非线性的相关知识整理

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1、非线性的相关知识整理1.线性与非线性定义及相关比较：线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。线性函 数即一次函数，其图像为一条直线。其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。 满足f(ax+by)=af(x)+bf(y)的函数称为线性函数，不满足的为非线性函数。 其中a,b为常数。线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光 滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。比如，普通的电阻是线性元件，电阻R两端的电压U,与流过的电流I,呈 线性关系，即 R=U/I， R 是一个定数。二极管的正向特性，就是一个典型的非

2、线 性关系，二极管两端的电压u与流过的电流i不是一个固定的比值，即二极管两个变量之间的关系是一次函数关系的图象是直线，这样的两个变量之 间的关系就是“线性关系”；如果不是一次函数关系的图象不是直线，就是 “非线性关系2.非线性函数的有界性：，如由双曲线类型函数均具有界性.另外，一些具有特殊解析式的函数也会存在有界性判断时可令自变量趋向无穷来判断.3. 非线性方程：就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关 系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等。求解此类方程往往很难得到精确 解，经常需要求近似解问题。而非线性方程组：就是几个非线性方程组合在一起成为一个方程组4. 非

3、线性规划的求解很灵活.不像解线性规划问题有单纯形法表这一通用方法，每种方法都有自己特定的适用 范围。算法概述无约束非线性规划算法确定搜索方向有如下方法： (1)最速下降 法；(2)牛顿法；(3)拟牛顿法；在实际应用中，真正无约束的情况是很少的。5. 约束非线性规划算法：(1) 可行方向法；(2)罚函数法；(3)梯度投影法；(4)逐步二次规划法 (SQP)(MATLAB软件中常用SQP算法。)6. 非线性规划的数学模型为：(1) minf(X)(2) Hi(X)=0, i=l,2,，m(3) Gj(X)$0,j=l,2l7. 非线性方程组的解法例题：(1.)已知某非线性方程组如下：ff(1)=(

4、3-5*x(1)*x(1)+1-2*x(2)=0for k=2:9 ff(k)=(3-5*x(k)*x(k)+1-x(k-1)-2*x(k+1)=0 endff(10)=(3-5*x(10)*x(10)+1-x(9)=0试求该方程组的解。fun ctio n hhX0=0.0079 -0.0386 -0.0864 0.0466 -0.0166 -0.1171 0.0661 -0.0327 -0.1910 0.0831;X,FVAL,EXITFLAG=fsolve(myfu n,X0)function ff=myfun(x) ff(1)=(3-5*x(1)*x(1)+1-2*x(2);for k

5、=2:9 ff(k)=(3-5*x(k)*x(k)+1-x(k-1)-2*x(k+1);endff(10)=(3-5*x(10)*x(10)+1-x(9);结果:Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.X =-0.3821 -0.4381 -0.4459 -0.4470 -0.4470 -0.4464 -0.4441 -0.4362 -0.4079 -0.3096FVAL =1.0e-007 *0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0008 -0.

6、0073 -0.0454 -0.1214 -0.0278EXITFLAG =1(2.)有两个非线性方程组，未知数是x1,x2： (15x1+10x2)/(40-30x1-10x2F2x(15-15x1)=5e-4;(15x1+10x2)/(40-30x1-10x2)x(10-10x2)=4e-2.S=solve(15*x1+10*x2)/(40-30*x1-10*x2F2*(15-15*x1)=5e-4, (15*x1+10*x2)/(40-30*x1-10*x2)*(10-10*x2)=4e-2,x1,x2)S =x1: 3x1 symx2: 3x1 sym S.x1ans =0.12026

7、665447613560200221696674292.1048681889566286366312185043052*i +1.36924520383537852668250733583761.3692452038353785266825073358376 -2.1048681889566286366312185043052*i S.x2ans =0.478670674502623879943947480469492.7225290695283490769771788021381 -1.4535479853270135333310210750154*i1.453547985327013533

8、3310210750154* +2.7225290695283490769771788021381非线性优化论文的学习及笔记：整数非线性规划方法优化下料问题本文探讨了生产实际中一维下料的优化问题，建立了下料问题的非线性整数规划的数学模型，并通过LINGO程序，获得该优化模型的解。本方法适用于较大规模的型材下料问题，能够提高原材料的利用率1 问题的提出本文以客车厂生产某型号汽车零件的下料问题为计算实例。所需原始数据表如表 1表1 下料问题的原始需求数据零件号名称材料规格(mm)下料尺 寸mm)需要量407加强筋扁铁4x40200200408座托板扁铁4x4033200409垫铁扁铁4x40170

9、400410加长板扁铁4x40200200原材料扁铁长为4000mm。生产部门如果采用的不同的切割模式太多，将会导致生产过程的 复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该生产部门规定采用的不同切割模式不能超过 4种。在这种条件下，探讨最优的下料方式，使得用料最省。我们由问题可以分析：对于简单的下料问题，切割模式可以通过来确定，但对于本文中的 下料问题由于原材料扁铁的长度远大于加工后产品的尺寸，而且加工品种比较多的情况，用 枚举法确定切割模式的工作量非常大。因此这里采用整数非线性规划方法来建立下料问题的 数学模型，该方法可以同时确定切割模式和切割计划。一个合理的切割模式的余了不应该大于或等于需要的产

10、品的最小尺寸，即座托板 33mm， 所以合理的切割模式的余量不能大于 32mm。 由此我们可以建立如下数学模型：2 建立数学模型决策变量：由于不同切割模式不能超过 4 种，用 x （非负整数）表示按照第 i 种模式i（i 1,2,3,4）切割的原料扁铁的根数。用r , r , r , r表示使用第i中切割模式下每根原料1i 2 i 3i 4 i扁铁生产零件 407*、408*、409*、410*的数量。决策目标：使用原料扁铁总根数最少。Min x1+x2+x3+x4（1）约束条件：rllxl + r12x2 + r13x3 + r14x4 200r21x1 + r22x2 + r23x3 +

11、r24x4 200r31x1 + r32x2 + r33x3 + r34x4 400r41x1 + r42x2 + r43x3 + r44x4 200（2）3968 200r11 + 33r21 + 170r31+ 200r41 40003968 200r12 + 33r22 + 170r32+ 200r42 40003968 200r13 +33r23 + 170r33+ 200r43 40003968 200r14 +33r24 + 170r34+ 200r44 4000上面（1）（2）式构成本问题的优化模型，可以看出该数学模型是一个整数非线性规划模型。通过上述数据可以求出该原料的利用率为 98.77%，可见，按本方法进行套裁下料能极 大地提高了原材料的利用率，节约生产成本。由此我们可以得出数学结论：原料下料问题是与工厂生产实际密切相关的一个问题。本文所阐述整数非线性规划数学 模型的建模及 LINGO 程序的求解方法，具有较好的通用性，能够很好地实现较大规模一维 型材下料的优化，得到最优或满意的套裁下料结果，从而使得用料最省，利润最大。