实数的基本定理

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1、第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理确界原理2数列的单调有界定理3区间套定理4聚点定理致密性定理5数列柯西收敛准则6有限覆盖定理定理（确界原理）设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界. 定理单调有界数列必收敛.证明 不妨设七为有上界的递增数列.由确界原理，数列七有上确界，记a = sup，.下面证明 a就是七的极限.事实上，任给 0，按上确界的定义，存在数列七中某一项七，使得a s N时有a 一 a a .另一方面，由于a是 七的一个上界，故对一切an都有an a N时有a 一 a a + ，即lim七=a .同理可

2、证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界. ns（区间套定理）若也,b是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点&，使得&虹,bn ，n = 1,2,，即a b ， n = 1,2,.（2）证由（1）式，上为递增有界数列，依单调有界定理，上有极限&，且有a” & ,n = 1,2,.（5）联合（3）、（5）即得（2）式。最后证明满足（2）的&是唯一的。设数。也满足a & b ,n = 1,2,则由(2)式有|&-E|V b - a , n = 1,2, .由区间套的条件(ii)得|&|0,存在N0,使得当n N时有a,bu u(&； a致密性定理定义2 设S为数轴上的点集，&为定点(它

3、可以属于S,也可以不属S). &的任何邻域内都含有S中无 穷多个点，则称&为点集S的一个聚点.等价定义如下：定义2对于点集S,若点&的任何邻域内都含有S中异于&的点，即U 0(&; ) n S尹中，则称&为S 的一个聚点.定义2” 若存在各项互异的收敛数列hju S，则其极限lim七=&称为S的一个聚点nT8现证定义2 n定义2”设&为S(按定义2)的聚点，则对任给的 0，存在x e U。(&; )n S .令 1 = 1，则存在气 e U。(&;n S ；令 = minf -1, & x |)，则存在 x e U。(&;)n S，且显然 x 丰 x ；令n=min k IB-I 2 k 21

4、 )2221则存在x e U。(&; )n S，且x与工，,x 互异。nnn 1n 1易见limx =&。n nT8无限地重复以上步骤，得到s中各项互异的数列，且由&- xj n 0，使得S uL M,M ，记、 =1 M,M 现将虹b1 等分为两个子区间.因 S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为a, b 1则a, b q a, b 且221122b - a = 2 (b - a )= M再将la2,b2等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为a, b ，则a, b l a, b ，且332233我 y )mb -

5、 a = 2 b - a )=二将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列&,bn ，它满足,b la ,b ,n = 1,2, ,b - a = 0 (n 8)n n2 n-1即也,bn是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点 an, bn ，n = 1,2,，.于是由定理5的推论，对任给的 0， 存在N 0，当n M时有a,b”u U&;).从而U&;8)内含有S中无穷多个点，按定义2，&为S的一个聚点.推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.证 设匕为有界数列.若匕中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数 列总是收敛的

6、.若电不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集 至少有一个聚点，记为&。则存在上的一个收敛子列(以&为其极限).推论 若h 是一个无界数列，则存在子列X 8。 nnk证明取界为k ,则存在着一个项X位于工 之后，则有X k。(前面有限个项是有界的)。nknk-1nkCauchy 收敛原理数列 x 收敛 o Vs 0, BN e N*,当n, m N 时，有 |x x |N 时有|a - a | 1.由此得 |a 1 = la -a + a a -a + la la+1.令N+1N+1 n N+N+1N+1 则对一切正整数n均有|。| 0,存在K0,当”

7、nkk T8 nkm,n,kK时，同时有a广a 2(由柯西条件)，ank-A k K )时，得到a - annk这就证明了 lim a = A.n3 n(海涅一博雷尔(HeineBorel)有限覆盖定理)设H为闭区间la,b的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖a, b证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用h中有限个开区间来覆盖a,b.将a,b等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为a , b ，则 a , b u a,混，且 b - a =1 (b -a).1111112再将|a1,七等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不

8、能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为 a , b ，则a , b u a , b ，且 b - a =一G - a). 2222112222重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列也，b ，它满足 ,bd a ,b ， n = 1,2, , b - a = 2- (b - a) 0(n 3)即也,bn 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖由区间套定理，存在唯一的一点&4, b), n = 1,2,.由于H是b, b，的一个开覆盖，故存在开区间(a,p)eH， 使e(a, p).由定理5推论，当n充分大时有a ,bu (a,p)这表明a, b只须用h中的一个开

9、区间(, p)就能覆盖，与挑选a, b 时的假设“不能用h中有限个开 n nn n区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于h的有限个开区间能覆盖a, bi有界性定理若函数f在闭区间a,对上连续，则f在a,功上有界.证证法一（应用致密性定理）倘若f在a, b上无上界，则对任何正整数n，存在xnea, b，使得 f匕） n .依次取n = 1,2,，则得到数列（xju, b.由致密性定理，它含有收敛子列，记limx =&。由a x b及数列极限的保不等式性， & a,b.利用f在点&连续，推得e源nklim f x = f G ） nk k t +8 n lim fkk T8k)=+8k T8nk,

