随机过程知识点

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1、设Q日12第一章：预备知识1.1概率空间随机试验，样本空间记为Q。正一个集合，f是Q的某些子集组成的集合族。如果。6 F;若 A 6 F ,则 A = Q A 6 F;假设A 6 F，n =】，2，那么顷A 6 F;nnn=1那么称F为。-代数(Borel域)。(Q , F)称为可测空间，F中的元素称为事件。由定义易知：(4) 0 6 F；(5) 若A, B 6 F，则A B 6 F；(6) 若A 6 F，i = 1，2，则Ua，何 A，啊 A 6 F.ii i ii=1i=1i=1定义1.2设(。，f)是可测空间，P()是定义在F上的实值函数。如果任意A 6 F,0 P(A) 1；(2) P

2、(Q)= 1；(3) 对两两互不相容事件A , A，当i。j时，A c A =0)有12i jua. = p(a )31 i=1*1那么称P是(Q, F J上的概率，。，F，P称为概率空间，P(A)为事件A的概率。设Q，F，P是概率空间，G u F，如果对任意A , A，,A 6 G，n = 1,2，12n代 A = Hp Ca)PI i=1那么称G为独立事件族。有：ii=1随机变量X,分布函数F(x)x ,t 6 T是独立的。t1.2随机变量及其分布，n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，设随机变量X的分布函数为F(x)，假设广I x I dF(x) 8，那么称E (X) = J8 xd

3、F (x)一8为X的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes积分。方差，Bxy = EKx - EX )Y - EY)为X、Y的协方差，而孙Bp xy 一 jdX：D为X、Y的相关系数。假设P= 0,那么称X、Y不相关。XYSchwarz不等式)假设EX 2 8, EY2 8,那么(EXY* EX 2EY2. 1.4特征函数、母函数和拉氏变换定义1. 10设随机变量的分布函数为Fx，称g (t) = E(ejtx) = J8 ejtxdF (x) , -8 t 8-8为X的特征函数随机变量的特征函数具有以下性质： g (0) = 1,|g (t )| 1)其中：七

4、，,t1 2 n 1 2 ng(0 ,。，,6 ) = E(expi乎 0 x(t )ti ,t1 2nk kk =1定义2.3 设 Xt =X(t),teT 的均值函数mX(t)def EX(t) , t w T。二阶矩过程，协方差函数：Dx(t) = Bx(t,t)defEX(t) - mX(t)h,t w T相关函数：R (s, t) = EX (s)X (t)定义2.4设X(tfteT , Y(t),teT是两个二阶矩过程，互协方差函数，互相关函数 2.3复随机过程设X ,t w T)，Y, t w T)是取实数值的两个随机过程，假设对任意t w T tt Z = X + iY，复随机

5、过程Xf,t w T的协方差函数B(s,t)具有性质1对称性：B(s, t) = B(t, s)；2非负定性其中if，那么称Zt, t w T)为复随机过程.2.4几种重要的随机过程一，正交增过程定义2.6设t w t是零均值的二阶矩过程，假设对任意的t t t t wT,有1234公式eIx(t )-X(t )x(t ) X(t ) = 0 , 那么称X(t)正交增量过程。2143B (s,t)= R (s,t)=q 2(min(s,t)二独立增过程X X X定义2.7设&Q t G 丁是随机过程，假设对任意的正整数n和t t - t GT，随 ()()()()()()1 21机变量 X(t

6、 )-X(t ), X(t )-X(t), ., X(t )-X(t )是互相独立的，那么称)X(t), t eTJ2132nn-1是独立增量过程，又称可加过程。定义2.8设)t g普是平稳独立增量过程，假设对任意s t,随机变量X(t) x(s) 的分布仅依赖于t - s，那么称t eT)是平稳独立增量过程。三、马尔可夫过程定义设* Qt G T为随机过程，假设对任意正整数n及 t t , 0，且其条件分布12n1/1n1n 1P = x I X* )= x ,，X( )= x /= P1X(t ) = x I X* )= x /，(2.6) n 11n 1n 1n nn 1n 1那么称t

