(大纲版)2010届高三数学一轮复习精品汇编立体几何初步

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1、第三章 立体几何初步第1课时 平面的基本性质基础过关公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面典型例题CODABMB1C1D1A1例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M求证：点C1、O、M共线

2、证明：A1ACC1确定平面A1CA1C面A1C O面A1COA1C面BC1D直线A1CO O面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上C1、O、M共线变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行提示：反证法例2. 已知直线与三条平行线a、b、c都相交求证：与a、b、c共面证明：设alA blB clCab a、b确定平面 l Aa, Bb bcb、c确定平面 同理可证l所以、均过相交直线b、l 、重合 c a、b、c、l共面RPQCBA变式训练2：如图，ABC在平面外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面于P、Q、R点求证：P、Q

3、、R共线证明：设平面ABCl，由于PAB，即P平面ABCl，即点P在直线l上同理可证点Q、R在直线l上P、Q、R共线，共线于直线l例3. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内； (2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上OC1B1A1ABC证明：(1) AA1BB10，AA1与BB1确定平面，又Aa，B，A1，B1，AB，A1B1，AB、A1B1在同一个平面内同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内(2) 设ABA1B1X，BCB1C

4、1Y，ACA1C1Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可变式训练3：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，ABECDFA1B1C1D1求证：(1) E、CD1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点证明(1) 连结A1B 则EFA1B A1BD1CEFD1C E、F、D1、C四点共面(2) 面D1A面CADAEFD1C 且EFD1CD1F与CE相交 又D1F面D1A，CE面ACD1F与CE的交点必在DA上CE、D1F、DA三线共点例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内证明：(1) 若a、b、c三线共点P

5、，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面又adA 点A 直线a同理可证：b、c a、b、c、d共面(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点abQ a与b可确定一个平面又cbE E同理caF F直线c上有两点、在上 c同理可证：d 故a、b、c、d共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。归纳总结1证明若干点共线问题，只需证明这些点同在

6、两个相交平面2证明点、线共面问题有两种基本方法：先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合3证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点第2课时 空间直线基础过关基础过关1空间两条直线的位置关系为 、 、 2相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点3公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 5异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线

7、)6异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离典型例题例1. 如图，在空间四边形ABCD中，ADACBCBDa，ABCDb，E、F分别是AB、CD的中点(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；AEBCFD(2) 求AB和CD间的距离证明：(1) 连结CE、DE AB面CDEABEF 同理CDEFEF是AB和CD的公垂线(2) ECD中，ECEDEF变式训练1：在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别为AB、CD的中点，EF，求AD、BC所成角的大小解：设BD的中点G，连接FG，EG。在EFG中 EF FGEG1BMANCS

8、EGF120 AD与BC成60的角。例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QNSMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNBQNBarc cos变式训练2：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SASBSCa，E，F分别是SC和AB的中点(1) 求异面直线SC和AB的距离；(2) 求异面直线SA和EF所成角答案：(1) (2) 45PC1D1MB1A1DNCBA例3. 如图，棱长为1

9、的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为A1B1、BB1、CC1的中点(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；(2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离解：(1) D1P与AM成90的角CN与AM所成角为arc cos.(2) 是NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1.变式训练3：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BCCACC1，求NM与AN所成的角ACBNMA1C1B1解：连接MN，作NGBM交BC于G，连接AG，易证GNA就是BM与AN所成的角设：BCCACC12，则AGAN，GNB1M，CDBE

10、FAMPcosGNA。例4如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD，AMEF(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2) 若PA3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值（1）证明：EFCD AMCD AMEF，又AMEF AMFE为平行四边形 ABPA，ABAD AB面PAD ABAE，又AEMF， ABMF又AEPD CDAE AE面PCD AEPC MFPC MF为AB与PC的公垂线(2) 设AB1，则PA3，建立如图所示坐标系由已知得(0，)，(1，0，0)面MFEA的法向量为(0，1，3)，(1，1，0)，cos AC与面EAM所成的角为a

