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1、一致连续与一致收敛的关系由于函数项级数的收敛等价于函数序列的收敛，为简单起见，下面只对函数序列作讨论。定理 如果函数序列Fn(x)，n = 1,2,3, 中的每一个函数都在区间I上一致连续， 当n 8时，Fn(x)区间I上一致收敛于函数F(x)，那么F(x)也在区间I上 一致连续。证任意给定一个8 0。因为F (x)区间I上一致收敛于函数F(x)，所以对于给定的:0，必有一n3个与 x 无关的正整数 N ，使得当n N 时，对任何气,x 2 e I，有 |F (x ) - F (x )| ：，| F (x ) - F (x ) 0， N3必有一个与x无关的正数8 0，使得对任何x , x e
2、I，只要有|x x |5 ，就 121 121一定有 |fn(气)-Fn(x2)| 0，可以找到与x无关的正整数N和正数8 0，使得 对任何x , x e I，只要有|x 一 x |S ，就一定有121 121F(x )-F(x )1 = |F(x )-F (x ) + F (x )-F (x ) + F (x )-F(x )1121 N 1N 1 N 2N 22 1J 1(气)-F (x1) | + | Fn (气)-Fn( x2)| + Fn (x2) - F (x2)| | + | + | = 8 c 由此可见，F(x)在区间I上一致连续。如果将上述定理的条件减弱一点，结论就不一定成立了
3、。(一)如果函数序列F (x)，n = 1,2,3, 中的每一个函数都在区间I上连续(但不是一致连续)，当n 8时，Fn(x)区间I上一致收敛于函数F(x)，这时F(x)不 一定在区间 I 上一致连续。一 一、11例 取F (x) = + , n = 1,2,3,，其中每一个函数都在区间(0, + 8)上连续(但11不是一致连续)，当n 8时，Fn(x) = x + n显然在区间(0, + 8)上一致收敛于11F(x)=。但是，F(x)= 在区间(0, + 8)上并不一致连续。xx(二)如果函数序列F.(x) , n = 1,2,3, 中的每一个函数都在区间I上一致连续，当n 8时，F.(x)
4、区间I上收敛(但不是一致收敛)于函数F(x)，这时F(x)不 一定在区间I上一致连续。例 取F (x)二 心 ，n = 1,2,3,，其中每一个函数都在(-8, + 8)上一致连续， n 1 + nx当 n 8 时，F (x)=nx1 + nx收敛(但不是一致收敛)于F(x)= 0时F(x) = 0 当x = 0时在(-8 , + 8)上是不连续的，更不会是一致连续的了。-1当x 0时(三)如果函数序列Fn(x)，n = 1,2,3, 中的每一个函数都在区间I上一致连续， 当n 8时，Fn(x)区间I上收敛于函数F(x)，而且已知F(x)在区间I上一致连续，但是，这时并不能反过来推论说Fn(x) 一定是一致收敛于函数F(x)。例 取Fn(x) = xn，n = 1,2,3,，其中每一个函数都在区间(0,1)上一致连续，当 n 8时，Fn(x) = xn在区间(0,1)上收敛于F(x) = 0，而且F(x) = 0在区间 (0,1)上一致连续。但是，Fn(x) = xn在区间(0,1)上并不一致收敛于F(x) = 0。
一致连续与一致收敛的关系
