第2章信号转换与z变换

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1、目 录第2章 信号转换与z变换222.1 引言222.2 信号变换原理222.2.1 计算机控制系统信号转换分析222.2.2 采样过程及采样函数的数学表示242.2.3 采样函数的频谱分析及采样定理252.2.4 采用周期T的讨论282.3 采样信号恢复与保持器302.3.1 零阶保持器312.3.2 一阶保持器342.4 信号转换的工程化技术362.4.1 A/D转换的基本工程化技术362.4.2 D/A转换的基本工程化技术402.5 z变换442.5.1 z变换的定义442.5.2 z变换方法452.5.3 z变换的基本定理512.6 z反变换572.6.1 长除法572.6.2 部分分

2、式法582.6.3 留数法612.7 扩展z变换642.7.1 扩展z变换定义642.7.2 几种典型函数的扩展z变换66本章小结69习题与思考题70第2章 信号转换与z变换2.1 引言计算机控制系统是一个模拟与数字信号混合的系统，信号变换问题既出现在控制系统的正向通道，也出现在控制系统的反馈通道。在信号变换中，计算机控制系统采样理论以香农采样定理为基础，本章用z变换和z反变换的数学方法来描述变换过程，用频谱分析的方法，讨论信号变换的可行性和可靠性，由此得到可以表征计算机控制系统信号的数学表达方法。本章概要 2.1介绍本章所要解决的基本问题和研究内容；2.2节基于香农采样定理讨论了信号采样问题

3、，并对计算机控制系统采样周期T进行了讨论；2.3节对采样信号恢复与保持器的性质进行了频域分析；2.4节讨论A/D、D/A的技术指标及信号转换的工程化问题；2.5节和2.6节介绍z变换与z反变换的定义、变换方法和定理；2.7节重点讨论采样点之间信号的变换问题，即超前和滞后扩展z变换问题。2.2 信号变换原理2.2.1 计算机控制系统信号转换分析前面已提到计算机进行运算和处理的是数字信号，而实际系统大部分是连续系统，连续系统中的给定量、反馈量及被控对象都是连续型的时间函数，把计算机引入连续系统，这就造成了信息表示形式与运算形式的不同，为了设计与分析计算机控制系统，就要对两种信息进行变换。首先，用结

4、构图2.1来说明计算机控制系统的信息转换关系。图中：（1）模拟信号：时间上连续，幅值上也是连续的信号，即通常所说的连续信号。（2）离散模拟信号：时间上离散而幅值上连续的信号，即常说的采样信号。（3）数字信号：时间上离散而且幅值上也离散（已经量化）的信号，可用一序列数字表示。（4）量化：采用一组数码（多用二进制数码）来逼近离散模拟信号的幅值，将其转换成数字信号。（5）采样：利用采样开关，将模拟信号按一定时间间隔抽样成离散模拟信号的过程。图2.1 计算机控制系统前后的信号转换关系计算机前后信息的转换过程是将模拟信号，经过按一定周期闭合的采样器，变成离散模拟信号，经过A/D转换器，就转换成数字信号了

5、，计算机将输入的数字信号进行运算与处理，输出数字信号，再送到D/A转换器，经D/A转换器变成被控对象可以接受的连续模拟信号，即通常所说的模拟控制信号。为了对控制系统进行分析与运算，常需把图2.2变换成能够进行数学运算的结构图2.3。这里假设A/D转换有足够的精度，因此由A/D转换器形成的量化误差在数学上是可以不计的，这样可以把采样器和A/D转换器用周期为的理想采样开关代替。该采样开关在不同采样时刻的输出脉冲强度（又称脉冲冲量），表示A/D转换在这一时刻的采样值。这样采样函数可以用，及表示，* 号表示离散化的意思。数字计算机用一个等效的数字控制器来表示，令等效的数字控制输出的脉冲强度，对应于计算

6、机的数字量输出。计算机的输出通道D/A转换器的作用是把数字量转化成模拟量，D/A转换器在精度足够高的情况下（通常也是满足的），数学上可用零阶保持器来代替。图2.2所示为由计算机作为控制器的计算机控制系统，在数学上可以等效成为一个典型的离散控制系统。在上述假定下，分析和研究离散控制系统的方法可以被直接应用于计算机控制系统。若整个采样过程中采样周期不变，这种采样称为均匀采样；若采样周期是变化的，称为非均匀采样；若采样间隔大小随机变化，称为随机采样。若一个系统里，各点采样器的采样周期均相同，称为单速率系统。若各点采样器的采样周期不相同，则称为多速率系统。本书只讨论单速率采样。 图2.2 计算机控制系

7、统结构示意图2.2.2 采样过程及采样函数的数学表示计算机控制系统中，把一个连续模拟信号，经采样开关后，变成了采样信号，即离散模拟信号，采样信号再经过量化过程才变成数字信号，如图2.3所示。图2.3 信号的转换过程图2.3(a)是采样开关，每隔一定时间（例如秒），开关闭合短暂时间（例如秒），对模拟信号进行采样，得到时间上离散数值序列：式中，为采样周期；0，1，2为采样时刻；表示采样时刻的数值。由于实际系统 时，所以从开始采样是合理的。如果采样周期比采样开关闭合时间大得多，即，而且比起被控对象的时间常数也非常小，那么认为。这样做是为了数学上的分析方便，因为以后要用到的z变换与脉冲传递函数在数学上

