函数单调性极值B班讲义

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1、 函数单调性极值 B 班讲义 LELE was finally revised on the morning of December 16,2020 标题：函数的单调性、极值与最值 教学目标:1.会利用导数判定函数的单调区间；2.掌握极值的第一判定定理判定函数的极值；3.了解极值的第二判定定理判定函数的极值；4.会求简单函数的最值。教学重点及难点：教学重点：1.函数的单调区间的求法；2.函数极值的判定。教学难点：1.函数的极值的判定。教 学 内 容 （教 学 时 数：4 课时 ）一、内容精讲 一.函数的单调性 如果函数)(xfy 在ba,上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿x轴正向上升

2、（下降）的曲线,如图 a，这时曲线各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即0)(xf（或0)(xf).图 a 图形上升时切线斜率非负 图 b 图形下降时切线斜率非正 定理 1 设函数)(xf在ba,上连续，在),(ba内可导，则有:(1)如果在),(ba内,0)(xf，那么一函数)(xf在上严格单调增加；(2)如果在),(ba内，0)(xf，那么，函数)(xf在上严格单调减少.其中，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，a,b 称为单调区间.备注：例 1.讨论函数64)(2xxxf的单调性.解 函数的定义域为),(,且)1(242)(xxxf，令0)(xf 得,1x 在区间),1(内0)(x

3、f，所以函数在,1内单调增加；又在区间)1,(内0)(xf，所以函数在1,内单调减少.例 2.讨论函数xxxy62323的单调性.解 所给函数的定义域为(,)，)2)(1(3)2(363322xxxxxxy，列表如下 x（)2,(）)1,2(（1,+）y+-+y 由此可知，在2,内及,1内函数单调增加；在1,2内函数单调减少.例 3.讨论函数3)(xxf的单调性.解 函数)(xf的定义域是),(,03)(2 xxf,故函数)(xf在其定义域),(内是单调增加的.说明：确定函数如)(xf的单调步骤是：(1)确定函数定义域，求出0)(xf及)(xf 不存在的点 备注：(2)用导数为零的点及不可导点

4、分割)(xf的定义域(3)讨论每个分割区间上)(xf符号，根据)(xf的符号确定)(xf的单调性.例 4.讨论函数xxey的单调性。解 函数xxey在,上有定义，xeyx1.令0 y，得1x.因为在1,上0 y，所以函数xxey在1,单调增加；在,1上0 y，所以函数xxey在,1单调减少.例 5 确定函数3-129-2)(23xxxxf的单调区间 解 函数的定义域为()函数的导数为2161218-6)(2xxxxxf，导数为零的点有两个 11x，22x 列表分析 (1 1 2 2)()f x )(xf 函数)(xf在区间1-，和，2内单调增加 在区间1 2上单调减少 二、函数的极值 定义 1

5、 设函数)(xf在0 x的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点)(0 xxx恒有：（1）)(xf)(0 xf,则称)(0 xf是函数)(xf的极大值，并称0 x为)(xf的极大值点；（2）)(xf)(0 xf,则称)(0 xf是函数)(xf的极小值，并称0 x为)(xf的极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为极值点.备注：图 c 关于极值的概念，还需注意如下几点：（1）函数在同一区间上可能有几个极小值，如图 c所示，)(),(42xfxf均是)(xf的极小值，)(),(31xfxf均是)(xf的极大值.（2）函数的极大值未必比极小值大，如图c,)(xf的极小值)

6、(4xf大于极大值)(1xf.（3）函数的极值一定出现在区间内部，在区间端点不能取得极值.观察图 c，我们可以发现，可导函数在取得极值处的切线是水平的，即极值点0 x处必有0)(0 xf，于是得出如下定理：定理 2（极值的必要条件）设)(xf在点0 x处可导，且在点0 x处取得极值，则必有0)(0 xf.使导数等于零的点0 x叫做函数)(xf的驻点.定理 7 可以简记为:可导的极值点必是驻点.关于定理 7，需要注意几点：（1）驻点不一定是)(xf的极值点.如0 x是函数3)(xxf的驻点，但不是极小值点；（2）函数的极值点未必是驻点.如0 x是函数xxf)(的极小值点，但)0(f 不存在.备注

