第37课图形操作型问题

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1、1图形操作型问题的特点：问题给出一个情景，让图形操作型问题的特点：问题给出一个情景，让考生通过动手实验操作，仔细观察、发现，并加以猜考生通过动手实验操作，仔细观察、发现，并加以猜想，然后运用所学知识进行验证、归纳，最后得出正想，然后运用所学知识进行验证、归纳，最后得出正确结论，有时还要进行推广应用这类题型体现了数确结论，有时还要进行推广应用这类题型体现了数学问题探究的一般过程，遵循了实践学问题探究的一般过程，遵循了实践理论理论实实践的原则，有利于考生主动地进行观察、实验、猜测、践的原则，有利于考生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动验证、推理与交流等数学活动2操作、探究、猜想

2、与归纳问题的一般类型可分为操作、探究、猜想与归纳问题的一般类型可分为以下三种：以下三种：(1)侧重于折叠操作型探究；侧重于折叠操作型探究；(2)侧重于类比猜想型探究；侧重于类比猜想型探究；(3)侧重于动感型探究侧重于动感型探究(包括点动型、线动型、面动型包括点动型、线动型、面动型和体动型等和体动型等)3由于此类题型综合性强，思维能力要求高，常作由于此类题型综合性强，思维能力要求高，常作为压轴题来考查解决此类题型并无固定模式，它要为压轴题来考查解决此类题型并无固定模式，它要求考生具有较扎实的数学基本功、较强的观察力、丰求考生具有较扎实的数学基本功、较强的观察力、丰富的想象力及综合分析问题的能力解

3、题时要注意问富的想象力及综合分析问题的能力解题时要注意问题情景，把握操作探究过程中思维的严密性，注意寻题情景，把握操作探究过程中思维的严密性，注意寻找问题解决的切入口有时也可采用以下方法来寻找找问题解决的切入口有时也可采用以下方法来寻找突破口：突破口：观察猜想法；观察猜想法；针对特殊位置进行猜测归针对特殊位置进行猜测归纳；纳；类比猜想法类比猜想法类型一折叠操作型问题类型一折叠操作型问题【精选考题 1】(2012浙江衢州)课本中，把长与宽之比为 2的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：(1)将一张标准纸 ABCD(ABBC)对折，如图 371所示，所得的矩形纸片 ABEF 仍是标准纸，请给予证

4、明；(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片 ABCD(ABBC)进行如下操作：第一步：沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE(如图371甲)；第二步：沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 N 处，折痕为 DG(如图371乙)，此时点 E 恰好落在 AE 边上的点 M 处；第三步：沿直线 DM 折叠(如图 371丙)，此时点 G 恰好与点 N 重合请你探究：矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸？请说明理由；(3)不难发现：将一张标准纸按如图 371一次又一次对折后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸 ABCD，AB1，BC 2，

5、问：第 5 次对折后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第 2012 次对折后所得标准纸的周长图 371解析：(1)矩形 ABCD 是标准纸，BCAB 2.由对开知 AF12BC，ABAFAB12BC2ABBC22 2，矩形纸片 ABEF 仍是标准纸(2)是标准纸理由如下：设 ABCDa，由图形的折叠可知：DNCDDGa，DGEM，ABEAFE，DAE12BAD45.同理：ADG45.ADG 是等腰直角三角形，在 RtADG 中，AD AG2DG2 2a，ADAB2aa 2，矩形纸片ABCD 是一张标准纸(3)对开次数：第 1 次，周长为 2122，第 2 次，周长为 21222，第 3 次

6、，周长为 21224，第 4 次，周长为 21424，第 5 次，周长为 21428，第 6 次，周长为 21828，第 5 次对开后所得标准纸的周长为2 24，第 2012 次对开后所得标准纸的周长为1 221005.点评：(1)本题考查折叠问题，涉及的知识有全等三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形、矩形的性质、图形的拼接等，是一道几何压轴题，难度较大(2)解决本题的关键掌握翻折的性质，根据已知得出对开后所得标准低的周长变化规律名师点拨折叠操作型问题常从对称的角度入手：(1)折叠后的图形再展开，则所得的整个图形是轴对称图形，折痕是他们的对称轴；(2)折叠前后的两个图形全等，即图形在变换前后