8、只能处理脉冲序列，因此引入脉冲采样器的概念，脉冲采样器工作过程如图2.4所示。图2.4 经脉冲采样器的调制过程给脉冲采样器输入一个连续函数，经脉冲采样器调制后输出一采样函数（图中，称为单位理想脉冲序列，它是一个以为周期的周期函数）。采样函数表达式为： （2.1）式中：-整数；-采样周期；-理想单位脉冲； -时刻的理想单位脉冲，它定义为： （2.2）且冲量为1，即： （2.3）式（2.2）中，当时，因此在时的取值大小没有意义了，所以式（2.1）可以改写为： （2.4）这就是理想脉冲采样函数的数学表达式。此式的物理意义可以这样理解：采样函数为一脉冲序列，它是两个函数的乘积，其中仅表示脉冲存在的时刻

9、，冲量为1，而脉冲的大小由采样时刻的函数值决定。 需要指出，具有无穷大幅值和时间为零的理想单位脉冲纯属数学上的假设，而不会在实际的物理系统中产生。因此，在实际应用中，对理想单位脉冲来说，只有讲它的面积，即冲量或强度才有意义，用式（2.3）表示。 式（2.4）中，是采样值，可以看作是级数求和公式里对脉冲序列的加权系数，即是在时刻的脉冲冲量值，或称为脉冲强度。2.2.3 采样函数的频谱分析及采样定理采样函数的一般表达式为 （2.5）又因为，是周期函数，可以展成傅氏级数（Fourier），它的复数形式为 （2.6）式中：为采样角频率；为傅氏系数，它由下式给出 因为在时间内，仅有时间的脉冲，考虑到脉冲

10、函数的筛选特性，即于是得到 将代入式（2.6）中，得 （2.7）将式（2.7）代入式（2.5），得 （2.8）定义是的拉氏变换式，则采样函数的拉氏变换式为 根据拉氏变换复位移定理得到 令，得到 (2.9) 它是采样函数拉氏变换式的一种表达式。可见，采样函数的拉氏变换式是以为周期的周期函数。若令，直接求得采样函数的傅氏变换式，即 （2.10）式（2.10）建立了采样函数频谱与连续函数频谱之间的关系，为原连续函数的频谱()，为采样函数的频谱，如图2.5所示。图2.5(a)表示了连续函数的频谱是孤立的，非周期频谱，只有在与之间有频谱，其外。而采样函数的频谱是采样频率的周期函数，其中叫主频谱，除了主频

11、谱外，尚包括的无穷多个附加的高频频谱，如图2.5(b)所示。 (a)频谱 (b)频谱图2.5 频谱图频率域内的周期与时间域内的采样角频率相等，即关系为： （2.11） 显然采样周期的选择会影响的频谱。采样定理所要解决的问题是，采样周期选多大，才能将采样信号较少失真地恢复为原连续信号。当时，即时，由式（2.11）可知，如图2.6(a)所示采样信号的频谱是由无穷多个孤立频谱组成的离散频谱。其中主频谱就是原连续函数的频谱，只是幅值是原来的，其他与所对应的频谱都是由于采样过程而产生的高频频谱。如果将经过一个频带宽度大于而小于的理想滤波器，则滤波器输出就是原连续函数的频谱，说明当时，采样函数能恢复出不失

12、真的原连续信号。这是我们希望得到的。(a) (b) 图2.6 采样信号频谱的两种情况而当时，即，如图2.6(b)所示，采样函数的频谱已变成连续频谱，重叠部分的频谱中没有哪部分与原连续函数频谱相似，这样，采样信号再不能通过低通滤波方法不失真地恢复原连续信号了。这种采样信号各频谱分量的互相交叠，称为频率混叠现象。因此，对采样周期就要有个限制。为了不失真地由采样函数恢复原连续函数，则要求： （2.12）即 （2.13）“如果一个连续信号不包含高于频率的频率分量（连续信号中所含频率分量的最高频率为），那么就完全可以用周期的均匀采样值来描述。或者说，如果采样频率，那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续

13、信号”。这就是香农（Shannon）采样定理，它给出了采样周期的上限。事实上，理想采样信号频谱在以下两种情况下，将产生频率混叠现象：（1）当连续信号的频谱带宽是有限时，即，如果此时采样频率太低，如，则采样信号频谱的各个周期分量将会互相交叠，如图2.7所示。（2）连续信号的频谱是无限带宽，此时无论怎样提高采样频率，频谱混叠或多或少都将发生。2.2.4 采用周期T的讨论 采样周期T的选择是实现计算机控制系统的一个关键问题。采样周期取得大些，在计算工作量一定的情况下，对计算机运行速度、A/D及D/A的转换速度的要求就可以低些，从而降低系统的成本，也可以有较充裕的时间允许系统采用更复杂的算法。但采样周