7、：y x a b 2x O 3x 4x 1x()yf x 定理 3（极值的第一充分条件）设)(xf在点0 x连续,在点0 x的某一邻域内可导，且0)(0 xf（或)(0 xf 不存在)，如果在该邻域内（1）当0 xx 时，0)(xf;当0 xx 时，0)(xf，则0 x为)(xf的极大值点；（2）当0 xx 时，0)(xf;当0 xx 时，0)(xf,则0 x为)(xf的极小值点.如果)(xf 在0 x的两侧保持相同符合，则0 x不是)(xf的极值点.如图.图 例 1.求234683xxxy的极值与极值点.解 函数的定义域为（,）,223)1(12122412xxxxxy 令0 y得函数的驻点

8、1,021xx，y在（,）内存在 O x y 0()0fx 0 x O xy 0()0fxab 0 x()0fx()0fx O xy0()0fxab 0 x()0fx()0fx 列表分析：x（0,）0)1,0(1（1,+）y 0+0+y 极小值 0)0(f 非极值 0 x为所给函数的极小值点，极小值0)0(f.例 2.求3223xy 的极值与极值点.解 函数的定义域为（,），且3311xxy,得到不可导点0 x,列表分析：x（0,）0（,0）y 不存在+y 极小值 0)0(f 所以0 x为函数的极小值点，极小值0)0(f.定理 4（判定极值的第二充分条件）设函数)(xf在点0 x处是有二阶导数

9、，且0)(0 xf，)(xf 0，则（1）当0)(0 xf时，0 x为)(xf的极大值点；（2）当0)(0 xf时,0 x为)(xf的极小值点.例 3.求函数)(xf=99623xxx的极值.解)(xf的定义域为（,),)(xf=91232xx，)(xf =126 x,令)(xf=0 得驻点3,121xx，因06)1(f,故 5)1(f为极大值；又因,06)3(f 故9)3(f为极小值.例 4.求函数)(xf=)1ln(xx的极值.解)(xf的定义域为（,1）xxxxf1111)(，2)1(1)(xxf,令0)(xf 得驻点0 x,01)0(f因为,所以 0)0(f为极小值.三.函数的最值 求

10、函数的最值问题也就是求函数在一定范围内的最大值或最小值问题.在生产实践中，为了提高经济效益，必须考虑在一定的条件下，怎样才能使用料最省，费用最低，收益最大等问题，这类问题都归结为最值问题.定义 1 设函数y=)(xf在闭区间,ba上连续，若存在,0bax,使对任意,bax,均有)(xf)(0 xf（)(xf)(0 xf）成立，则称)(0 xf为函数)(xf在区间,ba上的最大（小）值，点0 x称为)(xf在区间,ba上的最大（小）值点，最大值和最小值统称为最值.前面我们已经知道：闭区间,ba上的连续函数)(xf一定存在着最大值和最小值，显然连续函数在闭区间,ba上的最大值和最小值是能在区间),

11、(ba内的极值点和区间端点处达到，因此可直接求一切可能的极值点，（包括驻点和不可导点）和端点处的函数值，比较这些函数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值.例 5.求函数)(xf=99623xxx在4,1上的最大值和最小值.解 因为)(xf=99623xxx在4,1上连续，所以)(xf在4,1上存在着最大值和最小值，又因为 )(xf=91232xx=)3)(1(3xx,令0)(xf得驻点3,121xx,由于5)4(,25)1(,9)3(,5)1(ffff 比较各值可得函数)(xf的最大值为5，最小值为25.例 6.（利润问题）某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查

12、反映：每涨价 1 元，每星期少卖 10 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？解 设每件涨价x元，利润为y元，则)60010(10)10300)(4060(2xxxxy)102(10 xy，令0 y驻点是5x,0205 xy 所以5x时，利润取得极大值，即最大值，即定价定为 65 元时，利润最大6250maxy.三、同步练习：1.求下列函数的单调区间.（1）142xxy （2）3226187yxxx （3）82yxx （4）4lnyxx 2.求下列函数的极值.(1)242xxy (2)19323xxxy (3)232(1)yx (4)1ln(xxy 3.求下列函数在给定区间上的最大值和最小值.（1）2,2,5224xxy（2）,3223xxy4,1 四、小结归纳 1.函数的单调性的判定；2.函数极值的判定定理；3.函数最值的求法。备注：作业、讨论题、思考题：