浅谈数学分析中有关数列极限的几种求法-2

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1、数列极限几种求法初探梁德君（湛江师范学院数学与计算科学学院 湛江 524048）摘要：极限论是数学分析的基础，极限的问题一直是数学分析的困难之一，也是许多科学领域的重要思想之一，然而数列极限又是极限的基础。同时涉及数列极限的问题有很多，包括极限的求法，数列极限的证明，极限的存在等。因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要。一般极限还可以用定义来求，但对于一些复杂极限，直接按照极限的定义求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出最终结果，下面初步总结了极限的几种求法，并且以实例来加以说明。关键词：数列极限，定义法，级数性法，迫敛性，单调有界原理，压缩法，柯西判别法，错位法，拆分法，公

2、式法，定积分定义法，定积分性质法，归结原则Preliminary analysis about the several methods of Series LimitLIANGDejun(Mathematics and computational science school,Zhanjiang Normal University,Zhanjiang ,524048)Abstract:The limit is the basis of mathematical analysis ,limit question is always one of the difficulties of mathe

3、matical analysis,and it is also one of the important ideas in many scientific fields.However,Series limit is the basis of the limit.At the same time the problems what relate to series limit are o lot,including to the methods of limit,the poor of series limit,the existence of such limits .Because of

4、the importance of limits,it is particularly important how it is done.Definition can be used to solve general limit,but it is very difficult for a number of complex limit.Not only it takes us much time to solve it ,but also we not sure to get the results.Below several methods will be described and se

5、veral examples will be used to illustrate them.Keyword：Series-Limit Definition-methodSeries resistance methodconvergence-propertymonotonicity-principlecompression-process Cauchys convergence test formula-methodDefinite integral definition methodDefinite integral property methodPrinciples boil down目录

6、1、 最基本最常用的方法定义法32、 迫敛性33、 判别数列极限的几种方法 5 3.1柯西收敛准则 5 3.2单调有界原理 5 3.3两种判别方法 7 3.3.1有界变差数列 7 3.3.2压缩数列 74、 利用函数的某些性质来求数列极限 75、 利用施笃兹公式以及其它方法求解 9 5.1施笃兹公式求解 9 5.2级数求解 10 5.3定积分定义法 12 5.4定积分性质法 12 5.5错位法 13 5.6拆分法 136、 结语 147、 参考文献 141、最基本最常用的方法定义法定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当时有, 则称数列收敛于a,实数a称为数列的极限,

7、并记作或.读作：当n趋于无穷大时,的极限等于a或趋于a。由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或. 例1、设。证明。证明方法（1）：因为。故（取），,有于是，由的任意性。证明方法（2）： 小结：设通过此例总结出运用论证法的大致步骤：）任意给定；）令；）推出；）取，再用语言顺述并得出结论。2、迫敛性 定理2.1（迫敛性）设收敛数列，都以a为极限，数列满足存在正整数，当时有，则数列收敛，且。例 2、求极限 。二、解法1 容易发现直接化为黎曼和的形式有困难.注意到 ,由于，所以.解法2（利用数列夹逼准则）利用，得,由于，所以 .思考题（华南师大2000年考研真题）求证。 小结：运用此法

8、的关键将 适当放大与缩小，一般是从数列出发，将其通项放大后得数列，缩小后得数列，并使与的极限都存在且相等，放缩的技巧基本上类似应用 定义证数列极限时的常用方法，关键是掌握不等式的放缩的各种方法。 但大多数数列并不是有一定规律的或很容易使用迫敛性就可以求之的，而且有的数列是有极限还得进行判断，这时就得引入判别数列极限存在的定理。3、判别数列极限存在的几种方法定理3.1（柯西收敛准则）：数列收敛的充分必要条件是任给,存在,使得当时，都有成立。例 3、证明。证法一：取，取则（差化积）=.方法二（反证法）假设记，故又因=于是。故而，于是上式两边取极限得，得矛盾。从而可证数列。定理3.2（单调有界原理）

9、在实数系中，有界的单调数列必有极限。例4、设，试证：收敛，并求。证明 令，则有，在上是严格递减的；当时，；当时，；若，则有显然，；将代入，得，由，得单调递减，单调递增，设，在，中，令取极限，得，从而有，故或者 注意到，我们有当时，当时，于是，知，往证递减，递增，实际上从中，解出当为偶数时，当为奇数时，从而由单调有界原理，存在使得，在，中，令，取极限，有，解之得，故。小结：这种方法无需知道有限，只根据数列本身的性质(单调、有界)，即可知极限存在，然后在关系式两边取极限得一方程，解得数列极限值，这是单调有界原理证明极限存在和求极限的典型方法C 但此法有很大的局限性，只适用于判定单调数列的收敛性，判

