第二章 随机过程的概念和类型

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1、第二章 随机过程的概念和基本类型2.1 随机过程的基本概念随机过程是随机数学一个十分广泛的分支，它研究的是客观世界中随机现象演变 过程的统计规律性.随机过程理论不仅广泛应用于自然科学的各个领域(例如物理学、 生物学、电子技术等)，而且在社会科学的许多领域也日益受到重视.我们都知道，初等概率论的主要研究对象是随机现象，可以用一个或有限个随机 变量来描述随机试验所产生的随机现象.但是，随着科学技术的不断发展，我们必须对 一些随机现象的过程进行研究，也就是要考虑无穷多个随机变量，而且解决问题的出 发点不是随机变量的独立样本，而是无穷个随机变量的一次具体观测.这时，必须用一 簇随机变量才能刻画这种随机

2、现象的全部统计规律，这种随机变量簇就是随机过程.下面先考察几个例子.例 2.1 某人不断地掷一颗骰子，设 X ( n) 表示第 n 次掷骰子时出现的点数，n二1,2,，对于任意一个n，在第n次掷骰子前不知道试验的结果会出现几点，因此，X (n)是一个随机变量这样，随机现象可以用一簇随机变量X (n), n 1来描述.例2.2设X(t)表示某流水线从开工(t二0 )到时刻t为止的累计次品数，在开工前不知道时刻t的累计次品数将有多少，因此，X(t)是一个随机变量，假设流水线不断工作，随机现象可以用一簇随机变量X(t),t 0来描述.例2.3在天气预报中，若以X(t)表示某地区第t次统计所得到的该天

3、最高气温，则 X(t) 是一个随机变量，为了预报未来该地区的气温，我们必须用一簇随机变量X(t),t 0来描述它的统计规律性.例2.4在海浪分析中，需要观测某固定点海平面的垂直振动，设X(t)表示在时 刻t该点海平面相对于平均海平面的高度，则X(t)是一个随机变量，我们可以用一簇 随机变量X(t),t 0来描述它的统计规律性.上述例子的共同点是，不是静止地研究某种随机现象，从而研究个别随机变量，而 是动态地关心某种随机现象如何随时间变化而发展的，也就是说，需要研究许多随机 变量组成的一簇随机变量.一般地，这簇随机变量包含无限多个随机变量，如果这簇随 机变量包含有限多个随机变量(例如例 2.1)

4、，那么，这类问题用初等概率论中多维随 机变量来解决.一簇随机变量描述了随机现象的变化发展过程.为了更深入地研究随机过程的相关性质，我们先给出随机过程的一般定义.定义2.1设(O, F， P)是一概率空间，T是给定的参数，若对于任意t g T , 有一个随机变量X (t,)与之对应，则称随机变量簇X (t,o), t g T是g,F，P)上 的随机过程( stochastic process ),简记为随机过程 X (t),t gT ，在不致引起混淆的情 况下，也可记为X(t).T为参数集(或指标集)，通常表示时间，f为参数(或指标).需要说明的是：上述定义中的参数集T可以是时间集，也可以是长度

5、、重量、速 度等物理量的集合，随机过程本来通称随机函数，当参数集T是时间集时称为随机过 程，但现在将参数集不是时间集的随机函数也称随机过程，对参数集T不再有时间限 制.在例2.1中，T二1,2,，在例2.2,例2.3和例2.4中T二0, +Q，般地， 如果T由有限多个或可列无限个元素组成的集合，则称X (t), t g T为离散时间(或 离散参数)的随机过程，例2.1是离散时间的随机过程，当T为有限集时，X(t),t g T 就是概率论中多维随机变量；如果T是一区间，则称X(t),t g T为连续时间(或连 续参数)的随机过程，例 2.2, 例 2.3 和例 2.4都是连续时间的随机过程.从数

6、学的角度看，随机过程X(t),t g T是定义在T x R上的二元函数，对固定 的t，X(t,o)是(0, F，P )上的随机变量，随机变量X(t)所取的值称为随机过程在 时刻t所处的状态(state)，随机过程X(t),t g T所有随机变量的全体称为随机过程的 状态空间(state space )，记为I；对固定，X(t,)是定义在T上的函数，称为随 机过程X(t),t g T的一个样本函数(sample function)或轨道(orbit)，样本函 数的全体称为样本函数空间.在例 2.1 中，I 二1,2,3,4,5,6；在例 2.2 中，I 二0,1,2,；在例 2.3 中，I二(-