11、rc cos，其正弦值为变式训练4：如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点（）证明；（）求与所成的角。（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD面DC1 又DF1DC1，所以ADD1F. （2）取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设A1G与AE相交于H，则A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90,即直线AE与D1F所成的角为直角。归纳总结1求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证

12、明它符合定义；(3)求角2证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法3求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法第3课时 直线和平面平行基础过关1直线和平面的位置关系 、 、 直线在平面内，有 公共点直线和平面相交，有 公共点直线和平面平行，有 公共点直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外2直线和平面平行的判定定理如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行(记忆口诀：线线平行 线面平行)3直线和平面平行的性质定理BCAPM如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行(记忆口诀：线面平行 线线平行)典型例题例1如图

13、，P是ABC所在平面外一点，MPB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据解：在平面PBC内过M点作MNBC，交PC于N点，连AN则平面AMN为所求根据线面平行的性质定理及判定定理变式训练1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1MAN求证：MN平面BB1C1C证明：在面BA1内作MM1A1B1交BB1于M1在面AC内作NN1AB交BC于N1易证MM1 NN1即可例2. 设直线a，P为内任意一点，求证：过P且平行a的直线必在平面内证明：设a与p确定平面，且a ，则aa又al lapa与a重合 l变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那

14、么这条直线和它们的交线平行解：已知l a a 求证：al证明：过a作平面交平面于b，交平面于C，a，ab同理，a ac bc又b 且c b又平面经过b交于lbl且ab al例3. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点BADCEP( 1 ) 证明：PA平面EDB；( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值 (1 ) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO( 2) 解：作EFDC交DC于F，连结BF设正方形ABCD的边长为a PD底面ABCD，PDDC EFPD，F为DC的中点EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，

15、EBF为直线EB与底面ABCD所成的角在RtBCF中，BF EFPD， 在RtEFB中，tanEBF所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱AEFBHGCDAB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？解：易证截面EFGH是平行四边形设ABa CDb FGH(a、b为定值，为异面直线AB与CD所成的角)又设FGx GHy 由平几得 1 y(ax)S EFGHFGGHsinx(ax)sinx(ax)x0 ax0 且x(ax)a为定值当且仅当 xax即x时(S EFGH)max例4已知：ABC中，ACB90，D、E分别为AC、AB的中点，沿

16、DE将ADE折起使A到A的位置，若平面ADE面BCDE，M是AB的中点，求证：ME面ACD证明：取AC的中点N，连MN、DN，则MN BC，DE BCMN DE MEND又ME面ACD ND面ACDME面ACD变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点( 1 ) 求证：ACBC1；(2) 求证：AC1平面CDB1；(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值ADBB1C1A1C解：（1）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC3，BC4，AB5ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，ACBC1；（2）设CB

17、1与C1B的交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1；（3）DEAC1，CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，EDAC1，CDAB，CECB12，cosCED = 异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为归纳总结1证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法2辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用第4课时 直线和平面垂直基础过关1直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂

18、直2直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直性质若a，b则 若a，b则 若a，a则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条4点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离5直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离典型例题例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为ABC的垂心求证：OG平面ABCBACOG证明：OA、OB、OC两两互相垂直OA平面OBC OABC又G为ABC的垂心 AGBC, BC面OAGBCOG同理可证：ACOG 又BCACCOG平面ABCSABCFE变式训练1

19、：如图SA面ABC，ABC90，AESB，且SBAEE，AFSC，且AFSCF，求证：(1) BC面SAB；(2) AE面SBC；(3) SCEF证明：(1) BC面SAB(2) 由(1)有AE面SBC(3) 由(2)有SC面AEFSCEF例2 如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点PMBCDAN(1) 求证：MNCD；(2) 若PDA45，求证：MN面PCD证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于RN为PC中点 NO为PAC的中位线 NOPA而PA平面ABCD NO平面ABCDMN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形M为AB中点，O为AC中

