数学建模A题系泊系统设计[试题大类]

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1、系泊系统的设计摘要本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。求解的具体流程如下：针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在时能够正常工作。为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界

2、角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例， 当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。关键词：悬链线 多目标非线性规划一、问题重述近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，

3、浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较

4、差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾

5、斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。二、模型假设1.不考虑流体对锚链的作用，忽略锚链本身的伸长，锚链沿长度均匀分布；2.假设风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的分量；三、符号说明符号含义浮标的浮力钢管的浮力钢桶的浮力重物球的浮力近海风荷载浮标近海水流力钢桶近海水流力重物球近海水流力浮标重力钢管重力钢桶重

6、力重物球重力锚链重力浮标游动区域h浮标吃水深度四、问题分析4.1 问题一分析问题一对于系泊系统的受力物体进行分析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。4.2 问题二分析问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在时能够正常工作。为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入

7、海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确定满足条件的重物球的质量范围。4.3 问题三分析问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例， 当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。五、模型建立与求解5.1 问题一模型5.1.1问题分析 问题一, 系泊系统整体受力平衡，浮标受到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其

8、等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，最后利用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度,从而求出结果。5.1.2模型建立Step1.系泊系统受力分析对于浮标，它受到水的浮力，自身重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。此题中海水静止，故所有近海水流力为0。将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向上进行分解，具体受力如图所示，由浮标所受的力平衡得到：图 浮标受力分析图式中，、分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为，后续第节钢管对第k节钢管的力为，将钢管的力进行分解，钢管的受力情况如图所示，因此： 图 钢管受力分析图式中，为钢管收到的浮力，由于钢管体积较小

9、，在水中钢管的浮力与重力相比很小，可忽略不计；，分别为第k跟钢管对前一根钢管在水平方向和竖直方向的分力。对于钢桶，它受到第四根钢管的力，水的浮力，自身重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，具体受力如图所示，则：图 钢桶受力分析图式中，和分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力分析可得：其中，S为物体在风向法平面的投影面积，v为风速。由竖直方向受力分析得：设浮标的吃水深度为h，则：其中，为海水密度，题中为；为重力加速度，本题取；为浮标底面积半径，本题中为；为浮标质量，为；为每节钢管的质量，为；为重物球的质量，本题中为，为钢桶底面半径，为钢桶的长度，钢

10、管长度与钢桶相等。将重物球当作铁球处理，则重物球的密度为，由题中已知条件可知，可以递推出：Step2. 悬链线模型对于锚链，假设其质量分布均匀，可以将锚链作为悬链线处理，从而做出以下分析,由静力学平衡条件可知，在坐标系中，锚链水平分立和垂直分力的代数和为0，可以得到：图 锚链受力分析图式中，表示锚链对钢桶的拉力，、分别表示锚链的水平分力与竖直分力，表示锚链的重力，为锚链任一点与水平方向的夹角。因此，可推导出：表示锚链单位长度的质量，即线密度；为锚链在水中未触碰海底的长度。由曲线几何关系和力学关系及悬链线模型可求得，导线任一点的斜率为：式中,x、y分别表示锚链在水平方向和竖直方向的投影长度。对两

11、式分别进行积分，并用临界点数据()来确定积分常数，则可得，进一步可求得方程：其中Step3.力矩分析平衡对于钢管，由于钢管的力矩平衡，可以得到：其中，表示分别表示第k根钢管的倾斜角度，为水流对钢管的力，则：即为：式中，分别是钢管的倾斜角度（k取1，2，3，4），根据题中的数值，可以得到以下公式：代入数值后可求出钢管相应的倾斜角度。对于钢桶，由钢桶的力矩平衡，可以得到：其中，表示分别表示钢桶的倾斜角度，于是：带入数值得：式中，是钢桶的倾斜角度，由题中给出的数据可以计算出钢桶的倾斜角度。5.1.3模型求解求解不同风速条件下系泊系统的状态，需要先求出系统的临界条件，即锚链与海床相切时的风速，然后将此

