铁路选线工程测量

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1、第一部分内容：铁路线形的相关计算1线路线形的平面和竖面组成及其设计要素：直线、圆曲线和缓和曲线；坡段和竖曲线2. 线路平面和竖面的设计文件：3. 平面计算：任一里程处线路中线设计坐标的计算(缓和曲线和圆曲线上任意 点的坐标方位角怎么算？)4. 竖面计算：任一里程处线路中线设计高程的计算(注意坡段上的点可能有平 曲线，即可能有超高)5. 根据线路测点坐标计算测点里程2.4 设计线路中线上任意点平面坐标和高程计算方法线路测量，需在线路专业提供的设计线形的基础上，计算线路上一定间隔点 (特征变化点)的平面坐标和高程，用于线路与线路测量的结果进行比较，以反 映线路的品茶情况。高速铁路中平曲线描述线路的

2、平断面线形，由曲线和与之相 切的直线组成，曲线分缓和曲线和圆曲线，在曲线上还需设置抵制离心力影响的 超高值；竖曲线描述线路的纵断面线形，线路纵断面由竖曲线和与之相切的带坡 度的直线组成，竖曲线采用圆曲线13-14。2.4.1 线路任意点平面坐标计算高速铁路线路设计中，线路专业给出的线路平面设计文件主要有两类：一类 是包括五大桩坐标以及圆曲线半径、缓和曲线长度与圆曲线处超高；另一类是包 括交点坐标、圆曲线半径、缓和曲线长度、圆曲线处超高以及起点里程的设计文 件，其中第二类设计文件更加简洁，如下表错误!文档中没有指定样式的文字。-1 所示，且第二类设计文件可通过计算曲线要素换算为第一类设计文件。表

3、错误!文档中没有指定样式的文字。-1某高速铁路平曲线部分第二类设计文件属性X(m)Y(m)曲线半 径(m)前缓 长(m)后缓 长(m)超高(mm)起始 里程(m)QD4414887.9736469387.12012823.578JD14415106.5310470472.8130300014014060JD24415240.7190471594.4980-2000220220135JD34415091.0520473528.49502500350350150JD44410683.6980478343.8110-4500600600160JD54411126.9070483927.8110-55

4、00700700165JD64407242.0780488477.96008000570570120由设计可知高速铁路平断面线形可分为直线段、缓和曲线段、圆曲线段等三种，平断面用图形可表示为如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-1所示：一仪图错误!文档中没有指定样式的文字。-1 线路平面线形组成示意图上图中ZH、HY、YH、HZ点等曲线特征点的坐标、里程、及其与相邻点间 方位角，可通过计算平断面线形相关要素得到，在计算线路任意点的坐标时，需 知道线路平断面曲线的左右偏情况，线路偏向前进方向右侧时为右偏，偏向前进 方向左侧时为左偏，线路左右偏情况如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-2 所示

5、：在分析平断面曲线的图形特征后，先沿线路计算曲线上所有相邻直线端点（QD、JD、ZD）间的方位角，线路前进方向为里程增加方向，如上图中a可通过计算大里程直线JD1 - JD2的方位角减去小里程直线a、 aJD1- JD2JD2- JD3QD - JD1QD - JD1的方位角的角度值，判断两直线范围内曲线的左右偏属性:当a -a 0。时，若a-a 180，则线路为右偏；JD1-JD2QD-JD1JD1-JD2QD-JD1若180a -a 360，则线路为左偏； JD1-JD 2QD-JD1当a -a 0时，若a-a+ 360 180，则线路为右偏;JD1-JD2QD-JD1JD1-JD 2QD

6、-JD1若180a -a+360 360，则线路为左偏。JD1-JD 2QD-JD1在判断出线路的左右偏后，即可计算线路各交点处的转向角a :当线路为右偏时，a=a-aJD1-JD 2 QD-JD1当线路为左偏时， a=a-a；QD-JD1 JD1-JD 2若 a 0，则 a = a。在得到线路曲线的左右偏属性后，用px=1表示曲线要素为右偏，px = -1表 示曲线要素为左偏。计算线路任意点的线路坐标时，先根据任意点i的平面里程L判断其在哪种i线形下，在直线线形下可直接计算该点的线路坐标，当在圆曲线或者缓和曲线上 时，需要先建立曲线独立坐标，再通过坐标平移和旋转到线路坐标系，平移参数、 旋转

