2012届江苏省赣马高级中学高三数学附加题训练（11-23）(教育精品)

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1、2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1121【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换（2012苏北四市3摸）已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15）求矩阵M答案要点：设，则，故 ，故 联立以上两方程组解得，故=选修4-4：坐标系与参数方程（2012年常州质检）在极坐标系中，O为极点，求过圆C：的圆心C且与直线OC垂直的直线的极坐标方程。答案要点：圆心C的极坐标为（3，），设直线上任意一点P（则，即为

2、直线的极坐标方程。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、如图，在长方体中，已知，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）试在面上确定一点G，使到平面距离为答案要点：（1）以为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有，于是，设与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为（2）设，设平面的法向量为，即，取，即，几何意义便是平面直角坐标系内的两条平行直线，其中一条过B点所以G的位置是点B或者是平面XOY上的直线第23题设,.(1)当时,展开式中的系数是,求的

3、值；(2)利用二项式定理证明:；答案要点:(1)当时,所以的系数为,则由,解得；(2)由,求导得().令,得,即,同理,故.2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1221【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换（2011南通三模）已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数a的值； （2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.解：（1）由=，（2分） . （3分）（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 （5分）令，得矩阵的特征值为与4. （6分）当时，

4、 矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分） 当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程（南京市、盐城市2012届一调）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被圆C截得的弦的长度.解：圆C的方程化为，两边同乘以，得由,得其圆心坐标为，半径,又直线的普通方程为,圆心到直线的距离,弦长【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、若能被正整数整除,请写出的最大值,并给予证明答案要点:当时,下证能被

5、整除 (1)当时已证；(2)假设当时命题成立,即能被整除,则当时,而能被整除,为偶数,所以也能被整除.即当时命题也成立.由(1)、(2)得的最大值为第23题(2011南通市第三次模拟)已知函数,其中,(1)若在处取得极值,求的值；(2)若的最小值为,求的取值范围. 答案要点:(1),因为在处取得极值,所以,即,解得(2),因为,所以当时, 即在区间上单调递增,所以.当时,由解得,由解得,即在区间上单调递减增, 在区间上单调递增,所以.综上可知,若的最小值为,则的取值范围是.2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1321【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域

6、内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换（2011苏北四市4月）已知矩阵 有特征值及对应的一个特征向量.（1）求矩阵;（2）求曲线在的作用下的新曲线方程.解：（1）由已知，即，所以; 4分（2）设曲线上任一点P，P在M作用下对应点，则即，解之得，代入得，即曲线在的作用下的新曲线的方程是10分选修4-4：坐标系与参数方程（扬州市2012届第一学期期末）已知是椭圆上的点，求的取值范围的参数方程（是参数）设 4分 7分的取值范围是【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

7、或演算步骤。第22题、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设x为成活沙柳的株数，数学期望x，标准差sx为（）求n,p的值并写出的分布列（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率答案要点：（）由xnp=3,( sx)2= np (1-p)=1.5得n=6, p=0.5； x的分布列为x0123456（）记”需要补种沙柳”为事件A, 则 第23题(2011如皋中学检测)若,其中.(1)求及；(2)试比较与的大小,并说明理由答案要点:取,则；取,则,； 要比较与的大小,即比较:与的大小

8、,当时,； 当时,；当时,； 猜想:当时,下面用数学归纳法证明：由上述过程可知,时结论成立,假设当时结论成立,即,两边同乘以得,而,所以.即时结论也成立. 故当时,成立.2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1421【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换（2012届扬州期末）求矩阵的特征值和特征向量答案要点：由可得：， 由可得属于的一个特征向量为 由可得属于的一个特征向量为选修4-4：坐标系与参数方程（苏北四市2012一模）在极坐标系中，A为曲线上的动点，

9、B为直线上的动点，求AB的最小值。圆方程为，圆心，直线方程为，圆心到直线的距离，所以【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、（2012江苏盐城市第一次调研题）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第关时，需要抛掷次骰子，当次骰子面朝下的点数之和大于时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.（）求仅闯过第一关的概率；（）记成功闯过的关数为，求的分布列和期望答案要点：（）记“仅闯过第一关的概率”

10、这一事件为A,则 4分 （）由题意得, 的取值有0,1,2,3,且, , ,即随机变量的概率分布列为: 0123所以,第23题(2011苏州市调研)设,(1)当时,比较与的大小(2)根据的结果猜测一个一般性结论,并加以证明答案要点:(1),.(2)猜想:当,时,有.证明:当时,有猜想成立(已验证).当(,）时,猜想成立,即(*). 下面证明当时,有猜想也成立.由(*)得,因为,所以,所以,则.综合,猜想对任何,都成立. 2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1521【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字