14、期过大又会使系统的性能降低，导致系统动态品质恶化，甚至导致系统不稳定，前功尽弃。采样周期的选择至今没有一个统一公式，至于香农采样定理只给出了理论指导原则，实际应用还有些问题，主要是系统数学模型不好精确地测量，系统的最高角频率不好确定，况且采样周期的选择与很多因素有关，比较明显的因素有控制系统的动态品质指标，被控对象的动态特性，扰动信号的频谱，控制算法与计算机性能等。目前采样周期的选择是在一般理论指导下，结合实际对象进行初步选择，然后再在实践中通过实验来确定的。对于惯性大，反应慢的生产过程，采样周期T要选长一些，不宜调节过于频繁。虽然T越小，复现原连续信号的精度越高，但是计算机的负担加重。因此，

15、一般可根据被控对象的性质大致地选用采样周期，表2.1列出了某些经验数据。表2.1 模拟量的采样周期被控对象流 量液 位压 力温 度成 分采样周期T/s15510310优选381020或取纯滞后时间1520 对于一些快速系统，如直流调速系统、随动系统，要求响应快，抗干扰能力强，采样周期可以根据动态品质指标来选择。假如系统的预期开环频率特性如图2.7(a)所示，预期闭环频率特性如图2.7(b)所示，在一般情况下，闭环系统的频率特性具有低通滤波器的功能，当控制系统输入信号频率大于（谐振频率）时，幅值将会快速衰减。反馈理论告诉我们，是很接近它的开环频率特性的截止频率，因此可以认为，这样，我们对被研究的

16、控制系统的频率特性可以这样认为：通过它的控制信号的最高分量是，超过的分量被大大地衰减掉了。根据经验，用计算机来实现模拟校正环节功能时，选择采样角频率： （2.14）或 （2.15）可见，式（2.14）、式（2.15）是式（2.12）、式（2.13）的具体体现。 按式（2.15）选择采样周期T，则不仅不能产生采样信号的频谱混叠现象，而且对系统的预期校正会得到满意的结果。(a)系统预期开环频率特性 (b)系统预期闭环频率特性图2.7 频谱法分析系统在快速系统中，也可以根据系统上升时间来定采样周期，即保证上升时间内2到4次采样。设为上升时间，为上升时间采样次数，则经验公式为 （2.16）2.3 采样

17、信号恢复与保持器计算机控制系统中的计算机作为信息处理装置，其输出一般有两种形式，一种是直接数字量输出形式，就是直接以数字量形式输出。例如，打印机，屏幕显示，开关控制，步进电机控制等。但是在另一种实际控制应用中，是需要将数字信号转换成连续信号，用输出信号去控制被控对象。假如被控对象是伺服电动机，则它是一个将电能转换成机械能的驱动器，是连续装置，因此，必须把计算机的数字信号转换为连续信号。若把数字信号无失真地复现成连续信号，由香农采样定理可知，采样频率，则在被控对象前加一个理想滤波器，可以再现主频谱分量而除掉附加的高频频谱分量，如图2.8所示。理想的低通滤波器的截止频率为，并且满足 （2.17）(

18、a) 频谱 (b) 理想滤波器特性图2.8 理想滤波器特性但是，这种理想滤波器是不存在的，必须找出一种与理想滤波器特性相近的物理上可实现的实际滤波器，这种滤波器称为保持器。从保持器的特性来看，它是一种多项式外推装置。用多项式外推复现原信号。如果有一个脉冲序列，现在的问题是如何从脉冲序列的全部信息中恢复原来的连续信号，这一信号的恢复过程是由保持器来完成的。从数学上来看，它的任务是解决在两个采样点之间的插值问题，因为在采样时刻是，但是在两个相邻采样器时刻与之间即的值，如何确定呢？这是保持器的任务。决定值时，只能依靠以前各采样时刻的值推算出来。实现这样一个外推的一个著名方法，是利用的幂级数展开公式，

19、即 （2.18）式中，。为了计算式（2.18）中的各项系数值，必须求出函数在各个采样时刻的各阶导数值。但是，信号被采样后，的值仅在各个采样时刻才有意义，因此，这些导数可以用各采样时刻的各阶差商来表示。于是，在时刻的一阶导数的近似值，可以表示为 （2.19）时刻的二阶导数的近似值为 （2.20）由于 所以将上式和式（2.19）代入式（2.20），整理得 （2.21）以此类推，可以得到其他各阶导数。外推装置是由硬件完成的，实践中经常用到的外推装置是由式（2.18）的前一项或前两项组成的外推装置。按式（2.18）的第一项组成外推器，因所用的的多项式是零阶的，则将该外推装置称为零阶保持器；而按式（2.

20、18）的前两项组成外推装置，因所用多项式是一阶的，则将该外推装置称为一阶保持器。2.3.1 零阶保持器仅取式（2.18）幂级数的第一项时，这时组成外推器称为零阶保持器。因此，式（2.18）简化为 （2.22）式中，。零阶保持器的特点是把时刻的采样值，简单地、不增不减地保持到下一个采样时刻到来之前。零阶保持器的输入输出关系如图2.9所示。图2.9 零阶保持器输入输出的关系为了对零阶保持器进一步分析，必须求出零阶保持器传递函数。因此，我们先求出保持器的脉冲响应函数，即在单位脉冲作用下，零阶保持器的输出响应函数。如图2.10(b)所示，它是高度为1宽度为T的方波。图2.10 零阶保持器时域特性 为了