12、临界风速与题目中所给风速进行比较，判断锚链的状态，最终求出不同风速下系泊系统的状态。Step1.临界条件当系统处于临界状态时，锚链与海床底部相切，此时，锚链全部抬起且对锚无拉力，。取锚链以上的部分进行受力分析，设锚链以上部分竖直高度为，由受力分析模型得：由模型中的公式可以得到，此式是关于临界风速的表达式。设锚链的竖直高度为y，可以得到：由题中已知条件可知，水深为,则：取锚以上部分进行分析，由系统受力平衡可得，锚以上部分重力与浮力相等，由此可得：将题中各数值代入公式，编程可求得。Step2.风速为时由于风速小于临界速度的值，所以当风速为时，锚链与海底接触。此时，竖直方向上的受力，可以得到：由悬链

13、线模型可以得到，解得：因此：由题中已知条件可知，水深为,则：由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=0.688994。浮标的游动区域由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动区域为则可以得到：由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度可以求得，浮标游动区域大小。由钢管与钢桶的受力分析可以求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。表 12m/s时钢管及钢桶倾斜角度物体倾斜角度第一节钢管1.136638第二节钢管1.146308第三节钢管1.155913第四节钢管1.165680钢桶1.109907Step3. 风速为时由于风速大于临界速度的

14、值，所以当风速为时，锚链完全倾斜。此时，锚链倾斜的长度。由临界条件中锚以上部分重力与浮力相等，即：代入数值得：可求得的值。由浮标，钢桶，钢管水平受力分析可得：由悬链线模型可得：由题中已知条件可知，水深为,则：由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=0.703525。浮标的游动区域由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动区域为则可以得到：由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度可以求得，浮标游动区域大小you=17.521641。钢管与钢桶的受力分析可以求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。表 24m/s时钢管及钢桶倾斜角度物体倾斜

15、角度第一节钢管4.321599第二节钢管4.368671第三节钢管4.403959第四节钢管4.439822钢桶4.2347445.2 问题二模型5.2.1问题分析问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在时能够正常工作。为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。5.2.2模型建立Step1. 受力分析与数据由于风速大于临界速度的值，所以当风速为时，锚链完

16、全倾斜，锚链倾斜的长度。此时，钢管和钢桶的倾斜角度，锚链形状，浮标的吃水深度以及游动区域都可以通过问题一中的模型计算。此题中海水静止，故所有近海水流力为0。Step2. 重物球质量求解模型（1）钢桶倾斜角度为临界角度时当浮筒倾斜角度时，由悬链线模型可以得到：由问题一分析可得:代入数值得到：可解得浮标吃水深度。表示重物球质量，本题中未知。由浮标，钢桶，钢管水平受力分析可得：由临界条件中锚以上部分重力与浮力相等，即：则：由悬链线模型可得：由题中已知条件可知，水深为,则：根据浮标的吃水深度，由二分法可求出重物球的质量。（2）浮标没入海面时当浮标完全没入海面时，风荷载对浮标无作用力，系泊系统水平方向不

17、受力，则钢管与钢桶，锚链均呈竖直状态，倾斜角度为0，即：此时浮标的吃水深度即为圆柱体的高度：锚链以上部分的竖直高度为：由题中已知条件可知，水深为,则：可以求得，锚链在水中的部分长度为：取锚以上部分进行分析，由系统受力平衡可得，锚以上部分重力与浮力相等，由此可得：则重物球的重力为：代入数据得：5.2.3 模型求解Step1. 计算时物体的状态当风速为时，由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=0.703525。浮标的游动区域由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动区域为则可以得到：由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度可以求得，浮标游动

18、区域大小。钢管与钢桶的受力分析可以求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。表 36m/s时钢管及钢桶倾斜角度物体倾斜角度第一节钢管8.987921第二节钢管9.170037第三节钢管9.240551第四节钢管9.312162钢桶8.901957锚链在锚点与海床的夹角19.422643由题中已知数据，钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度，计算结果均大于题目要求，故应调整重物球的质量。Step2.计算重物球的质量范围当钢桶的倾斜角度为5度时，由模型可求得：kg由题中已知条件可知，水深为,则：由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度。锚链在锚点与海床的夹角。当浮标完全