7、的形状、大小都不发生变化【预测演练 11】将正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另一条对角线对折，如图 372所示最后将图 372的色纸剪下一纸片，如图所示若下列有一图形为图的展开图，则此图是()图 372答案：B【预测演练 12】已知纸片O 的半径为 2，如图 373，沿弦 AB折叠操作(1)折叠后的AB所在圆的圆心为 O时，求 OA 的长度；如图 373，当折叠后的AB经过圆心 O 时，求AOB的长度；如图 373，当弦 AB2 时，求圆心 O 到弦 AB 的距离；(2)在图 373中，再将纸片O 沿弦 CD 折叠操作如图 373，当 ABCD，折叠后的AB与CD所在圆外切于点

8、P 时，设点 O 到弦 AB，CD 的距离之和为 d，求 d 的值；如图 373，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB 的中点，点 N 为 CD 的中点，试探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论图 373解析：(1)折叠后的AB所在O与O 是等圆，OAOA2.当AB经过O 时，折叠后的AB所在圆心 O在O 上，如解图 1 所示，连结 OA，OA，OB，OB，OO.OOA 与OOB 为等边三角形，AOBAOOBOO6060120.lAOB120218043.(解图 1)(解图 2)如解图 2 所示，连结 OA，OB.OAOBAB2，AOB

9、 为等边三角形过点 O 作 OEAB 于点 E，则 OEOAsin 60 3.(2)如解图 3，当折叠后的AB与CD所在圆外切于点 P 时，过点 O 作 EFAB 交 AB 于点 H，交AEB于点 E，交 CD 于点 G，交CFD于点 F，即点 E，H，P，O，G，F 在直径 EF 上(解图 3)ABCD，EF 垂直平分 AB 和 CD.根据垂径定理及折叠，可知 PH12PE，PG12PF.又EF4，点 O 到 AB，CD 的距离之和 dPHPG12PE12PF12(PEPF)2.如解图 4，当 AB 与 CD 不平行时，四边形 OMPN 是平行四边形证明如下：设 O，O为APB和CPD所在圆

10、的圆心，(解图 4)点 O与点 O 关于 AB 对称，点 O与点 O 关于 CD 对称，点 M 为 OO的中点，点 N 为 OO的中点折叠后的APB与CPD所在圆外切，连心线 OO必过切点 P.折叠后的APB与CPD所在圆与O 是等圆，OPOP2，PM 平行且等于12OOON，即 PM 平行且等于 ON.四边形 OMPN 是平行四边形类型二类比猜想型问题类型二类比猜想型问题【精选考题 2】(2013北京)阅读下面的材料：小明遇到这样一个问题：如图 374，在边长为 a(a2)的正方形 ABCD 各边上分别截取 AEBFCGDH1，当AFQBGMCHNDEP45时，求正方形 MNPQ 的面积图

11、374小明发现：分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图374)请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为；(2)求正方形 MNPQ 的面积；参考小明思考问题的方法，解决问题：(3)如图 374，在等边ABC 各边上分别截取 ADBECF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边RPQ，若 SRPQ33，则 AD 的长为_解析：(1)a由图 374可知四个等腰直角三角形的斜边长均为 a，则斜边上

12、的高为12a，每个等腰直角三角形的面积为12a12a14a2，则拼成的新正方形的面积为 414a2a2，即与原正方形 ABCD 的面积相等这个新正方形的边长为 a.(2)四个等腰直角三角形的面积和为 a2，正方形 ABCD 的面积为 a2，S正方形MNPQSARESDWHSGCTSSBF4SARE412122.点评：(1)本题考查几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题，难度较大(2)解决本题的关键是运用等积变换的数学思想，这样不仅可以简化几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力(3)23如解图 5，分别延长 RD，Q