21、便于计算，把脉冲响应函数分解为图2.10 (c)，根据线性函数可加性，可表示为 （2.23）式中，是单位阶跃函数： 式（2.23）的拉氏变换： （2.24）输入单位脉冲的拉氏变换： 故求得零阶保持器的传递函数为 即 （2.25） 令代入，得零阶保持器的频率特性为 (2.26)幅频特性为 相频特性为 零阶保持器的幅频特性和相频特性绘于图2.11中。由图2.11可以看出，零阶保持器的幅值随增加而减少，具有低通滤波特性。但是，它不是一个理想的滤波器，它除了允许主频谱通过之外，还允许附加的高频频谱通过一部分，因此，被恢复的信号与是有差别的，图2.9中的阶梯波形就说明了这一点。从相频特性上看，比平均滞后

22、时间。零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因素。但是和一阶或高阶保持器相比，它具有最小的相位滞后，而且反应快，对稳定性影响相对减少，再加上容易实现，所以在实际系统中，经常采样零阶保持器。图2.11零阶保持器的幅频特性与相频特性2.3.2 一阶保持器如果仅取式（2.18）的前两项，组成的外推器称为一阶保持器。此时，式（2.18）简化为 （2.27） 式中，由式（2.19）给出，代入式（2.27）得 （2.28）式（2.28）表示一阶保持器在相邻采样时刻与之间的输出函数，是一个线性外推公式，外推的斜率是一阶差商。图2.12给出了一阶保持器工作情况，可见一阶保持器是利用最新的两个过去时刻采样

23、值，以直线外推的方法获得本采样时刻到下采样时刻的信号插值。 图2.12 一阶保持器工作情况 根据一阶保持器的外推可知，每个采样时刻的采样值其作用都是延长两个周期。下面分析推导一阶保持器的单位脉冲响应函数，如图2.13所示。 (a) 结构图 (b) 单位脉冲响应 (c) 单位脉冲响应分解图2.13 一阶保持器的脉冲响应图2.13(c)中：1-；2-；3-； 4-；5-； 6-； (2.29)取拉氏变换，得 合并整理可得 (2.30)频率特性为 （2.31）一阶保持器的幅频特性与相频特性绘于图2.14中。可见，一阶保持器的幅频特性比零阶保持器的要高，因此，离散频谱中的高频变量通过一阶保持器更容易些

24、。另外，从相频特性上看，尽管在低频时一阶保持器相移比零阶保持器要小，但是在整个频率范围内，一阶保持器的相移要大得多，对系统稳定不利。加之一阶保持器结构复杂，所以虽然一阶保持器对输入信号有较好复现能力，但是实际上较少采用。图2.14 一阶保持器幅频与相频特性（虚线为零阶保持器频率特性）2.4 信号转换的工程化技术2.4.1 A/D转换的基本工程化技术1、A/D转换的性能指标（1）A/D精度A/D的精度指转换后所得数字量相当于实际模拟量值的准确度，即指对应一个给定的数字量的实际模拟量输入与理论模拟量输入接近的程度。对应于同一个数字量，其模拟输入是一个范围，因此，对应一个已知数字量的输入模拟量，定义

25、为模拟量输入范围的中间值。例如：一个A/D转换器，理论上5V对应数字量800H，但实际上4.9974.999V均产生数据量800H，那么绝对误差将为(4.997+4.999)/2-5=2mV，或者相对误差将为（(4.997+4.999)/2-5）/5=0.04%。 A/D转换器精度的数字部分由A/D转换器的位数决定，模拟部分由比较器、T型网络中的电阻以及基准电源的误差决定。（2）分辨率A/D转换器的分辨率是指输出数字量对输入模拟量变化的分辨能力，利用它可以决定使输出数码增加（或减少）一位所需要的输入信号最小变化量。如ADC0809芯片能够输出8位数字量，则称它的分辨率为8位。或设A/D转换器的

26、位数为n，则A/D转换器的分辨率为 (2.32)有时也用最小有效位LSB所代表的模拟量来表示，如12位A/D芯片的分辨率为 如果输入电压最大值为5V，则12位A/D芯片能够分辨的输入电压最小变化量为 （3）转换时间设A/D转换器已经处于就绪状态，从A/D转换的启动信号加入时起，到获得数字输出信号（与输入信号对应之值）为止所需的时间称为A/D转换时间。该时间的倒数称为转换速率。A/D的转换速率与A/D的位数有关，一般来说，A/D的位数越大，则相应的转换速率就越慢。逐次逼近式A/D转换器转换时间为几微秒几百微秒，双积分式A/D转换器的转换时间为几十毫秒几百毫秒。（4）量程量程指测量的模拟量的变化范

27、围，一般有单极性（例如010V、020V）和双极性（例如-5V+5V、-10V+10V）两种。为了充分发挥A/D转换器件的分辨率，应尽量通过调理环节使待转换信号的变化范围充满量程。2、A/D转换的典型芯片ADC0809是一种采用逐次逼近式转换原理的8位8通道的A/D转换器芯片，通过外部控制，可从8路输入模拟量中，选择1路进行A/D转换，输出8位数字量。ADC0809的主要特性参数如下：分辨率：8位，零位误差和满量程误差均小于0.5LSB；量程：05V；通道：8个模拟量输入通道，有通道地址锁存、输出数据三态锁存功能；转换时间：约为100；工作温度范围：-40+85；功耗：15mW；电源：单一的+