7、。+8)，在例2.4中I二0, +8).不难看出，在上述例子中，把状态空间作适当 扩大，仅仅是为了数学上处理的方便，如果 I 是由有限个或可列无限个元素组成的集 合，则称X (t), t g T为离散状态的随机过程，例2.1和例2.2都是离散状态的随机过 程；如果I是一个区间，则称X(t),t g T为连续状态的随机过程，例2.3和例2.4都 是连续状态的随机过程.现将这一分类列表如下：表2-1 随机过程的分类-状态空间 参数集离散连续连续连续参数链随机过程离散离散参数链随机序列随机过程的分类，除了按照参数集T和状态集I是否可列外，还可以进一步根据 过程之间的概率关系进行分类，如独立增量过程、

8、 Poisson 过程、 Markov 过程、平 稳过程、鞅过程等.2.2 随机过程的分布概率论基本内容之一是研究随机变量的分布，随机变量的分布刻画了随机变量的 统计规律，分布的表现形式是分布函数(或离散型随机变量的概率函数，或连续型随 机变量的概率密度)我们知道，随机过程X(t), t g T由一簇随机变量组成，当参数 集T为有限集时，随机过程X (t), t g T由有限个随机变量组成，它本质上与概率论 中的多维随机变量相同，可以用多维随机变量的分布函数(或概率函数，或密度函数) 来表示随机过程 X(t),tg T 的分布；当 T 为无限集时，也可以借助有限个随机变量 的联合分布来刻画随机

9、过程X(t),t g t的分布.对于任意一个t g T, X (t)是一维随机变量，其分布函数为F(x;t) = PX(t) x, x g R称F(x;t)为随机过程X(t),t g T的一维分布函数，显然，对于不同的t，X(t)是不 同 的 随机变量， 因此， F(x;t) 一 般也不 同 ， 全体一 维 分布 函 数组 成的 集合 F(x;t),x g R: t g T F称为随机过程X(t),t g T的一维分布函数簇.1对于任意两个t,t g T ,(X(t), X(t )是二维随机变量，其分布函数为1 2 1 2F(x , x ; t, t ) P x (t) x , X (t )

10、x ,(x , x ) g R21 2 1 2 1 1 2 2 1 2称F(x ,x ;t,t )为随机过程X(t),t g T的二维分布函数，显然，对于不同的t,t，1 2 1 2 1 2(X(t),X(t )是不同的随机变量，因此，F(x ,x ;t,t ) 一般也不同，全体二维分布1 2 1 2 1 2函数组成的集合F (x , x ; t, t ),(x , x ) g R2: t, t g T F 称为随机过程1 2 1 2 1 2 1 2 2X(t),tg T 的二维分布函数簇.一般地，对于任意n个t,t，,t w T ,(X(t),X (t ),X (t )是n维随机变1 2 n

11、12n量，其分布函数为F(x ,x .x ;t,t，,t ) Px(t) x ,X(t ) 1n1 n 1 n 1 n1 nn =1n=1称为随机过程X(t),t e T的有限维分布函数簇.如果随机过程X(t), t e T是一个连续状态的随机过程，对于任意t e T, X(t)通常是连续型随机变量,其密度函数为f (x;t)称f (x;t)为随机过程X(t),t e T的一维密度函数，全体一维密度函数组成的集合称为随机过程X(t), t e T的一维密度函数簇；一般地，称(X(丫),X(t )的密度函数f(x,x ;t，,t )为随机过程1n1 n 1 nX(t),t e T的n维密度函数，

12、全体n维密度函数组成的集合称为随机过程X(t), t e T的n维密度函数簇.随机过程X(t), t e T 一维密度函数簇、二维密度函数簇的并集f (x,x ; t，,t : t，,t e T, n 1)称为随机过程X (t), t e T1 n 1 n 1 n的有限维密度函数簇.类似可以得到离散状态随机过程X(t),t e T的有限维概率函数簇.随机过程X(t), t e T有限维分布函数簇、有限维密度函数簇、有限维概率函数簇统称为随机过程 X (t), t e T的有限维分布簇.随机过程X (t), t e T有限维分布函数簇满足如下两条性质：(1)(对称性)设i,i，,i为1,2,n的

