测量误差与数据处理【苍松书苑】

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1、武汉大学出版社2014年1月1骄阳书苑第3章 高程网数据处理 数据处理的目的和要求 高程控制网是指以若干高程点组成的控制网，目的是通过网中已知点高程来求得网中待定点高程。它包括以水准测量方式建立的水准网和以三角高程测量方式建立的三角高程网。高程网数据处理的对象是高差。由于高差观测存在误差，用观测值计算的高程控制网将产生高差闭合差。2骄阳书苑第3章 高程网数据处理高程网数据处理的目的 对外业观测的数据进行各项修正和高差闭合差验算后，利用最小二乘原理，消除闭合差，求得高差改正数，然后得到各点高程平差值，并评定其精度。高程网数据处理的要求 工程测量规范中规定，各等级高程网应按最小二乘法进行严密平差，

2、打印输出的平差成果，应包含起算数据、观测数据和必要的中间数据；平差后的精度评定应包含有单位权中误差、每千米高差（全）中误差、点位高程中误差等。3骄阳书苑第3章 高程网数据处理 数据处理的步骤和内容 1外业高差改正数计算水准测量：由于水准标尺名义长度误差，不同高程的正常水准面不平行等，沿不同路线测得的两点间高差将存在系统误差，必须对外业高差加以必要的改正。三角高程测量：由于观测了竖直角和边长，需要进行大气折光和地球曲率改正、边长常数改正、周期改正、倾斜改正等。4骄阳书苑第3章 高程网数据处理 数据处理的步骤和内容 2外业数据检核高差检核主要包括两方面内容：一是计算往返测高差不符值和附合路线及闭合

3、路线高差闭合差，评定外业观测数据的质量；一是根据表3.1、表3.2和表3.3中的各等级高差较差和高差闭合差限差与实际计算的高差较差和高差闭合差进行比较，以此判别外业观测数据是否合符质量要求。5骄阳书苑第3章 高程网数据处理 数据处理的步骤和内容 3平差计算 根据高程网中的已知点高程和高差值，按照最小二乘法平差原理和方法求得高程网中待定点的高程和精度称为高程控制网平差。条件平差法 以高差观测值的改正数作为未知数，并以他们之间存在的附合路线和环线闭合差条件为函数模型，根据最小二乘法原理求解改正数，并最终求得各观测值的平差值和精度。6骄阳书苑第3章 高程网数据处理 数据处理的步骤和内容 3平差计算间

4、接平差法 以待定点的高程作为未知数，列立高差观测值与未知数之间的参数方程作为函数模型，根据最小二乘法原理解得未知参数，并求出未知数及其函数的精度。7骄阳书苑第3章 高程网数据处理 高差闭合差与限差 1往返测高差较差与限差：2附合路线闭合差与限差：BnAhHhhhHf21返往hhf8骄阳书苑第3章 高程网数据处理 高差闭合差与限差计算 3闭合路线闭合差与限差：nhhhhf219骄阳书苑精度和限差要求10骄阳书苑精度和限差要求11骄阳书苑示例【例3.1】图3.3为某测区三等闭合水准成果，验算高差闭合差。已知水准点19的高程为50.330米，测段高差和距离见图上，闭合水准线路的总长为5.0公里。12

5、骄阳书苑示例的解解：闭合水准路线的高差闭合差为：查表3.2知三等闭合水准路线的高差闭合差的限差为 ，。，符合三等水准测量的限差要求。mm m hfh10010.0863.0714.1787.1424.1224,1F12mmf27512限限ffh13骄阳书苑第3章 高程网数据处理1高程网起算数据必要起算数据：必要起算数据：为了确定高程控制网的位置基准所必需的已知数据。高程控制网中必要的起算数据是1个已知点的高程。独立高程控制网独立高程控制网：只有一个已知高程点的高程控制网。附合高程控制网附合高程控制网：有两个或两个以上已知高程点的高程控制网14骄阳书苑第3章 高程网数据处理2必要观测数与多余观测

6、数观测总数，用字母n表示。必要观测：用字母t表示。多余观测：用字母r表示。三者关系：条件方程=r个。高程网中必要观测个数与待定高程点的点数相同。tnr15骄阳书苑第3章 高程网数据处理3高差观测值的权 水准网高差权的确定 按测站数定权：按距离定权：iiCpNiisCp 16骄阳书苑第3章 高程网数据处理3高差观测值的权 三角高程控制网高差权的确定v权阵：2DCphnnnnppppppP10001000100000021121117骄阳书苑基于闭合差条件的条件平差v条件平差原理 由于高程控制网中存在r个多余观测，就会产生r条件方程。高程控制网平差归结为以r个条件方程为基础，根据最小二乘法求出一组