11、说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换（2011南通三模）已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为求矩阵A答案要点：由特征值、特征向量定义可知，A，即，得 同理可得 解得因此矩阵A 选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆的极坐标方程为，点，为其左，右焦点，直线的参数方程为()求直线和曲线的普通方程；()求点，到直线的距离之和.答案要点：() 直线普通方程为；曲线的普通方程为点到直线的距离 点到直线的距离 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、（2011湖南高

12、考）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(）求当天商品不进货的概率；（）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望答案要点：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=（II）由题意知，的可能取值为2，3.；故的分布列为23的数学期望为第23题已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点（1）求实数的值；（2）问点位于抛物

13、线弧上何处时，面积最大？答案要点：（1）将代入得， 由可知， 另一方面，弦长AB，解得；（2）当时，直线为，要使得内接ABC面积最大，则只须使得，即，即位于（4，4）点处2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1621【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求实数的值.答案要点：在直线上取两点在矩阵对应的变换作用下分别对应于点因为，所以的坐标为，所以的坐标为由题意在直线上，所以解得选修4-4：坐标系与参数

14、方程已知为参数，为参数，且，求实数的取值范围 解析：,，解得【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点的坐标为（1）求抛物线的标准方程；（2）设是抛物线的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为，直线,与抛物线的交点分别为点，求证：动直线恒过一个定点. 答案要点：（1）设抛物线的标准方程为，则，所以抛物线C的标准方程为 （2）抛物线的准线方程为，设，其中则直线的方程为：，将与联立方程，答案要点得A点的坐标为，同理可得B点的坐标为则直线AB的方程为：，整理，得由，答

15、案要点得，故动直线恒过一个定点第23题（2012年3月泉州质检）已知等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.（）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.答案要点：（）因为该同学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为. （）设该同学共参加了次考试的概率为（）.， 所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：2345678910 ，令, （1）则,

16、（2）由（1）-（2）得，所以， 所以(元). 2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1721【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换.在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.答案要点：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 则有 ，即，所以， 又因为点在椭圆上，故，从而， 所以，曲线的方程是 选修4-4：坐标系与参数方程（泰州市2012届期末）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系

17、，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，为半径的圆，直线方程的普通方程为，圆C的圆心到直线l的距离，故直线被曲线截得的线段长度为【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、求证：.对点训练7. (1)证明：欲证成立，只需证成立，而所以原不等式成立.(2)证明：当时，当时，.又所以综上有.第23题 (2012朝阳区高三期末理18)已知函数(,为正实数).(I)若,求曲线在点处的切线方程；()求函数的单调区间.答案要点: (I)当时

18、,则,所以.又,因此所求的切线方程为. (). (1)当,即时,因为,所以,所以在上单调递增. (2)当,即时,令,则（）,所以.因此当时,当时,.所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1821【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换设M，N，试求曲线ysinx在矩阵MN变换下的曲线方程答案要点：MN=, 设是曲线上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为则，所以即 代入得：，即即曲线在矩阵MN变换下的曲线方程为选修

19、4-4：坐标系与参数方程（徐州市2012届）在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.将化为普通方程为 点到直线的距离 所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、（2011南通二模）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望E；（2）求恰好得到n分的概率答案要点：（1）所抛5次得分的概率为

20、P(i)= (i=5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：5678910 P E= (分) . 5分（2）令pn表示恰好得到n分的概率. 不出现n分的唯一情况是得到n1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n分”的概率是1pn，“恰好得到n1分”的概率是pn1，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1pn=pn1， 7分即pn=. 于是是以p1=为首项，以为公比的等比数列. 所以pn=，即pn. 答：恰好得到n分的概率是. 第23题已知抛物线与直线求证：抛物线与直线相交；求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围；当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值答案要点：（1）由，直线与抛物

21、线总相交（2），其顶点为，且顶点在直线 的下方，即设直线与抛物线的交点为， 当2012届赣马高级中学高三数学附加题训练1921【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换设A=，试解方程AX=B。答案：由已知，X=，即选修4-4：坐标系与参数方程(无锡一中期初)已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点（1）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）求弦的长度(1)由得:由得:y=x(2)圆的圆心(3,0),半径=3,圆心到直线的距离=【必

22、做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、已知是给定的某个正整数，数列满足：，其中（I）设，求；（II）求答案要点：（）由得， 即，；， ，； （）由得：， 即， 以上各式相乘得 ， 第23题已知椭圆,抛物线的开口向上，且其顶点在椭圆C的中心，焦点为椭圆的一个焦点F.点P为抛物线上的一点， PC垂直于直线，垂足为C，已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B.(1)求使PCF为等边三角形的点P坐标. （2）是否存在点P，使P平分线段AB，若存在求出点P，若不存在说明理由.由得，所以，即.则,即,故抛物线方程为

