非线性本构关系

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1、第二章材料本构关系2.1本构关系的概念本构关系：应力与应变关系或内力与变形关系结构的力学分析，必须满足三类基本方程：（1）力学平衡方程:结构的整体或局部、静力荷载或动力荷载作用下的分析、精确 分析或近似分析都必须满足；（2）变形协调方程:根据结构的变形特点、边界条件和计算精度等，可精确地或近 似地满足；（3）本构关系:是连接平衡方程和变形协调方程的纽带，具体表达形式有：材料的 应力-应变关系，截面的弯矩-曲率关系，轴力-变形（伸长、缩短）关系，扭矩-转角关 系，等等。所有结构（不同材队 不同结构形式和体系）的力学平衡方程和变形协调方程原则 上相同、数学形式相近，但本构关系差别很大。有弹性、弹塑

2、性、与时间相关的粘弹性、粘塑性，与温度相关的热弹性、热塑性，考虑材料损伤的本构关系，考虑环境对材料耐 久性影响的本构关系，等等。正确、合理的本构关系是可靠的分析结果的必要条件。混凝土结构非线性分析的复杂性在于:钢筋混凝土-复杂的本构关系:有限元法-结构非线性分析的工具:非线性全过程分析-解决目前结构分析与结构设计理论矛盾的途径:2.2 一般材料本构关系分类1.线弹性在加载、卸载中，应力与应变呈线性关系：。 = D俗(图2-1a)适用于混凝土开裂前的应力-应变关系。2. 非线性弹性在加载、卸载中，应力与应变呈非线性弹性关系。即应力与应变有一一对应关系，卸载 沿加载路径返回，没有残余变形(图2-1

3、b)。b = D (E ) E 或b = D (b ) E 适用于单调加载情况结构力学性能的模拟分析。典型的钢筋拉伸应力、应变曲线(图2-2 (a)包含弹性阶段(0A)、流动阶段(AB) 及硬化阶段(BC)。常用的简化模型为：(1) 理想弹塑性：材料屈服后，应力b不随应变8而变化，图2-2 (b)cy cy 时，s =0 加载C 时，J 心、y de =dQ/E 0sign。= 0 7=0-1 cj 时，s =a /Eyyb b 时， 8 =Q /E+ (Q -Q )/Eyyy 2(3) 刚塑性模型：当塑性应变远远大于弹性应变时，忽略弹性变形。 图2-2 (d) e E p 时，图2-3 一般

4、强化模（1）理想弹性元件：b= E&图2-4理想化的简单流变元件（2）粘性元件：变形与时间的相关性，称为材料的粘性；引用流变学的观点，用 粘滞系数考虑应力-应变与时间的关系：以便描述混凝土的徐变对应力-应变 关系的影响。a = e= dE ： dt 应变速率；门粘滞系数（3）理想塑性元件：b f E=0 ； b= f E =任意值。f-摩擦阻力;物体在弹性变形阶段有明显的粘性，称为粘弹性;5. 断裂力学模式应用断裂力学的条件：（1）研究对象为含有裂缝的缺陷体；（2）结构受拉（剪、扭）作用；（3）材料对脆断敏感。断裂力学对研究混凝土内单条裂缝的发展有效。6. 损伤力学模式考虑材料未受力时存在初始

5、裂缝和受力过程中由于损伤积累而产生的材料刚 度变化，从而导致应变软化。损伤：材料内结合部分发生不可恢复的减弱。设：A一原横截面积；AD一缺陷面积; D一损伤因子。损伤因子D = A/A描述材料的受损程度。D=0（未受损）；D=1（完全破坏）.图2-4损伤单元设未受损面积An上的有效应力为气，在轴向力作用下，F F b b =n AA（1- D） （1-D）未受损材料的应力-应变关系为:”广En8=汇万En未受损材料的弹性模量；E损伤材料的整体弹性模量。2.3钢筋的应力-应变曲线一. 单向加载应力-应变关系500 -400眺1000M I ， I .L I2 4 6 S 10 12 14 161