19、没入海面时因此，重物球的质量范围为。显然，由题意可知，随着重物球质量的增大，钢管与钢桶的倾斜角度和锚链在海床的夹角都不断减小。因此，假设锚链在锚点与海床的夹角，重物球的质量小于钢桶倾斜角度为5度时重物球的最小质量，此时钢桶倾斜角度大于5度，假设不成立。可以得出，题中所求重物球的质量范围是重物球的最大质量范围。5.3 问题三模型5.3.1问题分析问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设

20、计。5.3.2 模型建立Step1. 系统受力分析此题中，系统收到近海风荷载与近海水流力两个外力，且外力随风速大小与水流速大小的变化而变化。系统中各物体受力情况与模型一相同，结合已知条件，可判断设计系泊系统。Step2. 确定目标函数根据题中要求，为了使通讯设备效果最好，浮标吃水深度，游动区域与钢桶倾斜角度应该最小，故本文中确定的优化目标为三个。（1）浮标吃水深度（2）浮标游动区域（3）钢桶倾斜角度Step3. 确定限制条件5.3.3 模型求解正文六、模型评价（优点与缺点）七、参考文献1悬链线方程， qq-pf-to=pcqq.c2c，2017年8月16日2 夏运强, 浮筒式防风单点系泊系统研

21、究与应用,2007年6月1日34附录一三角函数值表角度正弦值（sin）正切值(cos)10.0174524060.01745506520.0348994970.03492130.0523359560.05240777940.0697564740.06992681250.0871557430.08748866460.1045284630.10510423570.1218693430.12278456180.1391731010.14054083590.1564344650.15838444100.1736481780.176326981110.1908089950.194380309120.20

22、79116910.212556562130.2249510540.230868191140.2419218960.249328003150.2588190450.267949192附录二 临界速度程序p=1025;g=9.8;s=22.05;L=(1000+40+1300+22.05*7-120/786*p-0.152*p*pi)/(pi*p);symsv;fx=1.25*(2-L)*v*v;a=pi*p*g*L;f0=a-1000*g;f1=a-1010*g;f2=a-1020*g;f3=a-1030*g;f4=a-1040*g;f5=a-2340*g+120/786*p*g+0.152*p

23、i*g*p;%F=f0,f1,f2,f3,f4,f5;tan1=fx/(a-1005*g);cos1=sqrt(1/(1+tan12);sin1=sqrt(tan12/(1+tan12);tan2=fx/(a-1015*g);cos2=sqrt(1/(1+tan22);sin2=sqrt(tan12/(1+tan12);tan3=fx/(a-1025*g);cos3=sqrt(1/(1+tan32);sin3=sqrt(tan12/(1+tan12);tan4=fx/(a-1035*g);cos4=sqrt(1/(1+tan42);sin4=sqrt(tan12/(1+tan12);tan5=

24、fx/(a-1090*g+60/786*p*g+0.5*0.152*pi*g*p);cos5=sqrt(1/(1+tan52);sin5=sqrt(tan12/(1+tan12);fL=L+cos1+cos2+cos3+cos4+cos5;x=fx/(7*g)*asinh(s*7*g/fx);y=sqrt(s2+(fx/(7*g)2)-fx/(7*g);ff=y+fL-18;%fplot(ff,23,25);g=matlabFunction(ff);v,k=eff(g,23,25)附录二 风速为时p=1025;g=9.8;v=12;symsL;fx=1.25*(2-L)*v*v;a=pi*p*

25、g*L;f0=a-1000*g;f1=a-1010*g;f2=a-1020*g;f3=a-1030*g;f4=a-1040*g;f5=a-2340*g+120/786*p*g+0.152*pi*g*p;%F=f0,f1,f2,f3,f4,f5;tan1=fx/(a-1005*g);cos1=sqrt(1/(1+tan12);sin1=sqrt(tan12/(1+tan12);tan2=fx/(a-1015*g);cos2=sqrt(1/(1+tan22);sin2=sqrt(tan12/(1+tan12);tan3=fx/(a-1025*g);cos3=sqrt(1/(1+tan32);sin