7、角分别为曲线独立坐标系原点在线路坐标系下的坐标和曲线独立坐标系 X 轴在线路坐标系下方位角，如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-3 所示为 两坐标系转换示意图，两个坐标系中都是标准的测量坐标系X (x)轴指向北， Y (y)轴垂直于X轴顺时针指向。)7图错误!文档中没有指定样式的文字。-3 坐标系转换示意图上图中O为曲线独立坐标系的原点，任意点i为两坐标系中共同的点。则曲 线独立坐标系下的坐标转换为线路坐标系下坐标的坐标转换公式为：X = X + x cos a - y sin a iOiOxiOxY = Y + x sin a + y cos a IiOiOxiOx上式中：(x, y )

8、任意点i在曲线独立坐标系下的坐标；ii(X , Y)任意点i在线路坐标系下的坐标；ii(X ,Y )O点在线路坐标系下的坐标；OOa 曲线独立坐标系X轴在线路坐标系下的坐标方位角。Ox当任意点i在圆曲线HYYH段时15-18,如下图错误!文档中没有指定样式 的文字。-4 所示：图错误!文档中没有指定样式的文字。-4 圆曲线独立坐标系以 HY 点为坐标原点，以 HY 点的线路切线前进方向为 x 轴，过 HY 点垂直 于 x 轴指向顺时针方向为 y 轴，建立圆曲线独立坐标系。则 i 点在圆曲线独立坐 标系中的坐标为：x = R sin( P )i iy = R(l cos(P )(2-2)iiP

9、= l x180。/(R x 兀)ii上式中： R 圆曲线的半径；l 圆曲线任意点i到HY点的曲线长；l = L -L , L为HY点平i i i HY HY 面里程；P 曲线长l所对应的圆心角(弧度)；iiy 数值恒为正值，其实际正负情况将通过坐标转换时加入曲线的左i 右偏属性来改正得到。在得到任意点 i 在圆曲线独立坐标系坐标后，即可按照式(2-1)并考虑线路左右偏，将圆曲线独立坐标系坐标转换到线路坐标系下为。X = X + x cos a - px - y sin a iHYiHYiHY(2_3)Y = Y + x sin a + px - y cos aiHYiHYiHY上式中(X ,

10、 Y )%HY点在线路坐标系下的坐标，a 为过HY点的线路切HY HYHY线前进方向的坐标方位角，考虑左右偏的原因是，根据式(2-2)得y恒为正，i当线路为右偏时y为正值，此时px=1，px- y 0 ；线路为左偏时y应为负值，iii此时px = 1，px- y 1 317y = i ii 6 R1 336R31300上式中： 1 缓和曲线曲线长；1 二 L L , L 为i i ZHZH01 为 ZH 点到第一缓和曲线任意点的曲线长iZH 点平面里程；y 数值恒为正值，其实际正负情况将通过坐标转换时加入曲线的左 i右偏属性来改正得到。同理按照式（2-1）并考虑线路左右偏，将第一缓和曲线独立坐

11、标系坐标转 换到线路坐标系下为。X = X + x cos a px - y sin a IiZHiZHiZH（ 2_5）Y = Y + x sin a + px - y cos a IiZHiZHiZH上式中（X ,Y ）为ZH点在线路坐标系下的坐标，a为过ZH点的线路切ZH ZHZH线前进方向的坐标方位角。当任意点i在第二缓和曲线YHHZ段时，如下图错误!文档中没有指定样式的文字。_6 所示：图错误!文档中没有指定样式的文字。-6 第二缓和曲线独立坐标系以 HZ 点为坐标原点，以 HZ 点的线路切线后退方向为 x 轴，过 HZ 点垂直于 x 轴指向顺时针方向为 y 轴，建立第二缓和曲线独立

12、坐标系。则 i 点在第二缓和曲线独立坐标系中的坐标为：上式中： li11519X = 1 i + ii i 40 R2123456R 4140 0 1 31 7y =i ii 6 R1 336R 31300第二缓和曲线任意点到 HZ 点的曲线长HZ 点平面里程；1 二 L L , L 为i HZ i HZ2-6)y 数值恒为正值，其实际正负情况将通过坐标转换时加入曲线的 i左右偏属性来改正得到。同理按照式(2-1)并考虑线路左右偏，将第二缓和曲线独立坐标系坐标转 换到线路坐标系下。X = X + x cos a 一 (px) - y sin aiHZ iHZiHZ(2-7)HZa 为过 HZ