6、8 20标距5ZW 为钢麝直:径L I_.I_IlUrJr - 1 , . E CT2224 而罚 30 3M34 3633Ma实验曲线b弹性硬化关系c理想弹塑性关系图2-5钢筋应力-应变关系曲线钢筋本构关系采用弹塑性关系（二直线关系），见图2. 5b,c所示，f、表示钢筋屈服强度、屈服应变，E表示钢筋弹性模量，E = 0.01 E， 表 y yssis su示钢筋的极限拉应变。二. 反复加载应力应变关系:钢筋在反复荷载作用下应力-应变滞回环在往复荷载作用下，钢筋本构关系存在包辛格效应（Bauschinger effect）o包辛格效应一一塑性力学中的一个效应,指具有强化性质的材料由于塑性变形

7、的增 加,屈服极限在一个方向上达到，并产生塑性变形后，在另一个方向（反向）加载时屈服 强度降低的现象。1. 在往复荷载作用下钢筋本构关系分以下三种情况： （1）钢筋应力K| fy而且钢筋未发生变号时：钢筋服从弹塑性关系，即服从CDB直 线，见图2.6c所示。（3）钢筋应力|。| f而且钢筋发生变号时：钢筋服从弹塑性关系，但产生包辛格效应。 s y其骨架曲线（如图2.6d所示）b 8 L r g8 -8 +Cr-b 8 s* rg 8 -8 +C8 88 8(2.3-1)式中，8 ,一表示钢筋最近一次变号时的应变;b g表示钢筋破坏强度；C表示计算参数，其值为:0.0014 + 0.0393 8

8、 -8 |(|8 | + 0.001)(|8 -8 | + 0.06)(|8 | + 0.0035) 0.0070.0078 | 0.02(2.3-2)钢筋卸载按斜率/直线进行，但再加载时b J不得超过钢筋骨架曲线上对应的应 力绝对值。钢筋加载屈服后一一卸载一一再加载，形成钢筋反复加栽的应力-应变滞回环。骨 架曲线与单调加栽的应力应变曲线一致。2、考虑钢筋与混凝土粘结滑移的钢筋反复加载本构模型引始刚度等戒刚度；、上钢筋应变a重复加载下软钢本构关系考虑粘结滑移反复加载下钢筋本构曲线b加载考虑粘结滑移对钢筋本构关系c图2-7重复加载下软钢的力-变形曲线通过等效刚度法，考虑粘结滑移对钢筋本构关系骨架

9、线的影响，见图2-7b,图中虚 线(3)(4)分别为屈服前后钢筋原始弹模，实线(1)(2)为考虑钢筋混凝土粘结滑移后的等 效刚度，其中E三(0.81.0)E ;卸载及再加载曲线采用Menegotto 和 Pinto(1973)建 议的模型，见图2-7c实线(5)所示：曲线(5)的方程表达式:=be*，R = R0 -a&a +g式中，8 *=f8 0 -8 rb -bb* =，R是决定曲线形状的参数，反映钢筋的包辛b -b格(Bauschinger)效应。三、钢筋的废劳强度（一）钢筋的废劳破坏指钢筋在承受周期性动荷载作用下，经过一定次数后，从塑性破坏变成脆性断裂的 破坏现象。原因：钢筋内部的缺

10、陷、钢筋本身不均匀或钢筋外表的变形突变或缺陷。（二）疲劳强度1. 定义：指在某一规定应力幅度内，经受一定次数循环荷载后（200万次），发生 疲劳破坏的最大应力值。（该值低于静荷载下钢筋的极限强度、有时低于屈服强度）2. 影响因素：应力幅度（主要因素）、最小应力值、钢筋外形、钢筋直径、试验方 法等。2.4混凝土的本构关系微观结构水泥石结构；、亚微观结构一一水泥砂浆；A混凝土为内有孔隙、微裂宏观结构一一砂浆和粗骨料。2.4.1混凝土本构关系综述本构关系通常建立在结构分析的尺度和层次上，最基本的是材料一点的应力-应变关 系，由此推导其它各种本构关系。已经取得的研究成果有：混凝土单轴受压、受拉应力-应