28、5V电源供电。AD574A是12位的A/D转换芯片，转换时间约为25，采用逐次逼近式转换原理，内部含有脉冲时钟源和基准电压源，可以接收单极性和双极性模拟电压信号输入。3、A/D转换的数据传输方式（1）查询方式查询方式的传送是由CPU执行输入指令启动并完成的，每次传送数据之前，要先输入A/D转换器的状态，经过查询符合条件后才可以进行数据的输入。查询传送方式有比较大的灵活性，可以协调好计算机和外设之间的工作节奏，但由于在读写数据端口指令之前需要重复执行多次查询状态的指令，尤其在外设速度比较慢的情况下，会造成CPU效率的大大降低。惟有在CPU除了采集数据和简单的计算外，没有很多的工作要做的情况下才适

29、合用查询方式。（2）中断方式在要求一旦数据转换完成就及时输入数据，或CPU同时要处理很多工作的情况下，应采用中断方式。转换完成信号经过中断管理电路发出中断请求，CPU在中断服务子程序中读入转换结果。中断方式可以省掉重复繁琐的查询，并可及时响应外设的要求。在这种方式下，CPU和外设基本上实现了并行工作，但由于增加了中断管理功能，所以对应的接口电路和程序要比查询方式复杂。（3）DMA方式在高速数据采集系统中，不仅要选用高速A/D转换电路，而且传送转换结果也要求非常及时迅速，为此可以考虑选用DMA方式。这就需要检查计算机保留的DMA通道，连接有关DMA请求及应答信号，而且还要修改DMA控制电路的初始

30、化编程。4、A/D转换的输入信号形式在计算机控制系统内，A/D输入信号可以有单极性和双极性两种形式。通过对参考电压的不同连接，可以构成不同的模拟量输入电路。图2.15中，ADC0809相关引脚为：D7D0为8路数字量输出引脚，D7为最高位，D0为最低位。IN0IN7为8路模拟量输入端，ADDA、ADDB、ADDC：3位地址输入线，用于选通8路模拟输入中的1路。START为A/D转换启动信号（输入，高电平有效）；EOC为A/D转换结束信号（输出，转换期间该端一直为低电平，当A/D转换结束时，输出一个高电平）。 OE为数据输出允许信号（输入，高电平有效），当A/D转换结束时，向该端输入一个高电平，

31、才能打开输出三态门，输出数字量。VREF(+)、VREF ()为基准电压引脚，基准电压的取值范围为-10+10VDC，可视实际情况选择。图2.15 ADC0809的功能框图与管脚图A/D转换器的输入电压Vin，位数n，参考电压VREF(+)、VREF(-)的关系为： (2.33)ADC0809为8位A/D转换器故n=8，应用单极性形式转换时，若取基准电压VREF (+)5V，VREF (-)0V，输入模拟电压Vin1.5V，则D(1.5-0)/(5-0)25676.8774DH；应用双极性形式转换时，若取基准电压VREF (+)+5V，VREF (-)-5V，输入模拟电压Vin-1.5V，则D

32、 (-1.5+5)/(5+5)25689.6905AH。5、A/D转换芯片的选择选择A/D芯片时，除了要满足用户的各种技术要求外，还必须注意：A/D输出的方式，A/D芯片对启动信号的要求，A/D的转换精度和转换时间，它的稳定性及抗干扰能力等。A/D转换器的精度与传感器的精度有关，一般比传感器的精度高一个数量级；A/D转换器的转换速率的选择还与系统的频带密切相关。根据输入模拟信号的动态范围可以选择A/D转换器位数。设A/D转换器的位数为n，模拟输入信号的最大值umax为A/D转换器的满刻度，则模拟输入信号的最小值umin应大于等于A/D转换器的最低有效位。即有 (2.34)所以 (2.35)6、

33、A/D转换的标度变换被控对象的被控量如质量、温度、速度、压力、流量、电压、电流等物理量，在控制领域常被称作工程量。在进行计算机系统的A/D转换即采样前，需要使用变送器将其变成标准电信号，如010V、020V或420mA，进而通过A/D转换变成为数字量，因此在计算机控制系统的反馈通道中，信号的变换需要经过以下过程：物理量传感器信号标准电信号A/D转换信号（数字量）。另一方面，在计算机系统内部对于被控量的处理，如编程、显示、存储等，使用的一般还是被控对象的工程量，而不是经过A/D转换后的数字量，因此需要对经过A/D转换得到的数字量进行标度转化，将采样得到的数字量重新转换为工程量，该过程相当于前述信

34、号转化的逆过程，只不过是通过软件编程实现的。假定物理量为A，范围为A0Am，实时物理量为X；标准电信号为B0Bm，实时电信号为Y；A/D转换后数字量为C0Cm，实时数字量为C。即C0对应于B0对应于A0，Cm对应于Bm对应于Am，C对应于Y对应于X，则函数关系为：，其中和为映射函数。假设映射为线性关系，于是由得到： (2.36)由得到 (2.37)若，于是得到 (2.38)由上式得到 (2.39)式中C为计算机已知的数字量，计算出来的X就是被检测的工程量。以PLC S7-200和05V标准输入信号为例。经A/D转换器转换后，得到的数值是640032000，。C0=6400，Cm=32000，于