13、任意排列，Vt,t，,t eT,则1 2 n1 2 nF(x,，x ; t，,t )二 F (x，x ; t，,t )1 n 1 ni i i i1n 1n(2)(相容性 consistent)设m 0，V为随机变量，概率函数为PV = 1二 0.4,PV 二 1匸 0.6求随机过程X (t)的一维分布函数F (x; 1 2与F(x;2)及二维分布函数F (x , x ;1,； 2,2 )1 2 解 当t = 1/2时，X(12) = V.f2是离散型随机变量；当t二2时，X二2V是离散型随机变量，它们的概率函数分别为X (12)1/21/2P0.40.6X (2)22P0.40.6分布函数分

14、别为0,二 0.4,1,x 121/2 x 1/20,x 2F(x;2) =0.4, 2 x 2当=12,t = 2时，(X(12),X)=(V/2,2V)是二维离散型随机变量，它的概率函数为因此，(X(12),X(2)分布函数为F(x,x ;12,2 )= PX(12) x , X(2) x 12 1 20, x 1/2 或x v 21 2=04, 1/22,x 1/2且2 1/2 且x 2 l122.3 随机过程的数字特征定义2.3随机过程 X (t), t g T，如果对于任意t g T, EX (t)存在，称m (t)二 EX(t),t g T(2.1)X为随机过程X (t), t g

15、 T的均值函数 expectation function )，简记 m(t ) .定 义 2.4 随 机 过 程 X (t )gt,T，如 果 对 于 任 意 s,t gT,E X (s) - m( s) X (t) - m(t)存在，称C (s,t) EX(s) m(s)X(t) m(t),s, tG T(2.2)X为X (t), t g T的自协方差函数(self covariance function)，简称协方差函数，简记 C(s, t)；称R (s,t) EX (s)X (t),s, tG T(2.3)X为随机过程X(t),t g T的自相关函数(self -correlation

16、function)，简称相关函 数，简记为R(s,t).自协方差函数C(s,t)是随机过程X(t),t G T本身在不同时刻状态之间线性关系程度的一种描述，特别地，当 s = t时，称为随机过程X(t),t g T的方差函数( variancefunction ).D (t) = C (t,t) EX(t) -m(t)2,t e T(2.4)XX由Schwarz不等式知，随机过程X (t), t e T的协方差函数和相关函数一定存在, 且有下面的关系式C (s,t)二R (s,t) m (s)m (t).特别地，当均值函数m (t)三0XXXXX时，C (s, t)二 R (s, t).XX从

17、定义可以知道，均值函数m(t)是反映随机过程X(t), t e T在时刻t的平均值; 方差函数D (t)是反映随机过程X(t), t e T在时刻t对均值函数m(t)的偏离程度，X而协方差函数C(s, t)和相关函数R(s, t)反映的是随机过程X (t), t e T在时刻s和t 的线性相关程度.例2.5设随机过程X(t)二Ycost) + Z sint), t 0，其中Y, Z是相互独立的随 机变量，且EY = EZ = 0,DY = DZ 2 ,求X(t),t 0的均值函数m(t)和协方差 函数 C (s, t).解 由数学期望的性质EX (t)二 EY cos(01) + Z sin(

18、91)二 cos(01)EY + sin(91)EZ 二 0又由Y, Z的相互独立，因此C (s, t)二 R (s, t)二 EX (s)X (t)XX=EY cos(0 s) + Z sin(0 s )Y cos(01) + Z sin(01)二 cos s)cos( 01) EY 2 + sin(0 s)sin(01) EZ 22cos(t s)0 类似可以定义两个随机过程的互协方差函数和互相关函数.定义 2.5 设随机过程X (t),t e T， Y(t),t e T，称C (s,t) EX(s) m (s)Y(t) m (t),s,t e T(2.5)XYXY为X (t), t e