20、点 MOCDCDMN(2) 连NR，则NRM45PDA又O为MR的中点，且NOMRMNR为等腰三角形 且NRMNMR45MNR90 MNNR 又MNCDMN平面PCD变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PBAC，PAAB 求证： ABCD是正方形； PCBC证明：略PDABCFE例3如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E、F分别为CD、PB的中点(1) 求证：EF平面PAB；(2) 设ABBC，求AC与平面AEF所成的角的大小(1) 证明：连结EPPD底面ABCD，DE在平面ABCD中，PDDE，又CEED，PDADBC，RtBCERtPDE，PE

21、BEF为PB中点，EFPB由垂线定理得PAAB，在RtPAB中，PFAF，又PEBEEA，EFPEFA，EFFA PB、FA为平面PAB内的相交直线，EF平面PAB(2) 解：不防设BC1，则ADPD1，AB，PA，ACPAB为等腰直角三角形且PB2，是其斜边中点，BF1，且AFPBPB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直PB平面AEF连结BE交AC于G，作GHBP交EF于H，则GH平面AEFGAH为AC与平面AEF所成的角由EGCBGA可知EGGB，EGEB，AGAC由EGHBGF可知GHBFsinGAHAC与面AEF所成的角为arc sin变式训练3：如图，在三棱锥ABCD中，平面A

22、BD平面BCD，BADBDC90，ABAD3，BC2CD求：(1) 求AC的长；(2) 求证：平面ABC平面ACD；(3) 求D点到平面ABC的距离dABDC解：(1) (2)略(3)因VADBC(DCBD)OA6，又VDABC(ABAC)dd，VABCDVDABC，则d6，解得d.例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC14CPA1C1D1ABCDPHOB1(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；(3) 求点P到平面ABD1的距离答案： (1) APBarctan(2)

23、 AP在面AC上的射影为AC 又ACBDPABD 而BDB1D1 B1D1AP而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H D1HAP(3) 面ABD1面BC1 过P作PMBC1于M则PM变式训练4：三棱锥VABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H(1) 求证H是ABC的垂心；(2) VEHACBD(1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点，VAVB，VAVC，VBVCV，VAVBC面，又BCVBC面，BCVAVHABC面，BCABC面，BCVH，又VAVHA，BCVHA面又ADVHA面，ADBC，同理可得CEAB，H是ABC的垂心(2) 连接VE，在RtVEC中

24、，VE2EHECAB2VE2AB2EHEC，即归纳总结线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若，a则a 第5课时 三垂线定理基础过关基础过关1和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 2射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 垂线在平面上的射影只是 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线COBA3如图，AO是平面斜线，A为斜足，OB，B为垂足，AC，OAB，BAC，OA

25、C，则cos 4直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线和平面所成角斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 5三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直典型例题例1. 已知RtABC的斜边BC在平面内，A到的距离2，两条直角边和平面所成角分别是45和30求：(1) 斜边上的高AD和平面所成的角；(2) 点A在内的射影到BC的距离答案：(1) 60 (2)DABC变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测

26、得BCA30，在道路上取一点D，又测得CD30m，CDB45求电塔AB的高度解：BC30，ABBC tan3010例2如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿B1A1 B C A4A1A2 B1 C1 A3A2C1CBBB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1BC1；求证：A2CA1B1解：取A2B1中点D1 A2C1B1C1 C1D1A2B1又A1A2面A2B1C1 C1D1A1A2C1D1面A1A2B1B BD1是BC1在面A2B上的射影由A1B1BC1 BD1A1B1取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影A2D

27、BD1 A2DBD1是平行四边形由BD1A1B1 A1B1A2DA2CA1B1 A1C1B1MNCPBA变式训练2：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长，设这条最短路线与CC1交点N，求：(1) PC和NC的长；(2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小解：将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PCx，则P1Cx，在RtMAP1中，由勾股定理得x2PCP1C2