7、G T $为马尔可夫过程。、正态过程和维纳曜定义2.10 设& Qt g T是随机过程，假设对任意正整数n和 t,12,-tG G T,(X(t1)X，,X匕)是n维正态随机变量，那么称x(t)t G T是正态 过程或高斯过程。”定义2.11设W(t),-8 t 0 ，那么称 W(t),-8 t s为维纳过程，也称布朗运动过程。定理2.3设W(t),-8 t 8是参数为b 2的维纳过程，那么(1) 任意七 (-8, 8) , W(t) Nb,b 2 I t I ；(2) 对任意-8 a s,t 0为具有参数人0的泊松过程，假设它满足以下条件(1) X(0)= 0;(2) X(t)是独立增量过程

8、；(3) 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数人t0的泊松分布，即对 任意s,t0,有(3.1)P X (s +1) X (s) = n = e 永,(n = 0,1,2,)n!注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且EX(t) = Xt。由于，X = EX 表 示单位时间内事件A发生的平均个数，故称X为此过程的速率或强度。称计数过程X(t),t 0为具有参数X 0的泊松过程，假设它满足以下条件(2)X(0)= 0;X(t)是独立、平稳增量过程；X(t)满足以下两式：(3.2)P X (t + h) - X (t) = 1 = X h + o(h),P X (t + h) -

9、X (t) 2 = o(h)定义3.2与定义3.3是等价的。3.2泊松过程的根本性质一、数字特征设X (t),t 0是泊松过程，m (t) = E(X (t) = Xtb 2(t) = D( X (t) = XtR (s, t) = E(X (s)X (t) = Xs(Xt +1)B (s, t) = R (s, t) 一 m (s)m (t) = Xs一般泊松过程的有Bx(s,t) = X min(s,t)。有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为g (u) = Eeiux(t) = expXt(em 1)二、时间间隔与等待时间的分布W为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等待时间，七是第

10、n个时间间隔， 它们都是随机变量。n设X(t),t 0是具有参数X的泊松分布，Tn 1)是对应的时间间隔序列，那么随 机变量T (n = 1,2,)是独立同分布的均值为1/X的”指数分布。n设Wn,n 1是与泊松过程X(t),t 0对应的一个等待时间序列，那么吃服从参 数为n与X的r分布，其概率密度为”0, t 0是泊松过程，在0,t内事件A发生n次，那么这n次到达时间 w W 0为具有跳跃强度函数人(t)的非齐次泊松过程，假设它满 足以下条件：(1) X (0) = 0 ； (2) X (t)是独立增量过程；P X (t + h) - X (t) = 1 = X (t )h + o(h)(3

11、)PX(t + h) - X(t) 2 = o(h)非齐次泊松过程的均值函数为：m (t) = jt X(s)ds定理3.5设X(t), t 0是具有均值函数mX (t) = jtX(s)ds的非齐次泊松过程，那么有0PX (t + s) X (t) = n = m (t+s)-m (t) exp四乂 (t + s) m (t),(n 0)P X (t) = n = 1( 0是强度为X的泊松过程，匕k = 1,2,.是一列独立同分布随机变量， 且与N(t), t 0独立，令x(t) = 、t 0,k=1那么称X (t), t 0为复合泊松过程。N伊设x(t) = 2 Ykt 0,是复合泊松过程

12、，那么k=11。X (t), t 0是独立增量过程；2X(t)的特征函数g(u) = expXtg (u) 1，其中g (u)是随机变量Y的特X (t)YY1征函数；X是事件的到达率。3假设E(Y2) 0, n 1)j为马尔可夫链x ,n e T的n步转移概率，定理1设X,n e T为马尔可夫链，那么对任意整数n 0,0 l 1，绝对概率p (n)具有以下性质：(1) p (n)乙 p p (n)(2) p_ (n) - R p_ (n -1)p.ieI(3) Pt ( n) Pt (0) P (n)(4)Pt (n) Pt (n -1)P定理3设X ,n e T为马尔可夫链，那么对任意i ,

