高中数学选修2-1新教学案：2.3.1双曲线及其标准方程

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1、选修2-1 2.3.1 双曲线及其标准方程（学案） 【知识要点】1双曲线定义；2双曲线的焦点、焦距；3.双曲线的标准方程.【学习要求】1 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第52 页第 55页）1我们把 的点的轨迹叫做双曲线.两个顶点 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用 表示，焦距常用 表示.2.在双曲线定义中，要求常数,为什么要加这一条件？若,动点的轨迹是 ；若，动点的轨迹是 .3.若双曲线的焦点在轴上，标准方程为 ；若焦点在轴上，标准方程为 .4

2、.双曲线标准方程中，之间的关系为 .5.阅读例、例，完成课后（第页）练习.【基础练习】1已知,动点满足,则的轨迹是（ ）.（A）双曲线 （B）双曲线一支 （C）直线 （D）一条射线2.已知，当和时，点轨迹为（ ）.（A）双曲线和一条直线 （B）双曲线和两条射线（C）双曲线一支和一条直线 （D）双曲线一支和一条射线3.已知顶点，在满足下列条件的平面内动点的轨迹中，为双曲线是（ ）.（A） （B）1 / 11（C） （D）4.在双曲线方程中，已知，则其方程是（ ）.（A） （B）(C) （D）或【典型例题】例1 在中，已知,当动点满足条件时，求动点的轨迹方程.变式训练1：在中，已知，且三内角、满足

3、，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.例2 当时，方程表示的曲线怎样变化？变式训练2：，是方程表示双曲线的 条件. 1.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）.（A）（B）（C） （D）2.在方程中，若，则方程的曲线是（ ）.（A）焦点在轴上的椭圆 （B）焦点在轴上的双曲线（C）焦点在轴上的椭圆 （D）焦点在轴上的双曲线3.双曲线上的点到点的距离是，则到的距离是（ ）.（A） （B） （C） （D）4.双曲线的一个焦点是，则的值是（ ）.（A） （B） （C） （D）5.设椭圆离心率为，焦点在轴上且长轴长为.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离差的绝对值等于，则曲线的标准方程为（ ）.（A）

4、（B） （C） （D）6.已知双曲线的方程为，点、在双曲线的右支上，线段经过右焦点,为另一焦点，则周长为（ ）.(A) （B） （C） （D）7.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 .8.已知是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么为 .9.双曲线的焦距是，求.10.已知顶点和定圆，动圆和圆相外切，并且过点，求动圆圆心的轨迹方程. 1.如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程式标准的，否则是不标准的.求双曲线的标准方程就是求、，并且判断焦点所在的坐标轴. 、之间的关系是.2.当满足时，点的轨迹是双曲线一支；当时，点的轨迹是双曲线的另一支；当时，点的轨

5、迹是两条射线.不肯大于.3.已知求可以利用.已知时，往往利用勾股定理，并且对进行平方.选修2-1 2.3.1 双曲线及其标准方程（教案）【教学目标】1理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的概念；2掌握双曲线的方程及其标准方程的推导；【重点】双曲线的定义及其标准方程；【难点】标准方程的推导及其应用； 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第52 页第 55页）1我们把 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.两个顶点 叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离 叫做双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用 表示，焦距常用 表示.2.在双曲线定义中，要求常数,为什么要加这一条件？若

6、,动点的轨迹是 两条射线 ；若，动点的轨迹是 不存在 .3.若双曲线的焦点在轴上，标准方程为 ；若焦点在轴上，标准方程为 .4.双曲线标准方程中，之间的关系为 .5.阅读例、例，完成课后（第页）练习.【基础练习】1已知,动点满足,则的轨迹是（ B ）.（A）双曲线 （B）双曲线一支 （C）直线 （D）一条射线2.已知，当和时，点轨迹为（ D ）.（A）双曲线和一条直线 （B）双曲线和两条射线（C）双曲线一支和一条直线 （D）双曲线一支和一条射线3.已知顶点，在满足下列条件的平面内动点的轨迹中，为双曲线是（ A ）.（A） （B）（C） （D）4.在双曲线方程中，已知，则其方程是（ D ）.（A