11、变关系；混凝土多轴强度（破坏准则）和应力-应变关系；多种环境和受力条件下的应力-应变关系；钢筋与混凝土的粘结-滑移关系；约束混凝土应力-应变关系；构件在单调荷载和反复荷载下的弯矩-曲率关系；构件在单调荷载和反复荷载下的轴力-变形关系；建立本构模型的方法：试验、理论、半经验半理论的方法，基于已有的理论框架，针 对混凝土的力学特性，确定混凝土本构关系。具体有：（1）用结构工程相同的混凝土材料，制作足量的试件，通过试验测定;（2）选定适合分析特色的本构模型，其数学式中待定参数通过试验标定;（3）直接采用经过试验验证或工程证明可行的本构关系式。2.4.2混凝土单向受压应力应变关系特点：压力机垫板梭柱体

12、b 物!图2-8柱体受压试件坏机理图2-9混凝土破（1）典型应力-应变关系:35卜 bCTinF.iOA弹性阶段；AB一裂缝稳定发展阶段；BC一不稳定裂缝扩展阶段（2）图2-10纵向应变，横向应变及体积应变的变化曲线体积应变：8 = 1 +8 2 +8 30 。 (0.750.9)f体积应变与b成线性关系一一体积收缩； C(0.750.9)f b 匕 体积应变改变方向且为非线性体积膨胀。(3)不同混凝土强度的应力-应变曲线：图2-11典型受压应力-应变曲线(4) 不同加载速度：加载速度越快，混凝土强度越高，破坏脆性越明显。一、混凝土受压应力-应变全曲线全曲线的特点：设x =旦;y =-,几何特

13、点： 8 fc1c(1) x=0,y=0;(2) 0Wx1,也 0;dx 2(3) x=1, dy = 0;dx(4) 下降段上有拐点，性=0 (D点)；dx 2(5) X8 时，y 0 且 dy 0 ;dx(6) 下降段曲线上有曲率最大点(E点)，d3y = 0 (E点，在D点右侧);dx 3(7) 全曲线 xN0，0yW1。图2-11全曲线的特征混凝土受压应力-应变全曲线方程，按数学函数分类，有多项式、有理式、三角函数和指数式。我国规范中混凝土受压应力应变全曲线方程现行混凝土结构设计规范建议了两个混凝土受压应力-应变关系。1. 用于正截面极限承载力计算的应力-应变关系全曲线分为上升段和水平

14、段。（o A n（1） 上升段：b=-1-日0庭c（2） 水平段：b = f8 8 式中，n = 2-l(/ -50) 0.002ccu,ke =0.0033-(/-50)x10-5 0.003;ucn,k表2-1混凝土受压应力-应变曲线的参数强度等级C15 C50C55C60C6570C75C80/curL (N/mn?)15-50556065TO7580R2.01971.8331.751.6671.5831.5(1032.02.0252.052.0752.12.1252.15% no 3.33.253.203.153.13.053.0图2-13我国规范应力-应变曲线2. 用于非线性分析的应

15、力-应变关系全曲线分为上升段和下降段，二者在峰值点连续。(1)上升段：。=fa + (3-2a )cCCL fV L Ed0 C(2)下降段:8 8 8CU式中，f-混凝土轴心抗压强度，根据分析方法和极限状态的需要分别取为标准 C值、设计值或平均值8 -相应于fc的应变; = (700 + 172疗)x 10 - 6； EE 八八-:、=2ET(1+2气七4ad上升段参数a = 2.4 - 0.0125 f ,下降段参数a刁二0.157-0.905图2-14混凝土受压应力-应变全曲线两种曲线比较：（1）曲线形状不同；（2）峰值应力对应的应变不同，80 2J1000.|1l _i11L.0204