10、别任一数列的收敛性还有下面的方法。定理3.3 有界变差数列一定收敛。定理3.4 任意压缩数列一定收敛。于是我们想求数列极限时可以试着构造有界变差数列、压缩数列，进而利用以上两个定理加以求之。具体的使用在以上的两个例子中都有体现，在这里就不再加以详细指出。4、 利用函数的某些性质来求数列极限定理4.1（归结原则）设在内有定义，存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。 例 5、求解：解：原式.小结1：从以上可以看归结原则研究的是数列极限与函数极限的关系，同样也有利用数列极限与函数极限等值关系来求极限，这种方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数列极限的一种方法

11、。例6：（华南师大1997年考研真题）若 ,求.解 先考虑而 = = = = = =4.2、利用重要公式求极限或者转化为求函数极限例7：求 .解 = = = = =例8：求极限 .解 = = = = =小结2 以上是利用重要公式求极限或转化为函数的极限，此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。5、利用施笃兹（stolz)公式及其他一些方法求解数列数列极限我们所学的施笃兹（stolz)公式也是求数列极限的一种有利工具，但需要满足一定的条件:若数列单调递增趋于，（可以为无穷大），那么，有了这样的公式我们在解决一类数列

12、极限时可以简便求出其解。定理5.1（stolz） 若（1）严格增大，且无界; (2),则收敛，且.例9、设，试证：存在时，。证明：因为，只须证明第一项趋于0，为了利用，特令,则可知，且 =于是由stolz公式有，（应用stolz公式） 小结：使用施笃兹公式可解决一类比较复杂的数列极限，然而有些数列是更显复杂的，也不满足已有的条件，这时就得另寻他法，我们注意到有时所求数列极限跟数项级数有一定的转化关系，于是我们就可以考虑是否可转化为级数类而求之？下面的例子就说明可以转化为级数的形式。5.2、级数性质法例10、解：因为从而因此原式=0思考：求极限（浙江大学1999年数学分析考研真题）5.3定积分定

13、义法例11、求（中山大学2023考研真题）解法一、因为=，而是在上的特殊积分和，又 =于是原式=解法二、设若则记则=.故=.5.4、定积分性质法例12、求。（华南师大1997考研真题）解：因为所以例13、解：因为，所以当n充分大时，5.5、错位法例14、求。解：=.思考题求。（华南师大1997年考研真题）小结：可以看成分母为同底数幂，分子为奇数的级数求和，把级数的分子转化为同一个数和“1”，然后再分项求极限。5.6、拆分法例8、求。（华南师大1996年考研真题）解：因为，于是故原式=6、结语 本文就数列极限的几种求法进行了初步探讨，从上文可以看出要想求出一些数列的极限，而在题目中没有明显指出极

14、限存在的条件下我们先判别数列的存在进而求之，在文中已经介绍了几种判别法，在求解的过程中，先从已知出发跟哪种方法形式比较相近，在使用上面介绍的方法进行求解，这个过程往往并不是一个过程就可以解决的，通常需要几种方法的结合！例如数学归纳法，同时往往一道题也并非就只有一种求解方法，例如有界单调原理就会经常与其他方法结合使用。7、参考文献1 华东师范大学数学系编.数学分析上册第三版M,北京：高等教育出社.2023:28-34.2 华东师范大学数学系编.数学分析下册第三版M,北京：高等教育出社.2023:52-61.3 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M，北京：高等教育出版社.2006（2）：57-62

15、.4 曾捷.数学分析上册同步辅导及习题全解M，北京：中国矿业大学出版社.2023（1）： 43-44.5 张天德，韩振来.数学分析同步辅导及习题精解M,天津：天津科学技术出版 社.2023(1):64-70.6 叶国菊，赵大方.数学分析学习与考研指导M,北京：清华大学出版社.2023(1):7-19.7 徐森林，薛春华.数学分析M，北京：清华大学出版社，2005（1）：1-76.8 周彬.数列极限的几种求法J.新课程学习体会（社会综合），2023(04).9 吴秉会，魏连锁.压缩映像原理在递推数列极限中的应用J,高师理科学刊，2007(02).10 郭家宏，刘金华.数列极限与函数极限的关系J,中州大学学报，1994（02）.11 魏立明.一类数列极限求法的研究J,广西贺州.梧州师范高等专科学校.2004(11):75-77.12 黄丹妹.试论极限的计算方法数列篇J,福建：福建省侨兴轻工学校.2005(07):18-20.13 李明.浅谈高等数学中数列极限概念的教法J,广东：广东省技师学院.2007(03).14 顾庆贺.证明数列极限存在的六种方法J，河北：邢台师范高专学报.1998(02).