7、） （B）(C) （D）或【典型例题】例1 在中，已知,当动点满足条件时，求动点的轨迹方程.【审题要津】由题设条件可建立的几何灯饰，进而求出的轨迹方程.解：以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，由正弦定理得,.由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线的右支，所以顶点的轨迹方程是 .【方法总结】寻找动点的约束关系很关键.解答本题应注意：（1）将角的关系换为距离关系,联想双曲线的定义使问题简化；（2）不可忽视三角形的条件，由点、不共线，除去点.变式训练1：在中，已知，且三内角、满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.【审题要津】由题设条件可建立的几何灯饰，进而求出的轨迹方程.解：以

8、边所在的直线为，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则.由正弦定理得. 即，从而 .由双曲线的定已知，点的轨迹为双曲线的右支，.所以顶点的轨迹方程为.【方法总结】寻找动点的约束关系很关键.解答本题应注意：（1）将角的关系换为距离关系,联想双曲线的定义使问题简化；（2）不可忽视三角形的条件，由点、不共线，除去点.例2 当时，方程表示的曲线怎样变化？【审题要津】此题应对的取值范围进行讨论.解：方程表示的轨迹是与参数相关的，因此要确定轨迹需对参数进行讨论.（1）当时，方程为，它表示两条平行直线.（2）当时，它表示焦点在轴上的椭圆.（3）当时，它表示圆心在原点的圆.（4）当时，它表示焦点在轴上的椭圆.（

9、5）当时，方程为，它表示两条平行直线.（6）当时，它表示焦点在轴上的双曲线.(7)当时，方程为，它不表示任何曲线.【方法总结】分类讨论是解决数学问题的一个主要方法，解题时要善用之.变式训练2：，是方程表示双曲线的 充分 条件. 1.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（A ）.（A）（B）（C） （D）2.在方程中，若，则方程的曲线是（ D ）.（A）焦点在轴上的椭圆 （B）焦点在轴上的双曲线（C）焦点在轴上的椭圆 （D）焦点在轴上的双曲线3.双曲线上的点到点的距离是，则到的距离是（ D ）.（A） （B） （C） （D）4.双曲线的一个焦点是，则的值是（ B ）.（A） （B） （C） （D）

10、5.设椭圆离心率为，焦点在轴上且长轴长为.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离差的绝对值等于，则曲线的标准方程为（ A ）.（A） （B） （C） （D）6.已知双曲线的方程为，点、在双曲线的右支上，线段经过右焦点,为另一焦点，则周长为（ B ）.(A) （B） （C） （D）7.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 .8.已知是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么为 .9.双曲线的焦距是，求.【审题要津】 关键点就是确定焦点在那个坐标轴上.解：当时，焦距为，.当时，同理可得.【方法总结】当等式中含有参数，主要分类讨论.10.已知顶点和定圆，动圆和圆相外切，并且过点，求动圆

11、圆心的轨迹方程.【审题要津】利用双曲线的定义.解：设动圆半径为，圆心为，定圆的圆心为，半径为.由平面几何知识有 ，动点的估计为双曲线右支.，圆心的轨迹方程为 .【方法总结】注意双曲线的定义，这只是右支.1.如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程式标准的，否则是不标准的.求双曲线的标准方程就是求、，并且判断焦点所在的坐标轴. 、之间的关系是.2.当满足时，点的轨迹是双曲线一支；当时，点的轨迹是双曲线的另一支；当时，点的轨迹是两条射线.不肯大于.3.已知求可以利用.已知时，往往利用勾股定理，并且对进行平方. -温馨提示：如不慎侵犯了您的权益，可联系文库删除处理，感谢您的关注！