28、NC(2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NHPP1于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CHPP1NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)在RtPHC中 PCHPCP160 CH1D1C1B1A1BADFCE在RtPHC中 tanNHC故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan例3.如图在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点(1) 试确定点F的位置，使得D1E面AB1F；(2) 当D1E面AB1F时，求二面角C1EFA大小解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影

29、AB1A1B D1EAB1于是D1E平面AB1F D1EAF连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影D1EAFDEAFABCD是正方形，E是BC的中点当且仅当F是CD的中点时，DEAF即当点F是CD的中点时，D1E面AB1F(2) 当D1E平面AB1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EFBD连AC，设AC与EF交点H，则CHEF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影C1HEF 即C1HC是二面角C1EFC的平面角在RtC1HC中 C1C1 CHACtanC1HC C1HCarctan 2AHC1arctan2变式训练3：正方体ABCDA1B

30、1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，APBQa，(1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；(2) 求证：PQAD(1) 解：过Q作QMCC1交BC于M 则QM面ABCD QPM就是所求角即 PMAB在RtPQM中 PM QMtanQPM1(2) 由(1) 可知PMBC PQ在面ABCD内的射影是PM.PQBC 又ADBC PQAD例4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1) 证明：D1EA1D；(2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(3) AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为AA1C1D1BCEDB1 (1)

31、 证明： AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E(2) 设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，ACCD1，AD1，而AEBCDD1h1h， h(3) 过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE，DHD1为二面角D1ECD的平面角设AEx，则BE2x在RtD1DH中，DHD1，DH1在RtADE中，DE，在RtDHE中，EHx，在RtDHC中，CH，CE，则x，解得x2即当x2时，二面角为D1ECD的大小为PABCD变式训练4：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PDa，PAPCa(1) 求证：PD面ABCD；(2) 求直线PB与AC所成角；(3)

32、 求二面角APBD大小证明：(1) PCa PDDCa PD2DC2PC2PDC是直角三角形 PDDC同理PDDA 又DADCDPD平面ABCD(2) 连BD ABCD是正方形 ACBD又PD平面ABCD ACPB(三垂线定理)PB与AC所成角为90(3) 设ACBD0 作AEPB于E，连OEACBD PD平面ABCD AC面ABCDPDAC AC平面PDB又OE是AE在平面PDB内的射影OEPB AEO就是二面角APBO的平面角又ABa PA PBPD面ABCD DAAB PAAB在RtPAB中 AEPBPAAB AE AOsinAEO AEO60归纳总结1求直线和平面所成的角的一般步骤是一

33、找(作)，二证，三算寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决2三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线面线线；向量法第6课时 平面与平面平行基础过关基础过关题1两个平面的位置关系： 2两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行(记忆口诀：

34、面面平行，则线线平行)4两个平行平面距离和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离典型例题A1ABCB1C1EFMND1D例1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点(1) 求证：平面AMN平面EFDB；(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值解：(1) 易证EFB1D1 MNB1D1 EFMNANBE 又MNANN EFBEE面AMN面EFDB(2) 易证MNBD AMN为AM与BD所成角易求得 cosAMNBDACO变式训练1

35、：如图，AB交、于A、B，CD交、 于C、D，ABCDO，O在两平面之间，AO5，BO8，CO6求CD解：依题意有ACDB 即OD CD6例2 . 已知平面平面，AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且求证：EF证明：1若AB与CD共面，设AB与CD确定平面，则AC BD ACBD 又EFACBD EF2若AB与CD异面，过A作AACD在AA截点O，使 EOBA OFAD平面EOF EF与、无公共点EF变式训练2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点求证：(1) APMN；(2) 平面MNP平面A1BD证明：(1)

