2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷2）理数(1)(教育精品)

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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷2）理数一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知z=（m+3）+（m1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A（3，1）B（1，3）C（1，+）D（，3）2（5分）已知集合A=1，2，3，B=x|（x+1）（x2）0，xZ，则AB=（）A1B1，2C0，1，2，3D1，0，1，2，33（5分）已知向量=（1，m），=（3，2），且（+），则m=（）A8B6C6D84（5分）圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD25

2、（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A24B18C12D96（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D327（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）Ax=（kZ）Bx=+（kZ）Cx=（kZ）Dx=+（kZ）8（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A7B12C17D349（5分）

3、若cos（）=，则sin2=（）ABCD10（5分）从区间0，1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）ABCD11（5分）已知F1，F2是双曲线E：=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=，则E的离心率为（）ABCD212（5分）已知函数f（x）（xR）满足f（x）=2f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则（xi+yi）=（）A0BmC2mD4m二、填空题：本题

4、共4小题，每小题5分13（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=14（5分），是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么如果m，n，那么mn如果，m，那么m如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题是（填序号）15（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是16（5分）若直线y=kx+b是曲线y=

5、lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=lgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0，lg99=1（）求b1，b11，b101；（）求数列bn的前1000项和18（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300

6、.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值19（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将DEF沿EF折到DEF的位置，OD=（）证明：DH平面ABCD；（）求二面角BDAC的正弦值20（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA（）当t=4，|AM|=|AN|时，

7、求AMN的面积；（）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围21（12分）（）讨论函数f（x）=ex的单调性，并证明当x0时，（x2）ex+x+20；（）证明：当a0，1）时，函数g（x）=（x0）有最小值设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域请考生在第2224题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DFCE，垂足为F（）证明：B，C，G，F四点共圆；（）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积选修4-4：坐标系与参数方程23在直角

8、坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x|+|x+|，M为不等式f（x）2的解集（）求M；（）证明：当a，bM时，|a+b|1+ab|2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷2）理数参考答案与试题解析一、选择题1A【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可【解答】解：z=（m+3）+（m1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得3m1故选：A2C【分析】先求出集

9、合A，B，由此利用并集的定义能求出AB的值【解答】解：集合A=1，2，3，B=x|（x+1）（x2）0，xZ=0，1，AB=0，1，2，3故选：C3D 【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案【解答】解：向量=（1，m），=（3，2），+=（4，m2），又（+），122（m2）=0，解得：m=8，故选：D4A【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案【解答】解：圆x2+y22x8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y1=0的距离d=1，解得：a=，故选：A5B【分析】从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同

10、，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42=6种走法同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18种走法故选：B6C【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是

11、2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长是=4，圆锥的侧面积是24=8，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是22+224=20空间组合体的表面积是28，故选：C7B【分析】利用函数y=Asin（x+）（A0，0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=

12、2sin（2x+），由2x+=k+（kZ）得：x=+（kZ），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（kZ），故选：B8C【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C9D【分析】利用诱导公式化sin2=cos（2），再利用二倍角的余弦可得答案【解答】解：cos（）=，sin2=cos（2）=cos2（）=

13、2cos2（）1=21=，故选：D10C【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率的近似值【解答】解：由题意，=故选：C11A【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sinMF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，MF1与x轴垂直，（2a+x）2=x2+4c2，x=sinMF2F1=，3x=2a+x，x=a，=a，a=b，c=a，e=故选：A12B【分析】由条件可得f（x）+f（x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1

14、，y1）为交点，即有（x1，2y1）也为交点，计算即可得到所求和【解答】解：函数f（x）（xR）满足f（x）=2f（x），即为f（x）+f（x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（x1，2y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（x2，2y2）也为交点，则有（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+（xm+ym）=（x1+y1）+（x1+2y1）+（x2+y2）+（x2+2y2）+（xm+ym）+（xm+2ym）=m故选B二、填空题13【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角

15、和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA=，sinC=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，由正弦定理可得b=故答案为：14【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案【解答】解：如果mn，m，n，那么，故错误；如果n，则存在直线l，使nl，由m，可得ml，那么mn故正确；如果，m，那么m与无公共点，则m故正确如果mn，那么m，n与所成的角和m，n与所成的角均相等故正确；故答案为：151和3【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1

16、和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；甲的卡片上的数字是1和3故答案为：1和3161ln2【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+

17、b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1ln2三、解答题17【分析】（）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（）找出数列的规律，然后求数列bn的前1000项和【解答】解：（）Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28可得a4=4，则公差d=1an=n，bn=lgn，则b1=lg1=0，b11=lg11=1，b101=lg101=2（）由（）可知：b1