35、是有若温度传感器检测的温度范围为-1060，用上述的方程可表达为当计算机的A/D转换数据，即采样数据为C=16000时，得到X=16.25，意味着此时温度值为16.25。2.4.2 D/A转换的基本工程化技术1、D/A转换的性能指标（1）D/A精度D/A的精度指实际输出模拟量值与理论值之间接近的程度。例如：一个D/A转换器，某二进制数码的理论输出为2.5V，实际输出值为2.45V，则该D/A转换器的精度为2%。若已知D/A转换器的精度为0.1%，则理论输出为2.5V时，其实际输出值可在2.50252.4975V之间变化。D/A转换器的精度与D/A转换器的字长、基准电压有关，主要由线性误差、增益

36、误差及偏移误差的大小决定。如图2.16所示。图2.16 D/A转换器的误差（2）分辨率D/A转换器的分辨率是指输入数字量发生单位数码变化时输出模拟量的变化量。分辨率也常用数字量的位数来表示，如对于分辨率为12位的D/A转换器，表示它可以对满量程的1/212=1/4096的增量做出反应。分辨率与精度是不同的两个概念，原理上两者无直接关系。如分辨率是指在精度无限高的理想情况下，D/A转换器的输出最小电压增量的能力，它完全由D/A转换器的位数所决定。精度是指在给定分辨率最小电压增量的条件下，D/A输出电压的准确度。虽然二者为不同的概念，但在一个系统里它们应当协调一致。如果分辨率很高，即位数很多，那么

37、精度也应当要求较高，否则高精度也是无效的。反之，分辨率很低，但精度很高，也是不合理的。（3）转换时间对于D/A转换器来说，从接收一组数字量时起到完成转换输出模拟量为止所需的时间称为D/A转换时间。由于D/A转换器并行接收数字量输入，每位代码是同时转换为模拟量的，故这种转换的速度很快，一般为微秒级，有时可以短到几十纳秒。一般情况下，D/A转换器芯片中，都含有数字量输入锁存环节，可以对所接收的一组数字量进行锁存，在D/A转换器接收下一组数字量之前，该锁存器的内容保持不变，相应的模拟量输出也保持不变，这实际上是D/A转换器的零阶保持功能。（4）输出电平与代码形式对于D/A来说，不同型号的D/A 转换

38、器的输出电平相差较大，一般为5V10V，高压输出型的输出电平可达24V30V。还有一些电流输出型，低的有20mA，高的可达3A。D/A转换器单极性输出时，有二进制码、BCD码；当双极性输出时，有原码、补码、偏移二进制码等。2、D/A转换的主要芯片常用的8位D/A转换器芯片DAC0832芯片内，有R-2R T型电阻网络，用于对基准电流进行分流，完成数字量输入到模拟量输出的转换。在实际应用中，通常采用外加运算放大器的方法，将DAC0832的电流输出转换为电压输出。DAC0832的主要特性参数如下：输入数字量分辨率：8位；电流建立时间：1；精度：1LBS；基准电压：-10V+10V；电源电压：+5V

39、+15V；输入电平：符合TTL电平标准；功耗：20mW。常用的12位D/A转换器DAC1208/1209/1210，与DAC0832相比，除分辨率不同外，其转换原理基本相同。3、D/A转换的输出方式在控制系统中需要有多个D/A转换通道时，常用图2.17所示的两种实现方式。图2.17(a)由于采用了多个D/A转换器，硬件成本较高，但当要求同时对多个对象进行精确控制时，这种方案可以很好地满足要求。图2.17(b)的实现方案中，由于只用了一个D/A转换器、多路开关和相应的采样保持器，所以比较经济。图2.17 模拟量输出通道的两种实现结构图4、D/A转换的输出信号形式在计算机控制系统中，D/A输出信号

40、也可以有单极性和双极性两种形式。通过对输出电路的不同连接，也可以构成不同的模拟量输出电路。DAC0832相关引脚为：D7D0为8路数字量输入引脚，D7为最高位，D0为最低位。IOUT1为转换电流信号输出引脚1，是逻辑电平为“1”的各数字量所对应模拟电流之和。IOUT2为转换电流信号输出引脚2，是逻辑电平为“0”的各数字量所对应模拟电流之和。RFB为内置反馈电阻引线端，用以把芯片内部的标准电阻引出，作为外接运放的反馈电阻。VREF为基准电压引脚，基准电压的取值范围为-10+10VDC，可视实际情况选择。如图2.18(a)所示，运算放大器A1在电路中起反相比例求和作用，可以实现D/A的单极性输出。

41、此时，VOUT1、VREF、D7D0(D)的关系为： （2.40）式（2.40）说明，对于DAC0832（n=8），若取VREF =5V，当D7D0=00H（0）时，VOUT1=0V。当D7D0=FFH（255）时，VOUT1= -5V；当D7D0=7FH（127）时，VOUT1= -2.5V。输入数据量与输出物理量之间的关系，如图2.18 (b)所示。 (a) (b)图2.18 DAC0832的单极性输出方式与变换关系将图2.18(a)稍加改动，可以实现D/A的双极性输出。如图2.19(a)所示。VREF经电阻R1向运算放大器A2提供一个偏流I1，其电流与I2相反，所以运算放大器A2输入的电

