高中教材变式题9圆锥曲线与方程

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1、高中教材变式题9圆锥曲线与方程XYPODM1（人教A版选修11，21第39页例2）如图，在圆上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？变式1：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0）当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则，即，因为点P 在圆上，所以即，即，这就是动点M的轨迹方程变式2：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得，即，因为点P在圆上，所以即，即，这就是动点M的轨迹方程变式3：设点P是

2、曲线上的任一点，定点D的坐标为，若点M满足当点P在曲线上运动时，求点M的轨迹方程解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得，即，因为点P在圆上，所以即，这就是动点M的轨迹方程2（人教A版选修11，21第40页练习第3题）已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线A B，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点（1）求的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？变式1（2005年全国卷）：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A B C D解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得选D解二：F1PF2为等

3、腰直角三角形，.，故选D变式2：已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为 解一：由定义知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得即的最大值为解二：设，由焦半径公式得，的最大值为变式3（2005年全国卷）：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值解：（）设椭圆方程为，则直线AB的方程为，代入，化简得.设A（），B），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（）证明：由（）知，所以椭圆可化为设，由已知得 在

4、椭圆上，即由（）知又，代入得故为定值，定值为1.3（人教A版选修11，21第47页习题2.1A组第6题）已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为A B3 C D解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，故选D（可以证明不存在以点P为直角顶点的三角形）变式2（2006年全国卷）：已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长

5、是AB6 C D12解：由于椭圆的长半轴长，而根据椭圆的定义可知的周长为，故选C4（人教A版选修11，21第47页习题2.1B组第3题） 如图，矩形ABCD中，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，是线段CF的四等分点请证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N在同一个椭圆上变式1：直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数 解：将直线代入双曲线C的方程整理，得 依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故解得设A、B两点的坐标分别为、，则由式得 双曲线C的右焦点F 在以AB为直径的圆上，则由FAFB得：整理

6、，得把式及代入式化简，得解得，故变式2（2002年广东卷）：A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点（）求直线AB的方程；（）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ 解：（）直线AB的方程为（求解过程略）（）联立方程组得、由CD垂直平分AB，得CD方程为代入双曲线方程整理，得记，以及CD的中点为，则有从而又即A、B、C、D四点到点M的距离相等故A、B、C、D四点共圆变式3（2005年湖北卷）：设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （）确定的取值范围，并求直线AB的方

7、程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.（）解法1：依题意，可设直线AB的方程为整理，得 设的两个不同的根， 是线段AB的中点，得解得1，代入得，12，即的取值范围是（12，）.于是，直线AB的方程为解法2：设依题意，（）解法1：代入椭圆方程，整理得 的两根，于是由弦长公式可得 将直线AB的方程 同理可得 假设在在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 于是，由、式和勾股定理可得故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A、B、C、D共圆ACD为直角三

8、角形，A为直角 由式知，式左边由和知，式右边 式成立，即A、B、C、D四点共圆解法2：由（）解法1及.代入椭圆方程，整理得 解得.将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得 解得.不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又点A与B关于CD对称，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）5（人教A版选修11，21第59页习题2.2B组第1题） 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是ABCD 解：依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，选D变式2（2004年全国卷理）：已知椭圆的中

9、心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）ABCD 解：抛物线的焦点坐标为（1，0），则椭圆的，又，则，进而，所以椭圆方程为，选A6（人教A版选修11，21第66页例4） 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长变式1：如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线的焦点，若，则_解：根据抛物线的定义，可知（，2，8），变式2（2004年湖南卷理）：设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点使，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 解：设，则，于是，即，由于，故，又，故BNFANCNOXY变式3（2006年重庆卷

10、文）：如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点（）试证：；（）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点试证：证明：（）对任意固定的,因为焦点,所以可设直线的方程为,将它与抛物线方程联立，得，由一元二次方程根与系数的关系得（）对任意固定的，利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率，故在处的切线方程为， 类似地，可求得在处的切线方程为， 由减去得，从而， 将代入并注意到得交点的坐标为.由两点间距离公式,得=.从而.现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，=.7（人教A版选修21第67页例5） 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交

11、抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴OBCFAXY变式（2001年全国卷）：设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点点 C在抛物线的准线上，且BCX轴证明直线AC经过原点O证明1：因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为 ，代人抛物线方程得 若记，则是该方程的两个根，所以因为BCX轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，FAXYD故直线CO的斜率为即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O证明2：如图，记X轴与抛物线准线L的交点为E，过A作ADL，D是垂足则 ADFEBC连结AC，与EF相交于点N，则OEBCN根据抛物线的几何性质，|A

12、F|=|AD|，|BF|=|BC|， 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O8（人教A版选修11第74页，21第85页复习参考题A组第8题）斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，且，求直线的方程变式1（2002年上海卷）：已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为联立得设，则所以故线段DE的长为变式2：直线与椭圆交于不同两点A和B，且（其中O为坐标原点），求k的值解：将代入，得由直线与椭圆交于不同的两点，得即设，则由，得而于是解得故k的值为变式3：已知抛物线过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B若,求a的取值范围解：直线的方程为，将 ，得 设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，则 又， ， 解得