13、 i ,i e I和n 1，有 n12 nP X = i, X = i,，X = i = p p p p 1122n ni ii i i i i1 1 2n-1 n 4.2马尔可关链的状态分类一、状态分类假设Xnn 0是齐次马尔可夫链，其状态空间I 0,1,2,.， 转移概率是p.,i, j e I,初始分布为p, i, j e I。定义4.6 如集合n: n 1, p； 0非空,那么称该集合的最大公约数 d d(i) G.C.Dn: pin) 0为状态i的周期。如d 1就称i为周期的，如d 1就称i为 非周期的。假设对每一个不可被d整除的n，有p(n) =0，且d是具有此性质的最大正整数，i

14、i那么称d为状态i的周期。ii引理4.1如i的周期为d，那么存在正整数M，对一切n M，有p(nd) 0。定义对i, j e S,记j = 0, j = PX1 j I X0 i4.15j = PX = j,Xk 丰 j,k = 1,2,.,n- 1I X0 = i,n 2f =，f j )n&T称f jn)是系统在0时从i出发经过n步转移后首次到达状态j的概率，而fj-)那么是在0时 从i出发，系统在有限步转移内不可能到达状态j的概率。我们将f( n)和f. .统称为首达概率 ij ij又称首中概率引理(2)0 f() f首达概率可以用一f(n)= ijVi, j, n多概率来表示： 乙p

15、p p i1i2in-1j 1勺4勺A定乂 4.7假设f=1，那么称状态i为常返的；假设f 1，那么称状态i为非常返的。 定义4.8如 日i 8，那么称常返态i为正常返的：如日i =8，那么称常返态i为零常返 的，非周期的正常返态称为遍历状态。从状态是否常返，如常返的话是否正常返，如正常返的话是否非周期等三层次上将状态 区分为以下的类型：非常返态侦 1)ii零常返态(口 =8)ii正常返态(口 1)常返态f =1)f ()与p(n)有如下关系： ij ij定理4.4对任意状态i, j，及1 n 1, p() 0 = G.C.Dn : n 1, f () 0.二、常返态的性质及其性质定理45状态

16、i常返的充要条件为工p =8iin=0iiii4.184.16如i非常返，那么芝p = n=0 ii 1 - fi 定理4.7设i常返且有周期d,那么.一、d lim p (nd)=iin8其中日i为i的平均返回时间。推论 设i常返，那么Pi_ j d=8 时，0.日i4.26(1) i 零常返=limp(n) = 0 :2iin8定理4.8可达关系与互通关系都具有传递性，即如果i j，j 上，那么i k :i 遍历lim p(n)iin81=日i0。i 非周期(d=1)遍历态如果i f k, j k，那么i 0 k。定理4.9 如i 0 j,那么（1）i与j同为常返或非常返，假设为常返，那么

17、它们同为正常返或零常返；（2）i与j有一样的周期。4.3状态空间的分解状态空间I的子集C称为随机）闭集，如对任意i e C及kw C都有Pk= 0。 闭集C称为不可约的，如C的状态互通。马氏链X 称为不可约的，如其状态 空间不可约。C是闭集的充要条件为对任意i e C及kw C都有P（）=0，nN1。称状态i为吸收的，如p =1。显然状态i吸收等价于单点集i为闭集。ii定理4.10任一马氏链的状态空间I，可唯一地分解成有限个或可列个互不 相交的子集D, C, ,.之和，使得 每一C是常返态组成的不可约闭集。 C中的状态同类，或全是正常返，或全是零常返。它们有一样的周期且nfk = 1, i,

