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1、不等式的证明方法在中学，不等式的证明问题，同学们一般都感到较困难，其原因是证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，难度较高，为此，笔者现通过一些例题，提出一套关于不等式的证明方法和常用技巧，供大家参考。一、比较法由于所以我们可以借助a-b的差值的符号来判断a、b的大小，这样证明不等式的方法，我们称为比较法。例1 已知a、b、m为正数，且a0 b0 b-a0所以 即 故（证毕）用此方法证明，还可以启发学生变更命题的某些条件，而得出一些类似的结论。例2 已知 a、b为实数。求证： 证明：因为，所以（证毕）通过上述各例，不难总结出比较法的步骤是，求差变形判断（大于或小于零），其关键是变形，常用的
2、有，因式分解、配方、通分等。二、综合法从已知条件或已被证明的基本不等式出发，运用不等式的性质，逐步推出结论。即：“由因导果”这种方法称为综合法。例3 求证：证明；因为， 又 所以， 同理 三式相加得 。例4 设a、b、c为正数，且a+b+c=1求证：证明：因为，同理三式相乘得（证毕）例5 已知 求证：证明：由 得N个同向不等式相加得即 三、分析法欲证原不等式成立，可以利用恒等变形和不等式的性质寻求使该不等式成立的充分条件，逐一进行，直到所求的充分条件成立，则逆推之，不等式得证，这种从结论出发，寻找结论和条件的联系的方法叫做分析法。例6 已知a、b为整数，且 求证： 证明：假设不等式成立，两边平
3、方得于是 由条件这是显然成立的，因此倒推回去，每步可逆，所以原不等式成立。例7 已知求证： 证明：欲使那么应有 因为 所以，上式两边约掉得 即所以， 最后不等式显然成立，以上每一步的证明都可逆，故原不等式成立。例8 求证 ： 证明：假设不等式成立，于是 故这是显然成立的，由此倒推回去，每一步可逆，所以原不等式成立。四、反证法从否定所求的不等式入手，推出与已知真命题或已知条件相矛盾的结论，从而断定所求的不等式成立，这种证明方法叫做反证法。例 9 已知（k是整数）求证：证明：假设成立则有因为，所以于是有 再化积得 这与矛盾，所以假设不成立。故（证毕）例10 已知 求证：中至少有一个不小于 证明：假
4、设结论不对，则有由得 与（2）矛盾。所以假设不成立，故原结论成立。（证毕）五、判别式法此法则借助于一元二次方程的判别式，而使不等式得到证明。例11 求证： 证明；设，整理后得：运用是实数的判别条件即得 所以， 例12 求证： 证明：设 则 因为x是实数，则有则 解之得： 则 （证毕）六、三角变换法有些不等式的证明，可以借助于三角变换而获解决。例13、已知：a、b为正数，且 求证： 证明：由已知可设于是 （证毕）例14：若 求证： 证明： 所以存在使得将它代入原不等式的左端得（证毕）七、数值法这种方法是利用函数的极值，主要是正弦和佘弦函数的极值来证明不等式。例15 求证： 证明：因为的最小值是-2 的最小值是-3 所以， 又 所以，当时，y有极大值 即 故（证毕）八、数学归纳法含有自然数n的不等式，一般可采用数学归纳法。例16 求证：证明：命题对于n=1时成立，事实上现假设命题对于n=k时成立即现证明命题对于n=k+1也成立，我们有由上两步，命题成立。
不等式证明的一般方法