7、高差改正数。18骄阳书苑条件平差步骤1.根据平差的具体问题，确定条件方程的个数，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r；19骄阳书苑条件方程平差值条件方程：改正数条件方程：000022110221102211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn121112111211.0.0.0nnannbnnra va va vwb vb vb vwrvrvr vw20骄阳书苑条件方程若取：条件方程矩阵形式：nnnnrrrrbbbaaaA212121,0001,0rbaArrbarwwwW1,0A VW21骄阳书苑法方程的组成与解算2.根据条件方程式的系数A、闭合差W及观测值的权P

8、组成法方程，法方程的个数等于多余观测数r个。因为条件方程的个数等于多余观测数，而多余观测数只是观测量总数n的一部分，所以未知数的数目总是大于条件方程的数目，条件方程的解不唯一。为了求得一组既能满足条件方程，而又能使 即精度最高，可采用数学中条件极值的原理。minpvv22骄阳书苑法方程的组成与解算组成新函数：联系数联系数:k为联系数，其个数与条件方程个数相同。求新函数的极值，对上式变量V求其一阶偏导数，并令其为零，即：)(2WAVKPVVTT022)(2)(AKPVVAVKVPVVdVdTTTT23骄阳书苑法方程的组成与解算v组成法方程：代数形式：矩阵形式：000rrbabrbaarbawkp

9、rrkpbrkparwkpbrkpbbkpabwkparkpabkpaa01WKAAPT24骄阳书苑法方程的组成与解算v解算法方程：令：解算得：rnTnnnrrraaAPAN1111rrraarWNK25骄阳书苑改正数方程3、将K代入改正数方程求改正数：矩阵形式：纯量形式：1TTVP A KQA K1()(),(1,2,)iiaibiriiiiaibirva kbkrkpQ a kbkrkin26骄阳书苑平差值计算与检核4.计算平差值：5.用平差值检核平差计算结果的正确性：将所求平差值带入平差值条件方程看是否满足？iiivLL27骄阳书苑单位权中误差6.计算单位权中误差：rPVVT0nnTvp

10、vpvppvvPVV221128骄阳书苑高程网条件平差示例 【例】在下图中，A、B为已知水准点，其高程HA=12013m，HB=10013m。为了确定C及D点高程，共观测了三个高差，高差观测值及相应水准路线距离为：h1=1004m，S1=2km；h2=1504m，S2=1km；h3=2512m，S3=2km。试求C和D点高程的平差值。29骄阳书苑示例的解算解：（1）此例n=3，t=2，故r=1，列出如下平差值条件方程：以代入上式，可得条件方程为：将已知高程和观测高差代入计算闭合差（单位mm），然后用矩阵表示如下：0321BAHhhhH0)(321321BAHhhhHvvv012111321vv

11、v30骄阳书苑（2）令1 km的观测高差为单位权观测，即 ，于是有 法方程系数为：由此得法方程为：解之得：iisp15.0,0.1,5.0321ppp51115.00.15.0111 11TaaAAPN0125ak4.21WNkaaa31骄阳书苑（3）根据改正数方程，可求得改正数为：（4）由此得高差的平差值为：即：8.44.28.44.21115.00.15.0 11KAPVT5072.25064.19992.0108.44.28.4512.2504.1004.1 3Vhhmhmhmh5072.25064.19992.0321，32骄阳书苑检核：将平差值代入条件方程进行检核，得 12.013-

12、0.9992+1.5064-2.5072-10.013=0（5）最后计算C和D点平差高程分别为：mhHHmhHHCDAC5202.120138.112133骄阳书苑基于参数的间接平差 间接平差概念间接平差法（参数平差法）间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。34骄阳书苑间接平差步骤1.根据平差问题的性质，确定必要观测个数，并选定t个独立量作为未知参数，并根据已知数据和观测值计算出参数的近似值。参数方程：近似值：ntnnn

13、nnttdXtXbXavLdXtXbXavLdXtXbXavL212222122211211111iiixXX035骄阳书苑误差方程2.将每一个观测量的平差值分别表达成所选未知参数的函数，即列出平差值方程，代入近似值后列出误差方程纯量形式：矩阵形式：ntnnnnttlxtxbxavlxtxbxavlxtxbxav2122221221121111111nttnnlXBV36骄阳书苑组成并解算法方程3.由误差方程的系数B与自由项l按最小二乘原理计算法方程系数阵和常数项，组成并解算法方程。误差方程的矩阵形式，满足该方程的解有无穷多组，为求解一组最优估值，根据最小二乘法原理，上式的未知参数必须在满足