13、点的线路HZY = Y + x sin a+ (px) - y cos a IiHZ iHZi上式中(X , Y )为HZ点在线路坐标系下的坐标，HZ HZ切线前进方向的坐标方位角，则a =a 180。HZ HZ2.4.2线路任意点高程计算线路的纵断面是由长度不同、陡缓各异的坡段组成，坡段之间坡度变化的点 称为变坡点，高速铁路中常用变坡点作为特征点描述纵断面，并生成相应竖曲线 文件，如下表错误!文档中没有指定样式的文字。-2 所示19 20： 表错误!文档中没有指定样式的文字。-2 某高速铁路竖曲线部分设计文件变坡点里程(m)变坡点标咼(m)坡度坡长(m)竖曲线半径(m)BPD1：DK0+60

14、0.00034.46110240030000BPD2：DK3+000.00058.464260030000BPD3：DK5+600.00068.861-3.5500030000BPD4：DK0+600.00051.361-3.5300030000BPD5：DK3+600.00040.8614.3260030000竖曲线的曲线要素用图形表示如下图错误!文档中没有指定样式的文字。-7 所示：图错误!文档中没有指定样式的文字。 -7 线路竖面线形与竖曲线示意图 上图中：i0、i2分别表示相应线路段的坡度；R1、R2为竖曲线的半径；QD为竖曲线的起点，H0为该点高程值；BPD. BPD2、BPD3分别

15、表示竖曲线的变坡点，H、H2、H3为相应点 的高程值；ZY、YZ、ZY2、YZ2分别表示各段竖直线与竖圆曲线相切的特征点; a 竖直线QD到BPD与竖直线BPD到BPD2之间的转向角； SZY到YZ的曲线长；T BPD 到 YZ 的切线长；T BPD 到 YZ 的平面里程差；y 竖曲线上点P到切线ZY-BPD的垂距；L 坡长。其中：T =在计算竖曲线转向角和凹凸性时有如下图错误 !文档中没有指定样式的文字。 -8 中所示六种情况：dt11iliiLl12图错误!文档中没有指定样式的文字。-8 竖曲线转折角和凹凸性示意图为了图形更直观的显示，在上图错误!文档中没有指定样式的文字。-8 中的坡度值

16、都比实际设计值大很多， i 和 i 分别表示竖曲线变坡点前后段线路的坡122-8)度，表示转向角。考虑线路坡度的正负性，以及三角形的一个外角等于与它不 相邻的两内角之和，总结图中六种情况得到以下规律：即转向角等于相邻坡度相减之值取绝对值，且当i i 0时，竖圆曲线为上12凸；当i i （2-23）y = y + R x sin（a） IHY 0O-HY式（2-21）中：（ x , y ） 圆心坐标；ooa圆心O到HY点的坐标方位角，可以根据圆心O到JD的O-HY方位角、转角a及缓和曲线切线角0推算。0（6）根据（4）和（5）中得到新的分段点坐标，分别确定各个测点在平面 线形中的属性，然后分别重

17、新拟合前、后夹直线和圆曲线（此时参与拟合的测点 数量与初次拟合的测点数量不同），再根据重新拟合的参数第二次计算分段点坐 标。（7）判断第二次计算的分段点坐标与初次计算的分段点坐标的差值，若大于设定的阈值b （前后两次分段点坐标差值的限差，如0.1m），则重复（4）（6）步；若小于设定的阈值b,说明分段点（ZH、HY、YH、HZ ）趋于稳 定，则得到最后结果。第四部分：基于几何距离最短的正交最小二乘线形拟合方法曲线拟合所采用的主要方法有拉格朗日插值法、样条函数拟合法和最小二乘 法等18。拉格朗日插值法在有些情况下会出现龙格现象（拟合曲线会在两端发 生较大幅度的无规律变化，出现较大的拟合误差）；样

18、条曲线的拟合精度受采样 点间距影响较大；最小二乘法能够消除其局部波动，适合用于拟合无序的离散点， 可以体现出给定的数据点的变化趋势。所以目前一般以最小二乘法进行线形的拟 合。最小二乘拟合是一种基于数学理论的优化方法，它是通过最小化误差的平方 和最小以寻找数据的最佳函数匹配，利用最小二乘原理可以简便地求出特定模型 的未知参数，并使得误差的平方和最小19。但是传统的最小二乘曲线拟合方法 只考虑因变量（Y坐标）的误差，自变量（X坐标）则被认为是准确值，并没有 考虑自变量、因变量都存在误差的情况20。本文把基于几何距离最短的整体最 小二乘拟合法作为新的拟合标准，这样既考虑了测点的橫、纵坐标的误差情况，