13、F，PE 交 FA，EC，DB 的延长线于点S，T，W.由题意易得：RSF，QET，PDW 均为底角是 30的等腰三角形，其底边长均等于ABC 的边长不妨设等边ABC 的边长为 a，则 SFACa.如解图 6，过点 R 作 RMSF 于点 M，则 MF12SF12a.在 RtRMF 中，RMMFtan3012a3336a，SRSF12a36a312a2.过点 A 作 ANSD 于点 N，设 ADASx，则 ANADsin3012x，SD2ND2ADcos30 3x，SADS12SDAN12 3x12x34x2.三个等腰三角形RSF，QET，PDW 的面积和3SRSF3312a234a2，正AB

14、C的面积为34a2，SRPQSADSSCFTSBEW3SADS，33334x2，得 x249，解得 x23或 x23(不合题意，舍去)，x23，即 AD 的长为23.名师点拨类比猜想型问题，要先仔细读懂题目所给的材料或所进行的操作及方法，然后进行类比迁移、合理猜想因此，掌握题中所给材料是解题的关键【预测演练 2】(1)对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘13，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点 P.点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B.如图 375，若点 A 表示的数是3，

15、则点 A表示的数是 0；若点 B表示的数是 2，则点 B 表示的数是 3；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重合，则点 E 表示的数是；图 375图 376(2)如图 376，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位(m0，n0)，得到正方形ABCD及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B.已知正方形ABCD内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F与点F 重合，求点 F 的坐标解析：(1)32点 A表示的数(3

16、)1310.设点 B 表示的数为 b，则有13b12，解得 b3.设点 E 表示的数为 e，则有13e1e，解得 e32.点 A表示的数是 0，点 B 表示的数为 3，点 E 表示的数是32.(2)由题意，得3am1，3am2，n2，解得a12，m12，n2.设点 F 的坐标为(x，y)，可得12x12x，12y2y，解得x1，y4.点 F 的坐标为(1，4)类型三动感探究型类型三动感探究型(包括点动型、包括点动型、线动型、面动型和体动型等线动型、面动型和体动型等)问题问题【精选考题 3】(2013浙江金华)如图 377，点 A 是 x 轴正半轴上的动点，点 B 的坐标为(0，4)，M 是线段

17、 AB 的中点，将点 M 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 F，过点 B作 y 轴的垂线与直线 CF 交于点 E，点 D 是点 A 关于直线 CF 的对称点，连结 AC，BC，CD，设点 A 的横坐标为 t.(1)当 t2 时，求 CF 的长；(2)当 t 为何值时，点 C 落在线段 BD 上？设BCE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；(3)如图 377，当点 C 与点 E 重合时，CDF 沿 x 轴左右平移得到CDF，再将 A，B，C，D为顶点的四边形沿 CF剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直

18、接写出所有符合上述条件的点 C的坐标图 377解析：(1)当 t2 时，OA2.点 B(0，4)，OB4.BAC90，BOA90，OBABAOBAOFAC90，OBAFAC.CFx 轴，AFC90，BOAAFC，ABOCAF.CFAOCAAB.ACAM12AB，CFAOCAAB12.AO2，CF1.点评：(1)本题主要考查坐标平面内几何图形的多种性质，难度较大(2)本题涉及到的知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换(旋转、平移、对称)、图形的剪拼、解方程等，非常全面；分类讨论的思想贯穿第(2)问和第(3)问，第(3)问还考查了几何图形的空间想象能力(3)本题涉及考点众多，内涵丰富

19、，对考生的数学综合能力要求较高(2)由(1)知ABOCAF，CFAOAFBOCAAB12.AOt，BO4，CF12t，AF2，FD2，ODt4.点 C 落在线段 BD 上，RtCFDRtBOD，FDODCFBO，即2t412t4，整理，得 t24t160，解得 t12 52，t22 52(舍去)当 t2 52 时，点 C 落在线段 BD 上当点 C 与点 E 重合时，CF4，可得 tOA8，此时BCE 不存在当 0t8 时，S12BECE12(t2)12t414t232t4.(3)点 C的坐标为：(12，4)，(8，4)，(2，4)理由如下：如解图 7，当 FCAF时，点 F的坐标为(12，0