42、流为I2与I1的差，由于R2=0.5R1，所以，VREF产生的偏流为运算放大器A1输出电流的二分之一，正好使运算放大器A2的输出在运算放大器A1的基础上偏移0.5VREF。此时，VOUT2，VREF，D7D0（D）的关系为： (2.41)式（2.41）说明，对于DAC0832（n=8），若取VREF =5V，当D7D0=00H（0）时，VOUT2= -2.5V；当D7D0=FFH（255）时，VOUT2=2.5V；当D7D0=7FH（127）时，VOUT2=0V。输入数据量与输出物理量之间的关系，如图2.19(b)所示。(a) (b)图2.19 DAC0832的双极性输出方式与变换关系5、D/

43、A转换芯片的选择选择D/A转换芯片时，在性能上必须满足D/A转换的技术要求，在结构和应用上满足接口方便，外围电路简单，价格低廉等要求。在芯片选择时，主要考虑的是用位数（字长）表示的转换分辨率、转换精度及转换时间。对于D/A转换器的字长的选择，可以由计算机控制系统中D/A转换器后面的执行机构的动态范围来选定。设执行机构的最大输入为umax，执行机构的死区电压为uR，D/A转换器的字长为n，则计算机控制系统的最小输出单位应小于执行机构的死区，即 (2.42)所以 (2.43)6、D/A转换的标度变换D/A转换是将数字量转换为模拟量，进而通过执行机构编程驱动被控对象的工程量，如电压、电流、位置信号等

44、，在计算机控制系统中上述过程主要发生在前向通道。另一方面，如上节所述，在计算机内部使用的一般工程量，因此在进行D/A转换前，需要将工程量转换为数字量，即进行标度变换，该过程相当于D/A转换的逆过程。在计算机控制系统的前向通道中，信号的变换需要经过以下过程：数字量D/A转换信号（标准电信号）执行机构物理量。为简单起见，这里假设各环节的变换皆为线性变换关系，因此上述过程恰是A/D变换过程中信号变换的逆过程，因此A/D变换过程的标度变换公式仍然适用，即公式（2.38）式仍然成立，即 (2.44)不过，式（2.44）中，X为计算机内部计算得到的物理量，即执行机构输出的物理量，范围为A0Am；C为与X对

45、应的数字量，即D/A变换前的数字量，范围为C0Cm。2.5 z变换z变换是由拉氏变换引出的，是拉氏变换的特殊形式，它将在离散系统的分析及设计中发挥重要作用。2.5.1 z变换的定义设连续函数是可以进行拉氏变换的，它的拉氏变换被定义为： （2.45）被采样后的脉冲采样函数由式（2.4）给出： （2.46）它的拉氏变换为 根据广义脉冲函数的性质： 所以 （2.47）式（2.47）中是脉冲采样函数的拉氏变换式，因复变量含在指数中不便计算，故引进一个新变量。令 （2.48）式中：一复数；一复变函数；一采样周期。将式（2.48）代入式（2.47）中，可以得到以为变量的函数，即 （2.49）式（2.49）

46、被定义为采样函数的z变换。是z的无穷幂级数之和，式中一般项的物理意义是，表示时间序列的强度，表示时间序列出现的时刻，相对时间的起点，延迟了k个采样周期。因此，既包含了信号幅值的信息，又包含了时间信息。式（2.46）、式（2.47）和式（2.49），分别是采样信号在时域、s域和z域的表达式。可见，s域中的、时域中的和z域中的均表示信号延迟了k步，体现了信号的定时关系。因此，应记住z变换中代表信号滞后了一个采样周期，可称为单位延迟因子。在z变换过程中，由于仅仅考虑采样时刻的采样值，所以式（2.49）只能表征采样函数的z变换，也只能表征连续时间函数在采样时刻上的特性，而不表征采样点之间的特性。我们习

47、惯称是的z变换，指的是经采样后的z变换，即 （2.50）这里应特别指出，z变换的非一一对应性。任何采样时刻为零值的函数（如图2.20）与相加，得曲线，将不改变的采样值，因而它们的z变换相同。由此可见，采样函数与是一一对应关系，与是一一对应的，而与不是一一对应关系，一个可有无穷多个与之对应。图2.20 采样时刻为零值的函数的影响2.5.2 z变换方法求取采样函数的z变换有多种方法，每种方法的适用性和各自的特点不同，下面介绍几种常用方法。1、级数求和法它是利用式（2.50）直接展开而得，下面举例说明。例2.1 求单位阶跃函数的z变换解：单位阶跃函数在任何采样时刻的值均为1，（如图2.21(a)所示

48、），即：代入式（2.50）中，得： （2.51）将式（2.51）两边乘以，有： （2.52）上两式相减，得： （2.53）所以 （2.54）式（2.51）为单位阶跃函数z变换的级数展开式，式（2.54）为其闭合形式。从式（2.51）可以清楚地看出，原函数在各个采样时刻采样值的大小及分布情况。可以看作时序变量。另外从式（2.51）也可看出，已知一连续函数，可以利用z变换定义式很容易地写出z变换的级数展开式。但是由于无穷级数是开放的，在运算中不方便，因此往往希望求出其闭合形式，这往往需要一定技巧。 (a) 单位阶跃函数序列 (b) 指数函数序列图2.21 单位阶跃函数与指数函数的z变换例2.2 求

