§1.3.1函数的单调性与导数32071

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1、1.3.1 函数的单调性与导数（2 课时）教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系；2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用 二新课

2、讲授 1问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高 度h随 时 间t变 化 的 函 数2()4.96.51 0httt的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数()()9.86.5v th tt 的图像 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()h t是增函数相应地，()()0v th t（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()h t是减函数相应地，()()0v th t 2函数的单调性与导数的关系 观察

3、下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如图 3.3-3，导数0()fx表示函数()f x在点00(,)xy处的切线的斜率 在0 xx处，0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x在0 x附近单调递增；在1xx处，0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x在1x附近单调递减 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(,)a b内，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递减 说明：（1）特别的，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内是常函数 3求解函数()yf x单调区

4、间的步骤：（1）确定函数()yf x的定义域；（2）求导数()yfx；（3）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 例 1已知导函数()fx的下列信息：当14x时，()0fx；当4x，或1x 时，()0fx；当4x，或1x 时，()0fx 试画出函数()yf x图像的大致形状 解：当14x时，()0fx，可知()yf x在此区间内单调递增；当4x，或1x 时，()0fx；可知()yf x在此区间内单调递减；当4x，或1x 时，()0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数()yf x图像的大致形状如图

5、3.3-4 所示 例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）3()3f xxx；（2）2()23f xxx （3）()sin(0,)f xxx x；（4）32()23241f xxxx 解：（1）因为3()3f xxx，所以，22()333(1)0fxxx 因此，3()3f xxx在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示 （2）因为2()23f xxx，所以，()2221fxxx 当()0fx，即1x 时，函数2()23f xxx单调递增；当()0fx，即1x 时，函数2()23f xxx单调递减；函数2()23f xxx的图像如图 3.3-5（2）所示（3）因为()sin(0,)

6、f xxx x，所以，()cos10fxx 因此，函数()sinf xxx在(0,)单调递减，如图 3.3-5（3）所示（4）因为32()23241f xxxx，所以 当()0fx，即 时，函数2()23f xxx ；当()0fx，即 时，函数2()23f xxx ；函数32()23241f xxxx的图像如图 3.3-5（4）所示 注：（3）、（4）生练 例 3如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以

7、后高度增加得越来越快反映在图像上，（A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况 解：1,2,3,4BADC 思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些 如图 3.3-7 所示，函数()yf x在0,b或,0a内的图像“陡峭”，在,b 或,a内的图像“平缓”例 4求证：函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数 证明：因为22661262612yxxxxxx 当

8、2,1x 即21x 时，0y，所以函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数 说明：证明可导函数 f x在,a b内的单调性步骤：（1）求导函数 fx；（2）判断 fx在,a b内的符号；（3）做出结论：0fx 为增函数，0fx 为减函数 例 5已知函数 232()4()3f xxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围 解：2()422fxaxx，因为 f x在区间1,1上是增函数，所以()0fx 对1,1x 恒成立，即220 xax对1,1x 恒成立，解之得：11a 所以实数a的取值范围为1,1 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调

9、性关系：即“若函数单调递增，则()0fx；若函数单调递减，则()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解 例 6已知函数 y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+x1)=11x2=222)1)(1(1xxxxx 令2)1)(1(xxx0.解得 x1 或 x1.y=x+x1的单调增区间是(，1)和(1，+).令2)1)(1(xxx0，解得1x0 或 0 x1.y=x+x1的单调减区间是(1，0)和(0，1)四课堂练习 1求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x36x2+7 2.f(x)=x1+2x 3.f(x)=sinx,x2,0 4.y=xlnx 2课本 练习 五回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()yf x单调区间（3）证明可导函数 f x在,a b内的单调性 六布置作业