一元三次方程的解法详细

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1、详细一元三次方程的解法先把方程化为的形式：令，则原式变成如此一来二次项就不見了，化成，其中，。-对方程直接利用卡尔丹诺公式：其中。是根的判别式：0时，有一个实根两个虚根；0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；0时，有三不等实根。附：方程（2）求根公式的推导过程：不妨设p、q均不为零，令 （3）代入（2）得， （4）选择u、v，使得，即 （5）代入（4）得， （6）将（5）式两边立方得， （7）联立（6）、（7）两式，得关于、的方程组：于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程的两根、。设，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，其中、为1的两个立方虚根。以下分三种情形讨论：1）若

2、，即，则、均为实数，可求得，。取，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，于是方程（2）的根为，这时方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。2）若，即D0时，可求得。取，同理，可求得 方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。 3）若，即D0时，因为， p0，则、均为虚数，求出、，并用三角式表示，就有，其中T，都是实数，Q 同理，其中，且取，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，具体表示出来就为：其中 当时，方程（2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根， ，3）当时，方程有三个实根，