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1、概率论与数理统计期末复习重要知识点一维 ： 1.离散型随机变量：设 X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或 可数无穷个，则称 X 为一个离散随机变量。2.常用离散型分布：(1) 两点分布(0-1 分布)：若 一 个 随 机 变 量 X 只 有 两 个 可 能 取 值 ， 且 其 分 布 为P X = x = p, P X = x = 1 - p (0 p 1)12则称 X 服从 x1, x2 处参数为 p 的两点分布。(0 p 0,k = 0,1,2,. 若一个随机变量 X 的概率分布为k !，则称 X服从参数为 的泊松分布，记为 XP ()PX = k = e-九,九 0,k
2、= 0,1,2,. 泊松分布的概率分布：k !4. 连续型随机变量：如果对随机变量 X 的分布函数 F(x) ，存在非负可积函数 f (x) ，使得对于任意实数，有FPX -/力，则称x为连续型随机变量，称f (x)为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。5. 常用的连续型分布：(1) 均匀分布：a x b，则称X在区间(a,b) 其它1若连续型随机变量x的概率密度为f( x)=ba 0,上服从均匀分布，记为 XU(a,b)均匀分布的概率密度：f(兀)=1 ,a x 00九0，则称 X 服从f (x)=指数分布的概率密度：九e九xx 0 九00指数分布的期望：E(X) + ;指数分布的方差：
3、D(X)二右(3)正态分布：g x 1_ (x -|l)2f (x) = _ e 2q 2 若连续型随机变量X的概率密度为如则称X服从参数为卩和Q $的正态分布，记为XN(卩,Q 2)1_ (x_U)2f (x) = e 正态分布的概率密度：2kq正态分布的期望：E(X)二卩；正态分布的方差：D(X)力2_ t2e _ 2 dtg1 1=C =1 申(x) = -;= e_ 2e(x) =-j= I x(4)标准正态分布：卩=0,Q2 =1，2兀2兀标准正态分布表的使用：1)x 0e(x) = 1e(x)X N (0,1)2)Pa x b = Pa x b = Pa x b =Pa x b =
4、 Q(b) _Q(a)X N(卩,Q 2), Y = X_ N(0,1),F(x) = PX x = PfX_ 口 =e(口)Q故Q Q Qpa x b=p 口 y 口=e (口)e (口)QQQQ定理 1：设 XN( , b 2)，则 Y 二宁 N(0,1)6. 随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称F(x)二PX - x为X的分布函数。分布函数的重要性质：0 F (x) 1Px X x = PX x - PX x = F(x ) - F(x )1 2 2 1 2 1x x n F (x ) F (x )1 2 1 2F (+8)= 1, F (g) = 07. 求离散型的随机变量函数、
5、连续型随机变量函数的分布(1) 由X的概率分布导出Y的概率分布步骤： 根据X写出Y的所有可能取值； 对Y的每一个可能取值yi确定相应的概率取值； 常用表格的形式把 Y 的概率分布写出(2) 由 X 的概率密度函数(分布函数)求 Y 的概率密度函数(分布函数)的步 骤：由X的概率密度函数fx(x)随机变量函数Y=g(X)的分布函数Fy(y) 由Fy(y)求导可得Y的概率密度函数(3) 对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法：定理1设随机变量X具有概率密度fx(x) x & (-8+8)，又设y=g(x)处处可 导且恒有g(x)0 (或恒有g(x) 0)，则Y=g(X)是一个连续型随机变量
6、，其 概率密度为f ( ) Jf h(y)l h(y)1, a y 卩y；其中x h(y)是y=g(x)的反函数，且a = min( g (8), g (+8),卩=max(g (8), g (+Q)二维 ：1.离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表:Xyiy2 y . j P X 二 x ix1piiP12 pi j Tp1 j-Ax2p21P22 p2 j 2 j/(2)要会在 X 与 Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余 数据；类似 P71 例 3(3)要会根据联合概率分布表求形如Pa X b c Y d的概率；4)要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协
7、方差、相关系数 等。2.二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度：设(X,Y)为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元F(x, y) j ff (s, t)dsdt函数f(x,y),使对任意实数(x,y)，有gg，则称(X,Y)为二维连续型随机变量。(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；(2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如PX Y等联合概率值；P64例3x, y(3) 要会根据联合概率密度求出 的边缘密度； 类似 P64 例 4(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。3.联合概率分布以及联合密
8、度函数的一些性质：w p = 1卜 J+8 f (x, y) dxdy = 1(1 )i j；( 2 )884.常用的连续型二维随机变量分布二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量(X,Y)f (x, y) = A( X，y)& G具有概率密度函数l0，则称(X,Y)在G上服从均匀分布。5.独立性的判断：定义:设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为Fx(X)，Fy(y),若对任意实数 x,y，有腮 我 y=腮 呵 y(1)离散型随机变量的独立性:由独立性的定义进行判断；所有可能取值W yj)，有PX 齐Z 产)PX( x PY) (yijip = p p， iji . j则 X 与 Y 相互独立。(2)连续型随机变量的独立性由独立性的定义进行判断；联合概率密度f (X，y )，边缘密度fx (x)，fY (y)冷,y有f(x，y) = fx人(y)几乎处处成立，则X与Y相互独立。(3)6相互独立的两个重要定理定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的 任 何 事 件 独 立 ， 即 ， 对 任 意 实 数 集 A ， B ， 有P X a g Y =B Pg X ag P X B定理2如果随机变量X与Y独立，则对任意函数gi(x)，g2(y)相互独立。
随机变量极其分布知识点