18、k e 匕。 D由全体非常返状态组成。自C中的状态不能到达D中的状态。称矩阵.为随机矩阵，如其元素非负且每i有 r =1。j显然k步转移矩阵P（k）= p（k）为随机矩阵。ij设C为闭集，又G= pk），i,jC,是C上所得的即与C相应的k 步转移子矩阵，那么G仍是随机矩阵。定理 周期为d的不可约马氏链，其状态空间C可唯一地分解为d个互不 相交地子集之和，即）C =。G ,G 气=0,r 丰 s,=0且使得自G中任一状态出发，经一步转移必进入G 中其中G= ）。设X ,nZ 0是周期为d的不可约马氏链，那么在定理的结论下有（1）如员在时刻0, d ,2 d,.上考虑X ，即得一新马氏链，其转移

19、阵P（d）= （p（d），对此新链，每一G是不可约闭集，且G中的状态是非周期的。ndp （n）的渐近性质与平稳分布 j（2）如原马氏链Xn常返，X 也常返。r一、p（n）的渐近性质4.33)ij如j非常返或零常返，那么limp（n） =0， Vi e I11msJijns推论1有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，也不可能含有零常返状态，从而不可约的有限马氏链必为正常返的。推论2如马氏链有一个零常返状态，那么必有无限多个零常返状态。定理4如j正常返，周期为d，那么对任意i及0 r d -1有limp（nd+r） = f （r）nrs ijij 目j推论 设不可约、正常返、周期d的马氏链，其状

20、态空间为C，那么对一切i, j e C ,有,如，与洞属于子集GRsj0,否则，其中C = tr1 G为定理4.11中所给出。特别，如d=1,那么对一切i, j有lim p（n） ijn s4.38)(4.39)0, j是非常返或零常返f,若J是正常返Rl j常返，那么对任意i, j,有P（k） = R . = 8 时，理解上=0定义 称概率分布兀，j e I为马尔可夫链的平稳分布，假设它满足七=sieIy 1 ylim y、nns,k=1p( k)= o.i j jeI值得注意的是，对平稳分布丸，j e I，有 j(4.42)丸 =y丸p（n）ieI不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是

21、存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布上,j e I。uj推论1有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。推论2假设不可约马尔可夫链的所有状态是非常返或零常返的，那么不 存在平稳分布.推论3假设丸,j e I是马尔可夫链的平稳分布，那么p （n）=丸j u j第五章逢续时间的马尔可夫链设随机过程X(t),tN0,状态空间I = 小n 0，假设对于任意0 七 0)。以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔柯夫链都具有齐次转移概率。为方便起 见，简称为齐次马尔可夫过程。定理5.1.1齐次马尔可夫过程的转移概率具有以下性质：(1)pj (t) 0；(2)E pj (t) = 1;EjGl_ 沃

22、(t) pkj ()kwI其中3)式为马尔可夫过程的Chapman-Kolmogorov简称C-K)方程。1,2) 由概率定义及p_ (t)的定义易知，下面只证明3。定义5对于任一 tN0,记pj(t) = PX(t) = j, pj = pj(0) = PX(0) = j, j g I 分别称p.(t), j gI和p , j g I为齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概 率分布。77，性质齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有以下性质： (1)p. (t) 0；(2)E p. (t) = 1；p (t) = Epp (t);7 (4)p (t +t) = Ep (t)p (t);

23、j i ij j i ijiwIiwI(5)PX(t) = i,X(t ) = i，,X(t ) = i E1122n np p (t ) p (t 一t)p (t -1 )i ii 1 i i 2 1 i i nn-111 2n-1 n飞柯尔莫哥洛夫微分方程设齐次马尔可夫过程满足正那么性条件，那么对于任意固定的i, j g I,p (t)是t 的一致连续函数。7lim1- -(Z)= y = q 510Ati iilim p )=q 5 i 主 jA10 At ij我们称q为齐次马尔可夫过程从状态i到状态j的转移速率或跳跃强度。设p. (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率，那么以下极限存在(2

