§1.3.2函数的极值与导数31553

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1、3.3.2 函数的极值与导数(2 课时)教学目标:1.理解极大值、极小值的概念;2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值;3.掌握求可导函数的极值的步骤;教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程:一创设情景 观察图 3.3-8,我们发现,ta时,高台跳水运动员距水面高度最大 那么,函数()h t在此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规律?放大ta附近函数()h t的图像,如图 3.3-9可以看出()h a;在ta,当ta时,函数()h t单调递增,()

2、0h t;当ta时,函数()h t单调递减,()0h t;这就说明,在ta附近,函数值先增(ta,()0h t)后减(ta,()0h t)这样,当t在a的附近从小到大经过a时,()h t先正后负,且()h t连续变化,于是有()0h a 对于一般的函数 yf x,是否也有这样的性质呢?附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二新课讲授 1 问 题:图 3.3-1(1),它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度h随 时 间t变 化 的 函 数2()4.9

3、6.51 0h ttt 的 图 像,图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数()()9.86.5v th tt 的图像 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即()h t是增函数相应地,()()0v th t(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即()h t是减函数相应地,()()0v th t 2函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如图 3.3-3,导数0()fx表示函数(

4、)f x在点00(,)xy处的切线的斜率在0 xx处,0()0fx,切线是“左下右上”式的,这时,函数()f x在0 x附近单调递增;在1xx处,0()0fx,切线是“左上右下”式的,这时,函数()f x在1x附近单调递减 结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间(,)a b内,如果()0fx,那么函数()yf x在这个区间内单调递增;如果()0fx,那么函数()yf x在这个区间内单调递减 说明:(1)特别的,如果()0fx,那么函数()yf x在这个区间内是常函数 3求解函数()yf x单调区间的步骤:(1)确定函数()yf x的定义域;(2)求导数()yfx;(3)解不等式()0fx,

5、解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式()0fx,解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 例 1(课本例 4)求 31443fxxx的极值 解:因为 31443fxxx,所以 24(2)(2)fxxxx。0,2,2fxxx 下面分两种情况讨论:(1)当 fx0,即2x,或2x 时;(2)当 fx)(1xf ()函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 4.判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若0 x满足0)(0 xf,且在0 x的两侧)(xf的导数异号,则0 x是)(xf的极值点,)(0 xf是极值

6、,并且如果)(xf 在0 x两侧满足“左正右负”,则0 x是)(xf的极大值点,)(0 xf是极大值;如果)(xf 在0 x两侧满足“左负右正”,则0 x是)(xf的极小值点,)(0 xf是极小值 5.求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间,求导数 f(x)(2)求方程 f(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么 f(x)在这个根处无极值

7、如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点 四、巩固练习:1 求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解:y=(x27x+6)=2x7 令 y=0,解得 x=27.当 x 变化时,y,y 的变化情况如下表.x 7,2 72 7,2 y 0+y 极小值254 当 x=27时,y 有极小值,且 y极小值=425.(2)解:y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令 y=0,解得 x1=3,x2=3.当 x 变化时,y,y 的变化情况如下表.x,3 -3(-3,3)3 3,y+0 0+y 极大值 54 极小值-54 当 x=3 时,y 有极大值,且 y极大值=54.当 x=3 时,y 有极小值,且 y极小值=54 五、教学反思:函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数 f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在整个定义区间可能有多个极值,且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为 0,但导数为零的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 六、课后作业:书本 P 34 3 .4 .5

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