§1.3.2函数的极值与导数31553

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1、3.3.2 函数的极值与导数（2 课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一创设情景 观察图 3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大 那么，函数()h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta附近函数()h t的图像，如图 3.3-9可以看出()h a；在ta，当ta时，函数()h t单调递增，()

2、0h t；当ta时，函数()h t单调递减，()0h t；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，()0h t）后减（ta，()0h t）这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()h t先正后负，且()h t连续变化，于是有()0h a 对于一般的函数 yf x，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二新课讲授 1 问 题：图 3.3-1（1），它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度h随 时 间t变 化 的 函 数2()4.9

3、6.51 0h ttt 的 图 像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数()()9.86.5v th tt 的图像 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()h t是增函数相应地，()()0v th t（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()h t是减函数相应地，()()0v th t 2函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如图 3.3-3，导数0()fx表示函数(

4、)f x在点00(,)xy处的切线的斜率在0 xx处，0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x在0 x附近单调递增；在1xx处，0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x在1x附近单调递减 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(,)a b内，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递减 说明：（1）特别的，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内是常函数 3求解函数()yf x单调区间的步骤：（1）确定函数()yf x的定义域；（2）求导数()yfx；（3）解不等式()0fx，

5、解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 例 1（课本例 4）求 31443fxxx的极值 解：因为 31443fxxx，所以 24(2)(2)fxxxx。0,2,2fxxx 下面分两种情况讨论：（1）当 fx0,即2x，或2x 时；（2）当 fx)(1xf （）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4.判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若0 x满足0)(0 xf，且在0 x的两侧)(xf的导数异号，则0 x是)(xf的极值点，)(0 xf是极值

6、，并且如果)(xf 在0 x两侧满足“左正右负”，则0 x是)(xf的极大值点，)(0 xf是极大值；如果)(xf 在0 x两侧满足“左负右正”，则0 x是)(xf的极小值点，)(0 xf是极小值 5.求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数 f(x)(2)求方程 f(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么 f(x)在这个根处无极值

7、如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 四、巩固练习：1 求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解：y=(x27x+6)=2x7 令 y=0，解得 x=27.当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表.x 7,2 72 7,2 y 0+y 极小值254 当 x=27时，y 有极小值，且 y极小值=425.(2)解：y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令 y=0，解得 x1=3，x2=3.当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表.x,3 -3(-3,3)3 3,y+0 0+y 极大值 54 极小值-54 当 x=3 时，y 有极大值，且 y极大值=54.当 x=3 时，y 有极小值，且 y极小值=54 五、教学反思：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数 f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为 0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 六、课后作业：书本 P 34 3 .4 .5