24、)(1)5.2.1)推论对有限齐次马尔可夫过程，有q =乙 q 0,有p (t) = E q p (t) - q p (t) ijik kjii ijk丰i定理5.2.3 柯尔莫哥洛夫向前方程在适当的正那么条件下 p (t) = Ep (t)q p (t)q(5.2.6)ijik kj ij jjk oj定理5.2.4齐次马尔可夫链过程在t时刻处于状态jE I的绝对概率p. (t)满足如下方程:p (t)=-p (t)q +Z p (t)qjjjj S kkj定理5设马尔可夫过程是不可约的，那么有以下性质：(1)假设它是正常返的，那么极限limPj (t)存在且等于丸 0, j e I，这里丸

25、.是方程组j元q 二丸q0的状态空间为1=0,1,2,.，转移概率为 p. (t)，如果 p (h)二人 h + o(h) (X 0)w iiP(h)二日 h + 0(h) (R 0, R = 0)J i ,i-1ii0p (h)= 1 -(X +r )h + o(h) iii ip (h)= o(h) (I i - j l 2)那么称X(t),t 0为生灭过程。其中，X.称为出生率，R称为死亡率。(1) 假设X.二认,R = iR (X , R为正常数)，那么称X(t), t 0为线性生灭过程；(2) 假设R三0，那么称 X (t), t 0为纯生过程；i假设气三0，那么嘴X (六)章0平稳

26、过程机过程平稳过程的概念与例子一、平稳过程的定义定义6.2联合平稳过程及相关函数的性质一、联合平稳过程定义 设X(t),t e T和Y(t),t e T是两个平稳过程，假设它们的互相关函数EX (t)Y(t -T)及EY(t)X (t-T)仅与t有关，而与t无关，那么称X(t)和Y(t)是联合 平稳随机过程。定理 设X(t),t e T为平稳过程，那么其相关函数具以下性质：(1) RX(0) 0;(2) 确=RX (-t)；(3) Rx (t )| 0X i j i jj=l(5) 假设X(t)是周期为T的周期函数，即X (t) = X (t + T),那么Rx (T) = Rx (t+ t)

27、；(6) 假设X (t)是不含周期分量的非周期过程，当TI 8时，X (t)与X (t +t )相互独 立，那么lim R (t ) = m m |R (t )|2 Rx (0)R0),|Rxt )|2 0，假设有limPl X (e) - X(e) l e = 0，nn ts那么称二阶矩随机序列Xn (e)依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，记作-r X。n4、均方收敛设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量X，假设有limEl X - X |2 = 0 n tsn成立，那么称Xn均方收敛，记作Xn T X。注：(6.3)式一般记为 LLm X = X 或 I.imX = X。.X rs5、依

28、分布收敛设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量 X，假设Xn相应的分布函数列F (X)，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有n(6.3)-mrrSlim F (x) = F (x)ns n那么称二阶矩随机序列 Xn依分布收敛于二阶矩随机变量X,记作Xn or X对于以上四种收敛定义进展比拟，有以下关系：(1) 假设 Xn r X，那么 Xn r XOre(2) 彳假设 X n g X，那么 Xn r X(3) 假设 Xn r X，那么 Xn r X定理2二阶矩随机序列X收敛于二阶矩随机变量X的充要条件为limEI X - X I2 = 0nrsn m定理3设Xn,r,Zn都是二阶矩随机序

29、列，u为二阶矩随机变量，c为常数序列，1， n1.1. mc = lim c = c ；nrs1.1. mU = U ；1.1. m(c U) = cU ；1.1. m(aX + bY ) = aX + bY ；lim EX = E X = El.i.mX ； nrsnnlim EX F = EXY = E(l.i.mX )(l.i.mYm)； n, mrsn mna，b， c 为常数。令l.i.mX = X，l.i.mY = Y，l.i.mZ = Z，l.i.mc = c。那么35特别有limEI X |2 = EI X |2 = EI l.i.mX I2。nsn定理4设X为二阶矩随机序列，