16、064)80100人曲)图2-16混凝土应力-应变曲线随强度等级的变化三、其它应力-应变全曲线方程1、CEB-FIP 规范e 8 8 V-（1）8 8u-一8 80(8 ；80)2人8 02E - 2 + 2- I Ec(p1 - 2 E+10k c ；2-1/cm4.三次多项式模拟b = C + C 8 + C 8 2 + C 8 3根据边界条件：(a)8 = 0, b = 0 ；(b)8 = 0, - = E0；(c)8=8, b = b ；(d)db 8=8 ,= 0 ；0 d8确定系数C0, CC2, C3,5.美国规范中Hongnestad建议公式(1)上升段：b=b0(2,U 0J

17、0 8 820c箍筋约束提高了混凝土的延性。AB段:8 8 8020cBC段:式中， =0.00200.5/ +8- 0.00250w50/z8503 + 0.002/；/r-ioooccb38= P50h4 s被约束混凝土的宽度;p 箍筋面积与被箍筋约束混凝土面积的比;s 封闭箍筋的间距。 h2.4.4混凝土受拉应力应变曲线混凝土抗拉强度f 一tension t劈拉强度(split tensile strength)： ft ,s2F兀a2式中：F压力；立方体试件边长;中间霰而。，图2-22混凝土抗拉试验图2-21混凝土受拉应力应变全曲线1. Kulicki和Kosten建议的拉应力-应变关

18、系b = ES 0 b = E0t（ ） Ct tUttU式中，t = 0.55 , max = 0.0007E0 初始弹性模量，同受压; c,一不考虑钢筋与混凝土之间黏结对混凝土受拉开裂后的影响;考虑钢筋与混凝土之间黏结对混凝土受拉开裂后的影响。2.图2-22受拉应力-应变关系CEB-Model Code (1990)bct开裂前：b ct = E00.1 f ctm 0.00015 - 以E0W 广 fctm(1-0.85 W)1 0.9 fctmct ctm0-9fctm C ftmO.15 3 ct Atmctm0 Ect V 5 fctmb =0.15fctm (W -W) + 0.

19、15f mc 1fctm 一混凝土平均抗拉强度，MPaW-裂缝张开度(mm)，W1 =2 2 - 0.15WG_E_FftctmctmWc bct= 0时的开裂度(mm), W =Gf =a F (ftcm/10)。.7为混凝土开裂能;aF, PF与骨料粒径有关的系数，分别见CEB Model Code p2-7,p2-16.图2-23 CEB规范建议的受拉应力应变曲线3、二折线模型(5 = f0 V 8 V 8辑ttb = f (1 (X )8 V 8 V 8t 8 -8t11it t式中，匕-混凝土抗拉强度e -混凝土受拉最大应变 U5 -相应于f的应变 tt图2-24混凝土受拉二折线关系

20、4、三折线模型C =(|)(8)= E OVeVetl2Ed) =E _ + E (1-) s s Y2 tl sa 23 6 =0( )- + E (1 M) 343 T2V 37 t3 图2-25混凝土受拉三折线关系28o = / ere+0.0001。=f CtCT = 05. 曲线模型08 0.00010.0001 8 0.000152.4.5重复加载下混凝土应力应变曲线 重复加载：加载一卸载一S加载2亍56 n 8 9 西（1狂 j图2-24重复荷载下应力应变关系(a) 轴心受压应力-应变曲线；(b) 等应变增量的完全加-卸载;(c) 等应变增量的部分加-卸载;(d) 等应力循环加-

21、卸载；(e)等应变循环加-卸载;沿卸载曲线的循环加卸载。不同加卸载过程的应力应变曲线的包络线(骨架曲线)与单调加载应力-应变全 曲线一致。加卸载曲线的交点依次相连的稳定点轨迹线与应力-应变的包络线相似， 其比值为0.860.93.多次循环加载后达到稳定变形的点连接成的轨迹线，也与包络 线线似，比值为0.70.8.砼重复加载应力-应变关系包括骨架曲线、卸载及再加载曲线。卸载及再加载模型有:1. BlakeIey重复加载直线模型 8时，从卸载点垂直向下卸到一半，然后考虑刚度退化系数上进行卸载和再加 0c载。k =0.8提疽。皿河Jc -200相应于最大应力只剩20%时的应变；图 2-25 Blak