19、 也能保证测点到拟合后线形的距离整体最短，找到整体上最接近轨道实测点的曲 线。传统最小二乘法曲线拟合与基于几何距离最短的正交最小二乘曲线拟合法两 者的区别如下图 2-5 所示。图 2-5 不同最小二乘曲线拟合法的区别图下面分别介绍直线段和圆曲线段基于几何距离最短的正交最小二乘曲线拟 合法的数学模型。铁路线路中最简单的线元为直线，设直线方程表示为：y = kx + b(i = 1,2,3,. n)ii式（2-5）中：（ x , y ） 直线段轨道上的的测点坐标；k、b 待求直线的斜率、截距。k b为未知参数，设ko、bo分别为其近似值，有2-6)k = ko +8ab = bo +8 b则直线段

20、上任一测点（ x , y ）到直线的距离的平方为： iis2i(kx - y + b)22-7)对式(2-7)按泰勒级数展开，并且线性化，所得误差方程式为：2x (kox - y +bo)2ko(kox - y +bo)22(kox - y +bo)8k(kox - y +bo)2Vs 2 =ii i 一i i ,( i i 川-(一i i )i(ko)2 +1(ko )2 +12(ko)2 +18b(ko )2 +12-8)对各测点按式（2-8）开列误差方程，并组成误差方程的矩阵形式为：式（2-9）中：V = B8 x -1_Vs 2 _1Vs 2V 二 2 ；2-9)2x (kox - y

21、 + bo)2ko(kox - y + b0)22(k0x - y + b0)III(ko)2 +III(ko)2 +I2II(k0)2 +I2x (kox - y + bo)2ko(k0x -y + b0)22(k0x - y + b0)2 2(ko)2 +I22(ko)2 +I22 2(k0)2 +I2x (kox - y + bo)2ko(k0x； - y + b0)22(k0x - y + b0)nnn(ko)2 +Inn(k0)2 +I2nn(k0)2 +IVS 2nB =(kox - y + b0)21 I(k0)2 +18x8k8b(kox - y + b0)22 2 (ko)2

22、 +I(k o x y + b 0)2nn(ko)2 +I以 s2二min为原则，根据最小二乘原理，求得未知参数的解为:ii=12-10)二(BtB)-(BtI)最后可以根据式（2-6）得到直线方程中斜率和截距的最优解，从而得到与 直线段轨道上测点整体最接近的直线方程。2.3.2曲线段正交最小二乘拟合模型当铁路线路需要转变方向时，所使用的最主要线形是圆曲线。设圆曲线的方 程为：（x X ）2 + （y Y ）2 = R2（i = 1,2,3,. n）i 0 i 0式（2-11）中：（ x , y ）圆曲线段轨道上的的测点坐标；iiX 、Y 、 R 圆心 X 坐标、圆心 Y 坐标、半径。 oo则

23、圆曲线段任意测点（ x , y ）到圆曲线的距离为：ii2-11)s =g -X )2 + (y - Y )2 - Rii 0i 0设圆心坐标(X , Y )及半径R的近似值分别为：X0、Yo、rO，有 0 0 0 0X = X 0 +5 X0 0 0Y =Y0+5Y0 0 0R = R 0 +5 R2-12)2-13)对式（2-13）按泰勒级数展开并且线性化，列立误差方程式为：Vs =iy -Y 00-2 2 2 2，-1 (x -X0)2+(y -Y0)2Hx -X)0)2+(y-Y0)25X5Y05R0(-(x -X0)2+(y -Y00)2 + R0)（2-14） 对圆曲线段上各轨道上

24、测点按（2-14）开列误差方程，可组成误差方程的矩 阵形式为：式（2-15）中：Vs1Vs2V = B5 x - l一 x - X 00V( x1 - X 0)2+( y1 -y0)2x - X02 02 - x 0)2+( y2-Y?)22-15)y -Y 0亠讥 x1 - X 0)2+( y1 -Y00)2y -Y0I22心2-冷)+(y2-Y0)-1-1y - Y o-o-(X -X0)2+(y -Y0)2nn;-X0)2+(y -Y0)2nn_8 X8 x = 8 Y5 R5x=05Y05R= (BT B)-1(BTl)2-16)-yj (xi - X g)2+( yi-Y0)2 + R 0-J (x2 - X 0)2+( y2-Y0)2 + R 0(x -X0)2+(y -Y0)2 + R0&un u以 s = min为原则，根据最小二乘原理可解得5 x为:ii=05X最后可以根据式（2-13）得到圆曲线方程中圆心坐标和半径的最优解，从而得到与圆曲线段轨道上测点整体最接近的圆曲线方程。