10、与（i）式矛盾.所以f在a, n有上界.类似可证f在a, n有下界，从而f在a,混上有界.U(x;6 x,)及正数Mx,使得 If (x)| M,x e U(x;6 ,) D la,b x e a, bV,证法二（应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性（定理4. 2）,对每一点xfea, b都存在邻域考虑开区间集 H = U（x;6 ,）|x显然H是a,b的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集H* = UG;8 .x e a,b|i = 1,2,.,J覆盖了 a,b，且存在正数 M ,M，,M，使得对一切 x e U(x ;6)D la,b有|f (x) M ,i = 1,2

11、，,k.12ki i令 M = max M ,1ik 1则对任何x e,b，x必属于某U（xi;5 i ）n| f （x） M M .即证得f在,b上有界.注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。定理若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大值与最小值.证（应用确界原理）已证f在a,b上有界，故由确界原理，f的值域f （|a,bD有上确界，记为M .以下我们证明：存在&ea, b，使f）= M .倘若不然，对一切x ea, b都有fG） M .令g(x)=,x e a,bM - f (x)易见g在a, b连续，故g在a, b有上界.设g是g的一个上界，则0 g (x) = G,

12、x e a, bM - f (x)从而推得f G)v M -, x e a, bG但这与M为f da,bD的上确界矛盾.故必存在& e la,b，使f G )= M，即f在la,b上有最大值，同理可证 f在a, n上有最小值.零点存在性定理与介值性定理定理3 f (x)在闭区间a, b连续，且f (a)f (b)0，则f (x) = 0在(a,b)内至少有一个根。定理4设函数f在闭区间侦b上连续，且f (a)。f (b).若r为介于f (akf (b)之间的任何实数，则存e (a,b),使得 f (x o )=R证证法一(应用确界原理)不妨设f (a)r 0.于是定理的结论转化为：存在xo产(

13、a,b)，使得 g(x0 )= 0 . 这个简化的情形称 为根的存在性定理.记E = gG) 0,x e a,b* 显然E为非空有界数集(Eub,b且b eE)，故由确界原理，E有下确界，记x=infE.因g v 0,g (b ) 0，由连续函数的局部保号性，存在5 。，使得在,。+ 8)内g G) 0，由此易见x0下证 g(x )= 0 .倘若 g(x )。0 , 00。a, x 。b，即 x不妨设g (x ) 0,0e(a, b ).则又由局部保号性，存在小史侦b)，使在其内g(x) 0，特别有g x J但这与=瑚E正相矛盾，故必有g(x0 )= 0 .证法二(应用区间套定理)同上述证法一

14、，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g在a,b 上连续，g(a) 0，则存在x0 e (a,b)，使得g 1)= 0 .将侦b等分为两个子区间侦c与b, c.若g (c )= 0，则c即为所求；若g G)。0，则当g (c ) 0时记匕,b =侦c，当g(c) 0时记a ,b u a,bb -a =LG-a).1 1112再从区间|a1,出发，重复上述过程，a ,b ，满足 g(a ) 0，且2 222a ,b u a ,b b - a = (b - a) 22112222将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：(1)在某一区间的中点七上有g(ci)= 0，则c即为所求;a1,

15、b1 =C, b。于是有g(a1 ) 0，且得到：或者在a ,b 的中点c上有g(c )= 0，或者有闭区间1111(2)在任一区间的中点c上均有g 1)。0，则得到闭区间列也，b E满足g (a ) 0,且iin nnna ,bu a ,b b - a = 2- (b - a)n = 1,2,.由区间套定理，存在点xe la, b 1 n = 1,2, .下证.g (x)=0，倘若g (x)。0，不妨设g (x)0，则0 n n000由局部保号性，存在U(x0；8)使在其内有g (x ) 0 .而由定理7.1的推论，当n充分大时有a ,b u U(x ;5 )，因而有g(a ) 0 .但这与

16、a ,b 选取时应满足的g(a ) 0,对任何5 0,都存 在相应的两点x,x e la,b,尽管|x，-x| 5 ,但有f (x )f 5 圣 0.令5 = (n为正整数)，与它相应的两点记为x,x e ,b，尽管x 0.(3)当n取遍所有正整数时，得数列(x与xffu a,b.由致密性定理，存在(x的收敛子列C ，设 nnnnkx x E a, b (k T8).同时由nkx，- x”nknknk又得x - x (8)。nk0+ xf x 0nk0(k 8)最后，由(3)式有)- 0，在上式中令kT+8，由f的连续性及数列极限的保不等式性，得到nn 0kk这与0 0相矛盾.所以f在a,b上

17、一致连续.0 kT80 = | f (x0) f (x0 ) = lim |f (x: ) f (x：)证法二(应用有限覆盖定理)由f在a, b上的连续性，任给 0，对每一点x e la, b，都存在5 x0，使得当 x 七 U (x;5 x)时有|f G，)一 f (x )-2. (2)考虑开区间集合H = u尤,? |x e a,b显然H是,b的一个开覆盖.由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集I 02 I1i k.此时有lx xi |x一 X + x一 X Ii对任何X, xe la, b, xr - x|5, X必属于H *中某开区间，设Xe U x二 即|X x |vI i 2 ；2故由(2 )式同时有| fG )一 f GJ 2 和f (x )- f GJ 2由此得I f (x)- f (x ) .所以f在a, b上 一致连续.