30、那么X均方收敛的充要条件为以下极限存在 lim E X。n,m rsn m二、均方连续定义设有二阶矩过程 X (t), t e T，假设对t0 e T，有limEI X(t + h) - X(t )I2 = 0，hr000那么称X(t)在t0点均方连续，记作li mX(t0 + h) = X(t0)。假设对T中一切点都均方连续，那么称X (t)在T上均方连续。hr0定理均方连续准那么)二阶矩过程X(t),t e T在t点均方连续的充要条件为相关函数Rx (t1, t在点(t, t)处连续。推论之假设相关函数Rx(t1,12)在(t,t),t e T上连续，那么它在TXT上连续三、均方导数定义7

31、 设X(t),t e T是二阶矩过程，假设存在一个随机过程Xt)，满足 lim EI *(t + h) - X() x，(t)|2 =0 hT0h则称乂在t点均方可微，记作X，(t )=、= l.i mX (t + h) - X( t dthr。并称乂 (t )为乂 (t )在1点的均方导数。类似的有X()或籍 R (t + h , t + h ) - R (t + h , t ) R (t, t + h ) - R (t, t )lim X_11_22X_11_ X_1_22X_1_2h 项hhhh。2 项121 2为RX(t,12)在(tt2)的广义二阶导数，记为合 2 R (t , t

32、)dt dt定理6均方可微准那么二阶矩过程X(t),t e T在t点均方可微的充要条件为相关函数Rx (t12)在点(t, t)的广义二阶导数存在。推论1二阶矩过程X(t),t e T在T上均方可微的充要条件为相关函数R*12)在(t,t),t e T上每一点广义二阶可微。 1 2推论2假设R (t ,t )在(t,t),t e T上每一点广义二阶可微，那么dmX(t)在T上以d RRdtX 1 2dt,、d、d 、(t, t ) R (t, t ), R (t, t )X 1 2 dt X 1 2 dt dt X 1 2在T x T上存在，且有(4)y=dEXt)=EX (t )；dt dt

33、哩#2)=gEX(t)E = EX(t)Xy?;dt1dt11212RX t1, t2) = ： E X (t) E = E X (t) XTT?；dtdt1212d2R (t, t-)d2R (t, 口 = E X f(t)XX_1- dt dt 1 2X1- dt dt四、均方积分S |2 = 0，那么称 f (t) X (t)定义8如果A 0时 n 在a,b上均方可积，并记为S = Jb f (t)X (t)dt = li m 2f (t)X (tf)(t t aAn i=1 称此为f (t) X (t)在区间a, b上的均方积分。定理7 均方可积准那么f (t)X(t)在区间a,b上均

34、方可积的充要条件为Jb Jbf (t)fP)R (t, t )dtdt a a 12 X 1212存在。特别的，二阶矩过程X(t)在a,b上均方可积的充要条件为RX (t, t在a,b x a,b 上可积。x 1 2定理8S均方收敛于S，即lim E I Sn n,1)特别有设f (t)X(t)在区间a,b上均方可积，那么有E jb f (t) X (t )dt = jb f (t) E X (t )dta a一E J bX (t )dt = J bE X (t )dt(2) E f bf (t) X (t)dt j b f (t)X (t )dt = jb j bf (t) f(F)R (t

35、, t )dtdt 11122212 X 1 212aaa a特别的有E IJ bX (t)dt |2 =Jb Jb R (t, t )dt dt 。X 1 212aa a定理9设二阶矩过程(X(t), t e T在a,b上均方连续，那么Y(t) = jtX(t)dT,(a t b)a在均方意义下存在，且随机过程X(t),t e T在a,b上均方可微，且有Y(t) = X(t)。 推论 设X (t)均方可微，且X (t)均方连续，那么X (t) - X (a) = j tX (t )dt a特别有X (t) - X (a) = jtX (t)dt a4平稳过程的各态历经性定义9设 X (t )