26、3=sqrt(tan12/(1+tan12);tan4=fx/(a-1035*g);cos4=sqrt(1/(1+tan42);sin4=sqrt(tan12/(1+tan12);tan5=fx/(a-1090*g+60/786*p*g+0.5*0.152*pi*g*p);cos5=sqrt(1/(1+tan52);sin5=sqrt(tan12/(1+tan12);fL=L+cos1+cos2+cos3+cos4+cos5;s=f5/(7*g);x=fx/(7*g)*asinh(s*7*g/fx);y=sqrt(s2+(fx/(7*g)2)-fx/(7*g);ff=y+fL-18;fplot

27、(ff,0.6,0.8);g=matlabFunction(ff);%h,k=eff(g,0.6,0.64)%结果是0.62，带入求得s为负值，舍去h,k=eff(g,0.68,0.72);x=vpa(subs(x,h);s=vpa(subs(s,h);y=vpa(subs(y,h);fL=vpa(subs(fL,h);%vpa(subs(F,h)tan1=(subs(tan1,h);a1=vpa(atan(tan1);tan2=subs(tan2,h);a2=vpa(asin(tan2);tan3=subs(tan3,h);a3=vpa(asin(tan3);tan4=subs(tan4,h

28、);a4=vpa(asin(tan4);tan5=subs(tan5,h);a5=vpa(asin(tan5);ha=vpa(a1,a2,a3,a4,a5*180/pi)you=22.05-s+x+vpa(subs(sin1+sin2+sin3+sin4+sin5,h)附录三 风速为时p=1025;g=9.8;v=36;s=22.05;symsL;fx=1.25*(2-L)*v*v;a=pi*p*g*L;f0=a-1000*g;f1=a-1010*g;f2=a-1020*g;f3=a-1030*g;f4=a-1040*g;f5=a-2340*g+120/786*p*g+0.152*pi*g*p

29、;tan1=fx/(a-1005*g);cos1=sqrt(1/(1+tan12);sin1=sqrt(tan12/(1+tan12);tan2=fx/(a-1015*g);cos2=sqrt(1/(1+tan22);sin2=sqrt(tan12/(1+tan12);tan3=fx/(a-1025*g);cos3=sqrt(1/(1+tan32);sin3=sqrt(tan12/(1+tan12);tan4=fx/(a-1035*g);cos4=sqrt(1/(1+tan42);sin4=sqrt(tan12/(1+tan12);tan5=fx/(a-1090*g+60/786*p*g+0.

30、5*0.152*pi*g*p);cos5=sqrt(1/(1+tan52);sin5=sqrt(tan12/(1+tan12);fL=L+cos1+cos2+cos3+cos4+cos5;fy=-(1000+40+1300+22.05*7-120/786*p-0.152*p*pi-pi*p*L)*g;c0=fx/(7*g);c1=asinh(fy/fx);c2=-c0*cosh(c1);x=fx*asinh(s*7*g+fy)/fx)/(7*g)-c0*c1;y=fx/(7*g)*sqrt(1+(fy+7*s*g)/fx)2)+c2;ff=y+fL-18;%fplot(ff,0.7,0.8);

31、g=matlabFunction(ff);h,k=eff(g,0.7,0.8);x=vpa(subs(x,h)y=vpa(subs(y,h)%x=vpa(subs(c0*(acosh(y-c2)/c0)-c1),h)fx=vpa(subs(fx,h);fy=vpa(subs(fy,h);fL=vpa(subs(fL,h);tan1=(subs(tan1,h);a1=vpa(atan(tan1);tan2=subs(tan2,h);a2=vpa(asin(tan2);tan3=subs(tan3,h);a3=vpa(asin(tan3);tan4=subs(tan4,h);a4=vpa(asin(tan4);tan5=subs(tan5,h);a5=vpa(asin(tan5);a=vpa(a1,a2,a3,a4,a5*180/pi)you=x+vpa(subs(sin1+sin2+sin3+sin4+sin5,h)vpa(subs(sin1+sin2+sin3+sin4+sin5,h);%y+fL;vpa(subs(fy/fx,h)*180/pi) 钢桶22a教育试题