22、eley 模型2.重复加载曲线模型(Takiguchi and Tanigawa)骨架曲线8京时,2k。8b = _J_Q_8 +0 时，e = k。(1 200(8 8 )-u01 00 时,u。=0.3 侣。系数，0.81.0(2)力叭卸载曲线卸载:8 0.2sb = b 11 1.88 -e1再加载:2& 0 1 0 : - 0.2b=冲0 +-0.2 01*g 1j八七7-0.21120 :v + -0.2 01 - 0.2b = b 1_1 0 + -0.21式中，-卸载时的应变、应力; 0-混凝土的极限应力。图2-26曲线模型3、重复加载曲线模型(Scott)混凝土反复加载本构关系

23、见图2-27所示，混凝土加载骨架线采用Scott等人扩展后 的Kent-Park模型，该模型通过改变混凝土受压骨架曲线的应变软化段斜率来考虑箍筋 约束的影响，如图2-27中曲线(1)(2)(3)所示；卸载采用直线方程，卸载曲线屈服前如图 2-27中曲线(4)所示，屈服后如图2-27中曲线(5)所示；卸载后再加载时考虑混凝土裂面 效应的影响，屈服前卸载再加载曲线如图2-27中曲线(7)所示，屈服后卸载再加载曲线 如图2-27中曲线(6)所示。图2-27混凝土加卸载本构关系2.4.6循环反复加载下混凝土应力应变关系循环反复加载：正向加载一卸载一反向加载一反向卸载一再正向加载等循环反复路 径的加载。

24、循环反复加载下混凝土材料及构件存在强度退化、刚度退化和裂面效应特性。强度退化：在循环荷载作用下，若保持峰值点应变不变，峰值荷载随循环次数增加 而下降的现象。刚度退化：在循环荷载作用下，若保持峰值荷载不变，峰值点位移随循环次数增加 而增加的现象。退化性质源于累积损伤。图2-28循环反复加载下的强度退化、刚度退化特性裂面效应：混凝土开裂后重新受压时，由于骨料咬合作用导致裂缝在完全闭合前 就传递较大的压力的现象。裂缝越宽、骨料粒径越大，裂面效应越显著。考虑裂缝效应的等效应力应变关系:再加载曲线： 0 且 8 0且b (1- / ) +r 2e) b i-con +8 w /28b =b (1-8/8

25、 ) +bcon0 + g 00 and and i or 0式中,2s ( 2s ) Q_ b +(+ ) 11 v 1 0y(A 0.98 ) =S 0.1 +0 为开始产生裂缝效应时的裂缝宽度;w max I + I0 max /8再加载时对应于最大裂缝宽度的应变；max /E 4。对应于=。时的接触应力。=0.3(1 2+ 一Qconcon0 / + 2L w 0(2)卸载曲线：(2 - )8 8. (J = L (J10 . I 38 -2s I 1v i 7图2-29反复加载的裂面效应图2-30循环反复加载下单轴受力钢筋混凝土柱的力-变形曲线250L反力架油压千斤顶试件018水平作 动器试件基础图31b试件加-40位移 / mmNK载何3N&荷-30位移 / mm30100图31a L柱配筋图载装置图示意图及照片图32a各试件P-滞回曲线il算囱-n.-o- wI. I I :2. OCG-021. 50G-02.三rzhp 女 试验值计算值l.OOE 02-Z. UU2-UZ图32bL形弯矩曲率滞回曲线-40 位移 / mm荷-40位移 / mmONKi荷荷-40 位移 / mm-荷 O图33各试件骨架线及不同角度骨架线的对比