36、连BC1 易知AP在BCC1B1内射影是BC1BC1MN APMN(2) 面MNP面A1BD例3.已知a和b是两条异面直线(1) 求证：过a和b分别存在平面和，使；(2) 求证：a、b间的距离等于平面与的距离(1) 在直线a上任取一点P，过P作bb，在直线b上取一点Q过Q作aa 设a, b确定一个平面a, b确定平面 aa a a同理b 又a、b 因此，过a和b分别存在两个平面、(2) 设AB是a和b的公垂线，则ABb，ABa ABaa和b是内的相交直线，AB 同理AB因此，a, b间的距离等于与间的距离变式训练3：如图，已知平面平面，线段PQ、PF、QC分别交平面于A、B、C、点，交平面于D

37、、F、E点，PA9，AD12，DQ16，ABC的面积是72，试求DEF的面积QFDECABP解：平面平面，ABDF，ACDE，CABEDF在PDF中，ABDF，DFABAB，同理DEACSDEFDFDE sinEDFSABC96例4.如图，平面平面，ABCA1B1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB2AC2，BAC60，OA:OA13:2B1A1C1BCAO求A1B1C1的面积解： AA1BB1O ABA1B1同理ACA1C1 BCB1C1ABCA1B1C1 SABCABACsin60 DEACBP变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60

38、，PAACa，PBPDa，点E是PD的中点（1）证明：PA平面ABCD，PB平面EAC；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值（1）证：因为底面ABCD是菱形，ABC60，所以ABADACa，在PAB中，由PA2AB22a2PB2知PAAB，同理，PAAD，所以PA平面ABCD因为2()() 、共面PB平面EAC，所以PB平面EAC（2） 解：作EGPA交AD于G，由PA平面ABCD，知EG平面ABCD作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EGa，AGa，GHAG sin 60a，所以tan归纳总结1判定两个平面平行

39、的方法：(1)定义法；(2)判定定理2正确运用两平面平行的性质3注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线线线面面面第7课时 两个平面垂直基础过关题1两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直3两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面4异面直线上两点间的距离公式：EF，其中：d是异面直线a、b的 ，为a、b ，m、n分别是a、b上的点E、F到 AA与a、b的交点A，A的距离典型例题例1 如图所示，在四面体SABC中，SASBS

40、C，ASBASC60，BSC90求证：平面ABC平面BSCCASDB证明：略变式训练1：如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBCASBC 求证：ABBC； 若设二面角SBCA为45，SABC，求二面角ASCB的大小证明：(1) 作AHSB于H，则AH平面SBCAHBC， 又SABCBC平面SAB BCAB(2) SBA是二面角SBCA的平面角，SBA45，作AESC于E，连结EH，EHSC，AEH为所求二面角的平面角，AEH60例2.在120的二面角PaQ的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB10，求：(1) 直线AB和棱a

41、所成的角；(2) 直线AB和平面Q所成的角答案：(1) arc sin (2) arc sin变式训练2：已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，DAB60，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点（1） 证明：平面PED平面PAB；（2） 求二面角PABF的平面角的余弦值（1）证明：连BDABAD，DAB60，ADB为等边三角形，E是AB中点ABDE，PD面ABCD，AB面ABCD，ABPDDE面PED，PD面PED，DEPDD，AB面PED，AB面PAB面PED面PAB（2）解：AB平面PED，PE面PED，ABPE连结EF， EF面PED，ABEF PEF为二面角PA

42、BF的平面角设AD2，那么PFFD1，DE在PEF中，PE，EF2，PF1cosPEF即二面角PABF的平面角的余弦值为CBDFPAE例3.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角PCDB为45 求证：AF平面PEC； 求证：平面PEC平面PCD； 设AD2，CD2，求点A到面PEC的距离证明：(1) 取PC的中点G，易证EGAF，从而AF平面PEC(2) 可证EG平面PCD(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC平面PCD，过F作FHPC于，则FH即为所求，由PFHPCD得FH1变式训练3：如图，在四棱锥VAB