18、=b2=b3=b9=0，b10=b11=b12=b99=1b100=b101=b102=b103=b999=2，b10，00=3数列bn的前1000项和为：90+901+9002+3=189318【分析】（）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率（）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基

19、本保费高出60%的概率（）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解答】解：（）某保险的基本保费为a（单位：元），上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：p1=10.300.15=0.55（）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率：p2=P（B|A）=（）由题意

20、，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：=1.23，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.2319【分析】（）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EFAC，再由ABCD是菱形，得ACBD，进一步得到EFBD，由EFDH，可得EFDH，然后求解直角三角形得DHOH，再由线面垂直的判定得DH平面ABCD；（）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD与平面ADC的一个法向量，设二面角二面角BDAC的平面角为，求出|cos|则二面角BDAC的正弦值可求【解答】（）证明：ABCD是菱形，AD=DC，又AE=CF=，则

21、EFAC，又由ABCD是菱形，得ACBD，则EFBD，EFDH，则EFDH，AC=6，AO=3，又AB=5，AOOB，OB=4，OH=，则DH=DH=3，|OD|2=|OH|2+|DH|2，则DHOH，又OHEF=H，DH平面ABCD；（）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，AB=5，AC=6，B（5，0，0），C（1，3，0），D（0，0，3），A（1，3，0），设平面ABD的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=4，z=5同理可求得平面ADC的一个法向量，设二面角二面角BDAC的平面角为，则|cos|=二面角BDAC的正弦值为sin=20 【分析】（）求出t=4时，椭圆方程和顶

22、点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得AMN的面积；（）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t3，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（）t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k212=0，解得x=2或x=，则|AM|=|2|=，由ANAM，可得|AN|=，由|AM|=|AN|

23、，k0，可得=，整理可得（k1）（4k2k+4）=0，由4k2k+4=0无实根，可得k=1，即有AMN的面积为|AM|2=（）2=；（）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k23t=0，解得x=或x=，即有|AM|=|=，|AN|=，由2|AM|=|AN|，可得2=，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t3，即有3，即有0，可得k2，即k的取值范围是（，2）21【分析】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可【解答】解：（1）证明：f（x）=f（x）=ex（）=当x（，2

24、）（2，+）时，f（x）0f（x）在（，2）和（2，+）上单调递增x0时，f（0）=1即（x2）ex+x+20（2）g（x）=a0，1由（1）知，当x0时，f（x）=的值域为（1，+），只有一解使得，t0，2当x（0，t）时，g（x）0，g（x）单调减；当x（t，+），g（x）0，g（x）单调增；h（a）=记k（t）=，在t（0，2时，k（t）=0，故k（t）单调递增，所以h（a）=k（t）（，22 【分析】（）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知BCD=90，因此问题可转化为证明GFB=90；（）在RtDFC中，GF=CD=GC，因此可得GFBGCB，则S四

25、边形BCGF=2SBCG，据此解答【解答】（）证明：DFCE，RtDFCRtEDC，=，DE=DG，CD=BC，=，又GDF=DEF=BCF，GDFBCF，CFB=DFG，GFB=GFC+CFB=GFC+DFG=DFC=90，GFB+GCB=180，B，C，G，F四点共圆（）E为AD中点，AB=1，DG=CG=DE=，在RtDFC中，GF=CD=GC，连接GB，RtBCGRtBFG，S四边形BCGF=2SBCG=21=23 【分析】（）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用2=x2+y2，x=cos，y=sin，能求出圆C的极坐标方程（）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线

26、距离，由此能求出直线l的斜率【解答】解：（）圆C的方程为（x+6）2+y2=25，x2+y2+12x+11=0，2=x2+y2，x=cos，y=sin，C的极坐标方程为2+12cos+11=0（）直线l的参数方程是（t为参数），直线l的一般方程y=tanx，l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（6，0），半径r=5，圆心C（6，0）到直线距离d=，解得tan2=，tan=l的斜率k=24【分析】（I）分当x时，当x时，当x时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（）当a，bM时，（a21）（b21）0，即a2b2+1a2+b2，配方后，可证得结论【解答】解：（I）当x时，不等式f（x）2可化为：xx2，解得：x1，1x，当x时，不等式f（x）2可化为：x+x+=12，此时不等式恒成立，x，当x时，不等式f（x）2可化为：+x+x+2，解得：x1，x1，综上可得：M=（1，1）；证明：（）当a，bM时，（a21）（b21）0，即a2b2+1a2+b2，即a2b2+1+2aba2+b2+2ab，即（ab+1）2（a+b）2，即|a+b|1+ab|