAD 于 F，作 BEAD 的延长线于 EAFB DC E1如图，在ABC 中，AC=5，中线 AD=7，则 AB 边的取值范围是（）A1AB29B4AB24 C5AB19 D9AB192如图，ABC 中，AB=AC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=
2、CE3如图，在ABC 中，AD 为中线，求证：AB+AC2AD4小明遇到这样一个问题，如图 1，ABC 中，AB=7，AC=5，点 D 为 BC 的中点，求 AD 的取 值范围小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线 延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的 做法是：如图 2，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，构造BEDCAD，经过推理和计算使 问题得到解决请回答：（1）小明证明BEDCAD 用到的判定定理是： （用字母表示）（2）AD 的取值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中
3、线一倍，完成全等三角形模型的构造参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点，G、F 分别为 AD，BC 边上的点，若 AG=2，BF=4，GEF=90，求 GF 的长5已知：在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F， 求证：AF=EF6已知：如图，ABC（ABAC）中，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点 F，DF=AC求证：AE 平分BAC7-10,换汤不换药(多题一解)7如图，D 是ABC 的 BC 边上一点且 CD=AB，BDA=BAD
4、，AE 是ABD 的中线求证：C=BAE8如图，已知 D 是ABC 的边 BC 上的一点，CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线（1）若B=60，求C 的值；（2）求证：AD 是EAC 的平分线9如图，已知：CD=AB，BAD=BDA，AE 是ABD 的中线，求证：AC=2AE10已知，如图，AB=AC=BE，CD 为ABC 中 AB 边上的中线，求证：CE=2CD11已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T， 过 D 作 DEAB 交 BC 于 E，求证：CT=BE12如图，点 O 为线段 MN 的中点，PQ 与 M
5、N 相交于点 O，且 PMNQ，可证PMO QNO根据上述结论完成下列探究活动：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中 点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论；(图 3 是原题的第 2 问)13如图，在ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点，EFAD 交 CA 的延长线于点 F， 交 EF 与于点 G若 BG=CF，求证：AD 为ABC 的角平分线14如图，已知在ABC 中，CAE=B，点 E 是 CD 的中点，若 AD 平分BAE（1）求证：AC=BD；（2）若 B
6、D=3，AD=5，AE=x，求 x 的取值范围15已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角 三角形，如图，求证：EF=2AD 1.解：如图，延长 AD 至 E，使 DE=AD，AD 是ABC 的中线，BD=CD，在ABD 和ECD 中，ABDECD（SAS），AB=CE，AD=7，AE=7+7=14，14+5=19，145=9，9CE19，2证明：如图，过点 D 作 DGAE，交 BC 于点 G；3证明：4解：（1）如图 2 中，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE在BED 和CAD 中，BEDCAD（SAS）（2）BEDCAD
7、，BE=AC=5，AB=7，2AE12，22AD12，1AD6解决问题：如图 3 中，解：延长 GE 交 CB 的延长线于 M四边形 ABCD 是正方形，ADCM，AGE=M，在AEG 和BEM 中， ，AEGBEM，GE=EM，AG=BM=2，EFMG，FG=FM，BF=4，MF=BF+BM=2+4=6，GF=FM=65证明：如图，延长 AD 到点 G，使得 AD=DG，连接 BGAD 是 BC 边上的中线（已知），DC=DB，在ADC 和GDB 中，ADCGDB（SAS），CAD=G，BG=AC又BE=AC，BE=BG，BED=G，BED=AEF，AEF=CAD，即：AEF=FAE，AF=
8、EF6证明：如图，延长 FE 到 G，使 EG=EF，连接 CG在DEF 和CEG 中，DEFCEGDF=GC，DFE=GDFAB，DFE=BAEDF=AC，GC=ACG=CAEBAE=CAE即 AE 平分BAC7证明：延长 AE 到 F，使 EF=AE，连接 DF，AE 是ABD 的中线BE=ED， 在ABE 与FDE 中，ABEFDE（SAS），AB=DF，BAE=EFD，ADB 是ADC 的外角，DAC+ACD=ADB=BAD，BAE+EAD=BAD，BAE=EFD，EFD+EAD=DAC+ACD，ADF=ADC，AB=DC，DF=DC，在ADF 与ADC 中，ADFADC（SAS）C=
9、AFD=BAE8（1）解：B=60，BDA=BAD，BAD=BDA=60，AB=AD，CD=AB，CD=AD，DAC=C，BDA=DAC+C=2C，BAD=60，C=30；（2）证明：延长 AE 到 M，使 EM=AE，连接 DM，在ABE 和MDE 中，ABEMDE，B=MDE，AB=DM，ADC=B+BAD=MDE+BDA=ADM，在MAD 与CAD，MADCAD，MAD=CAD，AD 是EAC 的平分线9证明：延长 AE 至 F，使 AE=EF，连接 BF，在ADE 与BFE 中，AEDFEB，BF=DA，FBE=ADE，ABF=ABD+FBE，ABF=ABD+ADB=ABD+BAD=A
10、DC，在ABF 与ADC 中，ABFCDA，AC=AF，AF=2AE，AC=2AE10证明：取 AC 的中点 F，连接 BF；B 为 AE 的中点，BF 为AEC 的中位线，EC=2BF；在ABF 与ACD 中，ABFACD（SAS），CD=BF，CE=2CD11证明：过 T 作 TFAB 于 F，AT 平分BAC，ACB=90，CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），ACB=90，CMAB，ADM+DAM=90，ATC+CAT=90，AT 平分BAC，DAM=CAT，ADM=ATC，CDT=CTD，CD=CT，又CT=TF（已证），CD=TF，CMAB，DEAB，CDE=90，B=D
11、EC，在CDE 和TFB 中，CDETFB（AAS），CE=TB，CETE=TBTE，即 CT=BE12解：（1）AB=AF+CF如图 2，分别延长 DC、AE，交于 G 点，根据图得ABEGCE，AB=CG，又 ABDC，BAE=G而BAE=EAF，G=EAF，AF=GF，AB=CG=GF+CF=AF+CF；13解：延长 FE，截取 EH=EG，连接 CH，E 是 BC 中点，BE=CE，BEG=CEH，在BEG 和CEH 中，BEGCEH（SAS），BGE=H，BGE=FGA=H，BG=CH，CF=BG，CH=CF，F=H=FGA，EFAD，F=CAD，BAD=FGA，CAD=BAD，AD
12、 平分BAC14（1）证明：延长 AE 到 F，使 EF=EA，连接 DF，点 E 是 CD 的中点，EC=ED，在DEF 与CEA 中，DEFCEA，AC=FD，AFD=CAE，CAE=B，AFD=B，AD 平分BAE，BAD=FAD，在ABD 与AFD 中，ABDAFD，BD=FD，AC=BD；（2）解：由（1）证得ABDAFD，DEFCEA，AB=AF，AE=x，AF=2AE=2x，AB=2x，BD=3，AD=5，在ABD 中，解得：1x4，x 的取值范围是 1x415 证明：延长 AD 至点 G，使得 AD=DG，连接 BG，CG，AD=DG，BD=CD，四边形 ABGC 是平行四边形，AC=AF=BG，AB=AE=CG，BAC+ABG=180，EAF+BAC=180，EAF=ABG，在EAF 和BAG 中，EAFBAG（SAS），EF=AG，AG=2AD，EF=2AD
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