自然边界条件

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1、1.2.2自然边界条件上节中待求函数的边界值是已知的，本节放松边界值为可随意变动的情况。 这里的问题是：在a x b的区间内，决定一个函数列力使泛函V = j bF （x, y, y，）dx 取驻值a由上节的变分过程可知：跛=jb 竺-d (竺府d井竺街|b a dydx dydyai/ Euler方程仍必须成立，否则便能找到一个为使5 V大于（或等于）零。在边界值中,8y也可任意，故必须有（道理同前）:在 x=a 及 x=b 处：c ,=。cy(*)ii/边界条件（*）是根据取驻点的要求推导出来的，不是事先指定的。所以，这类条件为自然边界条件。（或）：在泛函的驻值寻找中，自变函数必须满足的条

2、件（即在满足这些条件的函数中寻找 泛函极值）称为基本/本质（Essential）边界条件；而事先不必考虑，变分的结果自然满足的 边界条件称自然边界条件（Natural）。iii/推广至更广泛的一些问题在a x b的区间内，决定一个函数y使泛函V = j b F(x, y, y)dx + Py(a) + Qy(b)a取驻值，其中P, Q为已知数值。求V的变分设：5V =5” F(x, y, y)dx + P5y(a) + Q5y(b)aCFdCF_ CF_CF=Jb- - (-5)5ydx+ P- I 5y(a) + Q+ I 5y(b) a cydxcycy x=acyx=b道理同前，还可得如

3、下自然边界条件：x = a,cF = P x = b， cyf1.2.3.泛函的二阶变分如函数的二阶微分用于判定函数驻值性质一样，泛函的二阶变分可用来判定泛函的驻值 性质，AV的一阶小量部分称为的V一阶变分，记5VAV的二阶小量部分称为的V二阶变分，记5 2V5V = j壬咬dx鼻=* （x，y，y，），另书（x，y，y，） oyoyoyoyNote:8 0y） =。 8印）=。（近似取）8 2V = jb 箜 8堂 8/ 枷 + 旦枷 +枷 f8ydxa 8y8y8y8y8y8y8y8y=j 以 a oy 2o 2 Fo 2 F（8y ）2 + 2=8y8y + 耳呵）2dxoyoyoy 2

4、极值性质结论:8V = 08V = 08V = 0V取极大值V取极小值V取非极大的驻值（当为多元函数时）8V = 08 2V 7ii/利用分步积分把上式第二项化成:jb 性8ydx = -b （当）8ydx + 当8y lb a oya dx dydy aiii/连续用两次分步积分，把上式第三项化为:jb生 8y，dx = -jb （生）8y，dx + 迎 8y，|b a dy! y adx dyffJ 7oy a=jbL （生）8ydx - d （竺）8y lb +竺 8y lbadx 2 oy dx dy a dy y a代入5 V式整理得:b6Fd QF、d2 ,6FdFd ,dFdF

5、f.5V = b-()+ ()Oydx + -()5y |b + 5y |b aoydxoydx 2oyoydxoyaoyaiv/ 由第一项可推出:dF d QF、 d2 ,of、八 Euler: 否 一 d 誓7）+ 杰（胡）=0否则可找到一个g,使5V的第一次大于（或小于）零。 分析中的第二项，若在边界上已知y，那么,5y=0于是第二项便恒等于0，反之，若5y可取任意值，那么应使:史-d (生)=0 dy dx dy否则，可找一个Oy使5V的第二项大于（或小于）零。 分析V中的第三项，如果在边界上不是已知y，则应有:归纳本问题的边界条件: 在x=a及x=b处：y =已知（基本条件）oF d

6、 ,6F、八 八 或d （寥）=0 （自然条件）y=已知（基本条件）（自然条件）homework :求下列泛函的极值问题:w2 - qwdxV = jlD (d2W)2 + N (dw)2 + k。2 dx 22 dx 2再考虑包含更高阶导数的泛函驻值问题，取:V = jb F (x, y , y，y (n)dxa作法雷同c of of cof cof c5V = jb+ 5y/ + dy (k) + Oy (n )dx接连利用k次分步积分公式，上式中的代表项化为:b F by( k)dx = (1) k b -fL()8y( k)dx + 6ya dy (k)a dxk 四(k)四(k)d

7、WF、c(k 1) |b G一网 (k-2) lba dx dy( k)a+ . . . + (1)k1(-)5y lbdxk1 dy (k)a.5 V可以化为：bdFddFddFd bdF5V J () + () + (1) n()5ydxadydxdydxdydxndy (n)rdFd /dF、/ 1、+ () + + (1)dydx dydn-1dF、|n-1()5y |bdxn1 dy (n)ardFd . dF、. . dn-2dF、,.+ () + (1)n()5y lbdydx dy(3)dxn2 dy(n)a+dFe,+5y (n1) |b由于5 y的任意性，可得:dF d dF d2 dFEuler :布d 方)+ 不(亍)-+ (1)n1 L W) 0dxn dy (n)在x=a及x=b处：,工 dF d ,dFdn-1 dF、y=已知或 为一d(砂)-+(1)n1 亦r(dyz?)=,工 dFdn2 dF、八y =已知 或+ (1) n ( ) 0dydxn2 dy (n)y (n-1)=已知或里0 dy (n)