23、,即.可设. （1）由知, 是抛物线的准线,故,由PCF为等边三角形知, .故,即,即,答案要点得或.即或.故或. （2） ,由知, ,则.令得, ,即,令得, ,即,. 若P平分线段AB，则有且,答案要点得,即.故存在点，使P平分线段AB.2012届赣马高级中学高三数学附加题训练2021【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换若点在矩阵对应变换的作用下得到的点为，求矩阵的逆矩阵答案要点：由题意知， ，即，所以 解得所以由，解得. 选修4-4：坐标系与参数方程

24、已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系答案要点：（1）消去参数，得直线的普通方程为；即，两边同乘以得，消去参数，得的直角坐标方程为：（2）圆心到直线的距离，所以直线和相交【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、（徐州2012届一摸） 如图，过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点（1）求的值；（2）若，求面积的最大值答案要点：因为，在抛物线上，所以， ，同理，依题有，因为，所以 由知

25、，设的方程为，到的距离为，所以=， 令，由，可知，因为为偶函数，只考虑的情况，记，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6 第23题设数列是等比数列，公比是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）（1）用表示通项与前n项和；（2）若，用表示答案要点: （1） ， 由的展开式中的同项公式知， （2）当时，又， ，当x1时, ，2012届赣马高级中学高三数学附加题训练2121【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换（2012泰州期末）已知曲线的极坐标方程为，以极

26、点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，为半径的圆，3直线方程的普通方程为，6圆C的圆心到直线l的距离，故直线被曲线截得的线段长度为10选修4-4：坐标系与参数方程(2012年徐州市一调)在极坐标系中，A为曲线上的动点， B为直线上的动点，求AB的最小值。解析：圆方程为，圆心，直线方程为，圆心到直线的距离，所以 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、设，利用二项式定理计算：答案

27、要点：由,求导得令,得第23题过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点.（1）求证：不是直角三角形；（2）当的斜率为时，抛物线上是否存在点C，使为直角三角形且B为直角（点B位于轴下方）？若存在，求出所有的点C；若不存在，说明理由（1）当直线斜率不存在时，显然不是直角三角形当直线斜率存在时，焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为代入抛物线得，则有，进而，又所以为钝角，即不是直角三角形。（2）AB方程：代入抛物线，求得，假设抛物线上存在点使为直角三角形且B为直角，此时，所以，解得对应点B，对应点C，则存在使为直角三角形，故满足条件的点C只有一个，即。2012届赣马高级中学

28、高三数学附加题训练2221【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换（2011南通三模）已知圆C：在矩阵对应的变换作用下变为椭圆，求a，b的值解：设为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点，则 ，即 4分又因为点在椭圆上，所以 由已知条件可知， ，所以 a2=9，b2=4因为 a0 ，b0，所以 a=3，b=2 10分选修4-4：坐标系与参数方程（南京市2012届一模）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直

29、线的参数方程为（为参数），求直线被截得的弦的长度.答案要点：的方程化为，两边同乘以，得由,得其圆心坐标为，半径,又直线的普通方程为,圆心到直线的距离,弦长【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、（湖南理18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。（）求当天商品不进货的概率；（）记X为第二天开始营业

30、时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）（）由题意知，的可能取值为2,3. （“当天商品销售量为1件”） （“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”） 故的分布列为23 的数学期望为第23题设二项展开式的整数部分为，小数部分为.试用二项式定理推导和。答案要点：因为而得：（=2（8分而，所以（，所以2012届赣马高级中学高三数学附加题训练2321【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字

31、说明、证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换已知直角坐标平面上的一个变换是先绕原点逆时针旋转，再作关于轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵答案要点：这个变换的逆变换是作关于轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转变换，其矩阵.选修4-4：坐标系与参数方程求经过极点三点的圆的极坐标方程.解：将点的极坐标化为直角坐标，点的直角坐标分别为，故是以为斜边的等腰直角三角形，圆心为，半径为，圆的直角坐标方程为，即，将代入上述方程，得，即. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第22题、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的

32、概率为05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为03,设各车主购买保险相互独立（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；（）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险； B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （I）3分 6分 （II），即X服从二项分布，10分所以期望12分第23题(2012届常州)已知正项数列中，。用数学归纳法证明：。答案要点：当时，所以，时，不等式成立；假设（）时，成立，则当时， ，所以，时，不等式成立综上所述，不等式成立