49、衰减指数的z变换。解：令。指数函数在各个采样时刻的值为（如图2.21(b)所示）。代入式（2.50）中，得 将两边同乘以，得将上两式相减，得到 即 2、部分方式法设连续函数的拉氏变换为有理函数，具体形式如下：式中，与都是复变量的多项式。通常无重极点的能够分解成如下的部分分式形式： 其中： 它是相应的连续时间函数，为诸指数函数之和，根据例2.4可知，其对应的z变换形式为，这样利用已知的典型函数z变换或查表（见后续表格2.2），便可求出各个环节的z变换，进而求出整个函数的z变换，即。现举例说明此方法。例2.3 求的z变换解：因为，与相对应的连续时间函数是，相应的z变换是；与相对应的连续函数是，相应

50、的z变换是，因而：例2.4 求的z变换。解：将分解成部分分式：求：所以上式中等号右边第一项不常见，查后续表2.2，得到比较例2.3和例2.4可知，对于单极点的情况，将分解成部分分式后，可由拉氏变换直接写出的z变换式，对于有重极点的情况，则需查z变换表，因此部分分式法一般来说适用于单极点的情况。求拉氏变换式的变换的含义是，将拉氏变换式所代表的连续函数进行采样，然后求它的变换。为此，首先应通过拉氏反变换求得连续函数，然后对它的采样序列做变换。通常，在给定后，应利用域中的部分分式展开法，将分解为简单因式，进而得到简单的时间函数之和，然后对各时间函数进行变换。因此，对做变换时，不能将直接代入求，如已求

51、得了采样信号的拉氏变换式，可以用直接代入求取。例2.5 用采样信号的拉氏变换式求例2.2中衰减指数的z变换。解： 将代入式（2.47）中得若，上述级数可写成闭合形式， 所得结果与例2.2同。3、留数计算法若已知连续时间函数的拉氏变换式及全部极点（），则的z变换可由下面留数计算公式求得： （2.55）式中表示处的留数。极点上的留数分两种情况求取：（1）单极点情况 （2.56） （2）阶重极点情况 （2.57） 用留数计算法求取z变换，对有理函数与无理函数都是有效的。由于这种方法要用到柯西留数定理，故称留数法。例2.6 求的z变换。解：上式有两个单极点，利用式（2.56）可得 例2.7 求的z变换

52、。解：上式有二重极点，根据式（2.57），得 留数计算法的优点是给出了的z变换公式，不必查常用z变换表，按照规定的步骤求解也不麻烦。留数计算法适用于普遍的情况，单极点和多重极点的情形都能够直接计算。例2.8 求出的z变换。解：用留数法，的极点，结果与例2.4相同。表2.2 常用函数的z变换序号备注1112345678910112.5.3 z变换的基本定理像拉氏变换一样，z变换也有相应的基本定理，它可以为采样函数求取z变换表达式提供简便的计算公式，使z变换的应用变得简单和方便。变换的基本定理确定了原函数采样脉冲序列和像函数之间的关系。1、线性定理线性函数满足齐次性和迭加性，若，、为任意常数，则

53、(2.58) 证明：根据z变换定义 证毕。即脉冲采样函数线性组合的像函数，等于它们像函数的线性组合。2、滞后定理（右位移定理）如果，则 （2.59）证明：根据z变换定义令，则 因为时，（物理的可实现性），上式成为证毕。右位移函数表示，相对时间起点延迟了个采样周期。该定理还表明经过一个的纯滞后环节，相当于其时间特性向后移动步。3、超前定理（左位移定理） （2.60）如果 则 （2.61）证明：根据z变换定义令，则 当（零初始条件）时，上式成为 证毕。左位移函数表示，相对时间起点超前个采样周期出现。该定理还表明经过一个的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动步。从滞后和超前定理再次可见，复变量有明显

54、的物理意义，代表时间滞后作用，代表时间超前作用。4、初值定理如果的z变换为，而存在，则 (2.62)证明：根据z变换定义当时，上式两端取极限，得 证毕。利用初值定理检查z变换的结果是否有错是很方便的。由于通常是已知的，因此通过求取，就可以很容易判断变换是否有误了。5、终值定理 如果的z变换为， 而在z平面以原点为圆心的单位圆上或圆外没有极点，则 (2.63)证明：根据z变换定义 因此，有当时，上式两端取极限，得 由于时，所有的，上式左侧成为因此有证毕。必须注意，终值定理成立的条件是，全部极点均在平面的单位圆内或最多有一个极点在处，实际上即是要求在单位圆上和圆外没有极点，即脉冲函数序列应当是收敛的，否则求出的终值是错误的。如函数，其对应的脉冲序列函数为，当时是发散的，而直接应用终值定理得z反变换与实际情况相矛盾，这是因为函数不满足终值定理条件所致。应用终值定理可以很方便地从的变换中确定当时的特性，这在研究系统的稳态特性时非常方便。例2.9 已知的z变换为，试确定的初值和终值。解：依初值定理可知 从所给函数也可判断。从所给可知，有2个极点：和，满足终值定理条件，有从所给函数也可判断