14、的要求下求解由于t个参数独立，按数学中求自由极值的方法使 即：minPVVT022PBVXVPVXPVVTTT0PVBT37骄阳书苑 组成法方程：解算法方程：0)(1PlBXPBBTT011ttttbbWXNPBBNTttbbPlBWTt1PlBPBBWNXTTbbt111)(38骄阳书苑4.计算未知参数的平差值：5.计算观测值的平差值。iiixXX0VLL39骄阳书苑6.精度评定：（1）计算单位权中误差：tnPVVT040骄阳书苑6.精度评定：（2）计算未知数函数权倒数：未知数函数：线性化：矩阵形式：tX，X，X21ttXdXXdXXdXd0202101ttxfxfxfd2211xfdT 4

15、1骄阳书苑6.精度评定：（2）计算未知数函数权倒数：未知数协因素：精度矩阵：未知数的协因数阵等于法方程系数阵的逆。1111111)(bbbbTbbTTbbTbbXXNPBNPPBNPBNPPBNQttttttXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXQQQQQQQQQQ21222121211142骄阳书苑6.精度评定：（2）计算未知数函数权倒数：未知数函数权倒数：（3）计算未知数函数中误差：fPBBffNffQfQTTbbTXXT110Q43骄阳书苑高程网间接平差示例【例】在下图中，A、B为已知水准点，其高程HA=12013m，HB=10013m。为了确定C及D点高程，共观测了三个高差，高差观测

16、值及相应水准路线距离为：h1=1004m，S1=2km；h2=1504m，S2=1km；h3=2512m，S3=2km。试求C和D点高程的平差值。44骄阳书苑示例解算解：（1）此例n=3，t=2，故未知数的个数为2。不妨选取C、D两待定点高程平差值为未知数最或然值，则应列立3个参数方程：令未知数的近似值：BBDCDAACHXHHhXXHHhHXHHh2321211525.12009.1123202221110111xhHxxxXxhHxxxXBA45骄阳书苑示例解算并将其代入，误差方程为：矩阵形式：2321211 12 xvxxvxv0120101101321vvv46骄阳书苑示例解算（2）组

17、成法方程：令1km的观测高差为单位权观测，即p i=1/Si，于是有：p 1=0.5，p 2=1.0，p 3=0.5 法方程系数阵和常数项为：即法方程为 50.100.100.150.1PBBNTbb00.1200.12PlBWT000.1200.1250.100.100.150.121xx47骄阳书苑示例解算（3）求解上述法方程，求得未知数：（4）由误差方程求得改正数和平差值：高差的平差值为：mmxmmx8.4,8.421mmxvmmxxvmmxv8.4,4.212,8.42321211mhmhmh5072.2,5064.1,9992.032148骄阳书苑示例解算 检核：将平差值代入条件方程

18、进行检核，得0.9992+1.5064 2.5072+12.01310.013=0（5）计算高程平差值：mhHHmhHHCDAC5202.120138.112149骄阳书苑水准网间接平差总结未知数个数的确定水准网必要观测数t的确定与网中待定点个数有关，如果网中有已知高程的水准点，则必要观测数t就等于待定点的个数；如果无已知点，则等于全部点数减一，因为这一点的高程可以任意给定，以作为全网的基准，这并不影响网点高程之间的相对关系。实际水准网间接平差，一般就选取t个待定点高程作为未知参数，它们之间总是函数独立的。50骄阳书苑水准网间接平差总结 未知数的选择：未知数之间不能存在函数关系 如果在选定的t

19、个未知数中，存在着确定的函数关系式，则在这t个未知数中，必有1个未知数可以表达成其余未知数的函数。因而，它们就不是互为独立的自由变量。例如，在三角网间接平差中，若同时选取一个三角形3个内角未知数分别为，显然这3个未知数之间存在关系：。因此，3个角中的任一角都可以与其它两个角构成函数关系，只有其中2个未知数是独立的。总之，应当选择足够数量的、并且是互相独立的未知数。选择的未知数应便于判断是否独立，是否便于计算。51骄阳书苑水准网间接平差总结 误差方程列立的一般形式：参数方程如下：取未知数的近似值为：误差方程一般形式：ihjijjijiXhXjjjjjiiiiixHxXXxHxXX0000ijjiijlxxv00jijiijHhHl52骄阳书苑