36、,-8t V8为均方连续的平稳过程，那么分别称=l.i.m jT X (t)dt, = l.i.m jT X(t)X(t-t)dt t* 2T -tt* 2T -t为该过程的时间均值和时间相关函数。定义10设X(t),-8t V8是均方连续的平稳过程，假设 Pr.1 E(X(t)， 即l.i. m 2t Jt x (t)dt = m以概率1成立，那么称该平稳过程的均值具有各态历经性。假设 Pr.1E(X (t)X (t -t )，即l.i. m jT X(t)X(t-T)dt = R (t)t * 2T -tx以概率1成立，那么称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定义11如果均方连续的平稳过

37、程X(t),t e T的均值和相关函数都具有各态历经性， 那么称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。定理10 设X(t),-8VtV8是均方连续的平稳过程，那么它的均值具有各态历经1 j 2TlimTw 2T -2T性的充要条件为(6.9)R (T ) - m |2dT = 0X ， X，设X (t),-8 t V 8为均方连续的平稳过程，那么其相关函数具有各态历经性的充要条件为其中limT T812Tj2T -2T，T 1-2T /B(t ) - R (T )21 XdT1=0(6.15)B(t ) = E X (t)X (t -t )X (t -t )X (t -T -T ) 11对于均方

38、连续平稳过程X (t),0 t 8，l.i. m L jT X (t )dT = m1 等式t * T 0X以概率1成立的充要条件为lim1 j 丁 1 上B (T) d = 0f 2T 一t T ) x假设X (t)为实平稳过程，那么上式变为lim-j丁(1 -LB (t)dT = 0T* T 0 I T) x对于均方连续平稳过程X(t),0 t vs，等式l.i. m 1 j TX (t)X (t -t )dt = R (t )t * T 0x以概率1成立的充要条件为liml j 丁 -瑚B(t )- |R (t)|2dT = 0tfT -t T JL 1，1其中B (t 1)与6.16式

39、一样。假设X(t)为实平稳过程，那么上式变为lim 1 j 1-分 I1 0 k 1第七章7.1设x(t)是均方连续随机过程，B(T ) - |R (T )|2 dT = 01 X平稳过程的谱分析平稳过程的谱密度作截尾随机过程X (t),111 T因为xt(t)均方可积，故存在傅式变换sT(7.4)F (,T) = jXt (t)e&tdt = j 已(t)e-dt利用帕塞伐公式及傅式反变换，可得js X2(t)dt = jTtx2(t)dt = 2f 1.0,T)|2d 设 k(t),-svtvs为均方连续随机过程，称w 2 = limE j T x 2(t)dt2T -TT s L为x(t

40、)的平均功率，称s ()=limT s由于E X 2(t )是与t无关的常数，利用均方积分为X (t)的功率谱密度，简称谱密度。当X (t)是平稳均方连续函数时，的性质可以将7.5式简化得w 2 = limE jT x 2(t)dt 2T -TT s L=lim1 jT eX2(t)dt = EX2(t) = R(0) (7.8)T s由7.8式和7.5式看出，平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，或等于它的谱密 度在频域上的积分，即(7.9)设Xn，n = 0,1,2,是平稳随机序列，假设相关函数满足工队()|8 那么n 二一8 称s ()=工 R (n)e-in&, (- -)n二一8为X ,n = 0,1,2,.的谱密度。设x (t ),-8t s为均方连续平稳过程，Rx(y)为它的相关函数，sx么)为它的 频率谱密度，sx4)具有以下性质：(1)假设JRXG)dT n，分母无实根。定义1设(X (t), -8 t 8为实值平稳过程，假设它的均值为零，且谱 密度在所有频率范围内为非零的常数，即$x(3)= N0 (-8 3 8)那么称X (t)为 白噪声过程。X 0具有以下性质的函数称为6函数：(1) 6 (x) =0, x洵，(2) J 8 6 (x )dx = 18, x=0；-86函数有一个非常重要的运算性质，即抽样性质。对任何连续函数f (x)，有