43、CD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCDCBAVD 证明：AB平面VAD； 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小（1）证明：平面VAD平面ABCDABAD AB平面VADAB平面ABCDAD平面VAD平面ABCD（2）解：取VD的中点E，连结AE、BEVAD是正三角形，AEVD，AEADAB平面VAD，ABAE又由三垂线定理知BEVD于是tan AEB,即得所求二面角的大小为arc tanBCAA1B1C1例4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，ABBC，CB3，AB4，A1AB60. 求证：平面CA1B平

44、面A1ABB1； 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；(3) 求点C1到平面A1CB的距离证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形，又ABBC，BC平面A1ABB1（2）过A1作A1DB1B于D，连结DC，BC平面A1ABB1，BCA1D A1D平面BCC1B1，故A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，在矩形BCC1B1中，DC，因为四边形A1ABB1是菱形A1AB60，CB3，AB4， A1D2 tanA1CD（3） B1C1BC，B1C1平面A1BC C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离连结AB1，AB1与A1B交于点O，四边形A1ABB1是菱形，B1O

45、A1B 平面CA1B平面A1ABB1，B1O平面A1BC， B1O即为C1到平面A1BC的距离B1O2 C1到平面A1BC的距离为2ACBPGD变式训练4：如果在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD 若G为AD边的中点，求证BG平面PAD； 求证ADPB； 求二面角ABCP的大小； 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45 (4) F为PC的中点归纳总结在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，

46、则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键第8课时 空间的角基础过关题1两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a a，b b，把直线a和b所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 2直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角规定： 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角； 一条直线与平面平行或在平面内

47、，我们说它们所成的角是 角其范围是 公式：coscos1cos2，其中，1是 ，2是 ，是 3二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角4二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 典型例题PBEFDCA例1. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点（1）求EF与平面PAD所成角的大小；（2）求EF与CD所成角的大小；（3）若PDA45，求：二面角FABD的大小解：(1)易知EF平面PAD，故EF与平面PAD成角为0；A1B1D1C1DABC(2)易知EFCD，

48、故EF与CD成角为90；(3)取AC中点为0，则FEO为所求二面角的平面角，易求得FEO45变式训练1：如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1BDC的大小为60，求异面直线BC1与AC所成的角的大小答案：arccos例2. 在等腰梯形ABCD中，AB20，CD12，它的高为2，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120的二面角，求：CDABB1MNC1 AC1的长； AC1与MN所成的角； AC1与平面ADMN所成的角答案：(1) 16 (2) arcsin (3) arcsinABOCDS变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的

49、O，AC为O的直径，点S为平面ABCD外一点，且SA平面ABCD，若DACACBSCA30，求： 二面角SCBA的大小； 直线SC与AB所成角的大小答案：(1) arctan (2) arccos例3. ABC和DBC所在平面互相垂直，且ABBCBD，ABCDBC120求： AD与平面DBC所成的角；ABDC 二面角ABDC的正切值解：(1) 作AEBC交BC的延长线于E，由面ABC面BCD知AE向BCD，ADE即为所求，求得ADE45(2) 作EFBO于F，AFE即为所求，求得tanAFE2BB1AECC1A1变式训练3：正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC中点 求证：平面BEC1平面AC

50、C1A1； 求证：AB1平面BEC1； 若，求二面角EBC1C的大小答案：(1) 略 (2) 略 (3) 45例4: 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCa，AA12AB，M为CC1上的点.(1) 当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30；(2) 在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角.ACMA1B1C1B解(1) 取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M，由已知易知B1N1平面A1C1CA. B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角，设C1Mx，B1N1a.sin B1MN1, 解得xa，BEADFC则C1MC1C, M为C1C的中点.(2) arccos变式训练4：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将ADE沿DE折起，如图所示，记二AEFBCD面角ADEC的大小为，若ACD 为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G 是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上，过点A作AG平面BCDE，垂足为G，连结GC、GDACD为正三角形，ACAD，GCGD，G在CD的垂直平分线上，又