20、)，(解图 7)根据CDFAHF，BCH 为拼成的三角形，此时 C的坐标为(12，4)；如解图 7，当点 F与点 A 重合时，点 F的坐标为(8，0)，根据OCABAC，OCD为拼成的三角形，此时 C的坐标为(8，4)；如解图 7，当 BCFD时，点 F的坐标为(2，0)，根据BCHDFH，AFC为拼成的三角形，此时 C的坐标为(2，4)名师点拨动感探究型常通过平移、旋转、相似及动点运动等动态过程创建一个探究问题的情景，解答过程中，常常需要分类讨论、自主探究和叙述推理，关键是掌握运动变化的特征，“动中找定”寻找问题中不变的量或等量关系【预测演练 31】如图 378，将边长为 a 的正六边形 A

21、1A2A3A4A5A6在直线 l 上由图的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当 A1第一次滚动到图的位置时，顶点A1所经过的路径长为()A.42 33aB.84 33aC.4 33aD.42 36a解析：连结 A1A5，A1A4，A1A3，作 A6CA1A5于点 C，如解图 8.A1A2A3A4A5A6为正六边形，A1A42a，A1A6A5120，CA1A630，A6C12a，A1C32a，A1A5A1A3 3a.当 A1第一次滚动到图位置时，顶点 A1所经过的路径分别是以 A6，A5，A4，A3，A2为圆心，a，3a，2a，3a，a 为半径，圆心角均为 60的五条弧，总长为42 33a.答案

22、：A【预测演练 32】如图 379，把含有 30角的三角尺 ABO 置于平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为(3，0)和(0，33)动点 P 从 A 开始沿折线AOOBBA 运动，点 P 在 AO，OB，BA 上运动的速度分别为 1，3，2(长度单位/s)一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以33(长度单位/s)的速度向上平行移动(即移动过程中保持 lx 轴)，且分别与 OB，AB 交于 E，F两点设动点 P 与动直线 l 同时出发，运动时间为 t(s)，当点 P 沿折线AOOBBA 运动一周时，直线 l 和动点 P 同时停止运动请解答下列问题：(1)求过 A，B 两点的直线解析式；(2)当

23、 t4 时，求点 P 的坐标，并求出当点 P 与点 E 重合时 t 的值；(3)作点 P 关于直线 EF 的对称点 P，在运动过程中，若形成的四边形 PEPF 为菱形，则 t 的值是多少？当 t2 时，是否存在点 Q，使得FEQBEP？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)设直线 AB 的解析式为 ykxb，由题意，得3kb0，b3 3，解得k 3，b3 3.直线 AB 的解析式为 y 3x33.(2)当 t3 时，点 P 到了点 O.当 t4 时，点 P 的坐标为(0，3)；当点 P 与点 E 重合时，可得33t 3(t3)，解得 t92.(3)当点 P 在线段 AO

24、上(即 0t3)时，过点 F 作 FGx 轴，垂足为G(如解图 9)OEFG，EPFP，EOPFGP90，EOPFGP，OPPG.又OEFG33t，FAG60，AGFGtan 6013t.APt，OP3t，PGAPAG23t，由 3t23t，得 t95.当点 P 在线段 OB 上(即 3t6)时，形成的是三角形，不存在菱形；当点 P 在线段 BA 上(即 6t9)时，过点 P 作 PHEF，PMOB，点 H，M 分别为垂足(如解图 10)OE33t，BE3333t，EFBEtan 603t3，MPEH12EF9t6.又BP2(t6)，在 RtBMP 中，BPcos 60MP，2(t6)129t

25、6，解得 t457.存在，理由如下：t2，OE233，AP2，OP1.将BEP 绕点 E 按顺时针方向旋转 90，得到BEC(如解图 11)OBEF，点 B在直线 EF 上过点 C 作 CC1EF 于点 C1，则由旋转 90可得CC1EPOE，CC1OP1，C1EOE233，点 C 的坐标为233，2331.过点 F 作 FQBC 交 EC 于点 Q，则FEQBEC.由BEFEBEFECEQE 3，可得点 Q 的坐标为23，33.根据对称性可得，点 Q 关于直线 EF 的对称点 Q23，3也符合条件按时完成全程跟踪训练按时完成全程跟踪训练37，全面提升自我！，全面提升自我！单击此处进入全程跟踪训练单击此处进入全程跟踪训练37