19、T与Y(t), t e T的互协方差函数(mutual covariance function )， 称R (s,t) EX(s)Y(t),s,t e T(2.6)XY为X (t), t g T与Y(t), t g T的互相关函数(mutual correlation function ).如果对任意s, t g T，有C (s,t)二0，则称X (t), t g T与Y(t), t g T互不相 XY关.显然有C(s, t)二 R(s, t) m (s)m (t)(2.7)XYXYXY例2.6设Z(t) = X + Yt,t g R，若已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为2 2 p 1，

20、求Z(t)的协方差函数.Ip 2丿2解 由数学期望的性质C (t,t )二 E(X + Yt) (m + m t)(X + Yt ) (m + m t )Z 1 21X Y12X Y 2二 E(X m ) + (Yt m t)(X m + (Yt m t )X1 Y1X 2 Y 2二 E(X m )(X m ) + E(X m )t (Y m )XXX 2Y+Et (Y m )(X m ) + Ett (Y m )(Y m )1YX1 2YY=C +1 C +1C +11 C = 2 + (t +1 )p +11 cy2XY 2 XY 1 XX 1 2 YY 1121 2 2例 2.7 设两个

21、随机过程 X (t)二 A singt +9)与 Y (t)二 A singt +0)，其中A,B,，申为常量申为0,2兀上的均匀分布的随机变量，求R (t,t ).XY 1 2解设t2，则1R (t, t )二 EX (t )Y(t )二 J2兀 A sin(t +0)B sin(t +0 p)d0XY 1 2120122兀AB f= J2兀sin(t +0)sin(t +0)cos(t t) p + cos(t +0)sin(t t) pd02 兀 01121121=cos(t t) pJ2兀sin2t +0)d02 兀2101+ sin(t t) pJ2兀sin(et +0)cos(t

22、+0)d02 1 0 1 1二兰 cos(t t) p 2 2 1例2.8设X(t)为信号过程，Y(t)为噪音过程，令W(t)二X(t) + Y(t)，则W(t)的均值函数为mw(t) - mX (t) + mY (t)其相关函数为R (s, t)二 EX (s) + Y(s)X (t) + Y(t)w二 EX (s)X (t) + EX (s)Y(t) + EY(s)X (t) + EY(s)Y(t)二 R (s, t) + R(s, t) + R (s, t) + R (s, t)XXYYXY上式表明两个随机过程之和的相关函数可以表示为各个随机过程的相关函数之和. 特别地，若两个随机过程的

23、均值函数恒为0 且互不相关时，有R (s, t)二 R (s, t) + R (s, t)WXY2.4 复值随机过程在工程技术上，常把随机过程表示成复数的形式进行研究更为方便.例如，在许多有 关谱函数的运算要用到 Fourier 变换，就需要复数形式.定义2.6设X (t), t g T, Y(t), t g T是取值实数的两个随机过程，若对于任意tgT，Z(t)二 X (t) + iY(t)其中i =耳_1，则称Z(t),t g T为复随机过程.类似可以定义复随机过程的均值函数、协方差函数、相关函数、方差函数如下：均值函数：m (t)二 EZ(t)二 m (t) + im (t), t g

24、TZXY相关函数：R (t, t ) = E Z (t)Z (t ) , t, t g TZ121212协方差函数：方差函数：D (t)二 El Z(t) -m (t)|2二 E (Z(t) -m (t)(Z(t)-ZZC (t, t ) = E ) - m (t)Z(t ) - m (t )= R (t, t ) + m (t )m (t ), t, t gTZ 1 21 Z 12 Z 2Z 1 2 Z 1 Z 21 2Z对于两个随机过程可以定义互相关函数和互协相关函数.互相关函数：R (t, t)二 EZ (t)Z (t )Z1Z2 1 21 12 2互协相关函数：Z1Z2 1 2C(t,

25、t )二 Cov(Z (t),Z(t)= E z(t)-m(t)Z(t)-m(t)1 12 21 1Z1 12 2Z2 22.5 随机过程的主要类型随机过程可以根据状态空间和参数集离散或连续进行分类，现在我们将根据随机 过程的统计特征进一步将随机过程分类，这些常见的随机过程在以后的章节中将作进 一步说明，这里只作简单介绍如下：2.5.1 二阶矩过程( two - order moment process )定义2.7设X (t), t g T是(取值实数或复值)的随机过程，若对于任意t g T,都有El X(t)|2 1有ii埜 n C (t, t )a0X i j i ji=1 j =12.

26、5.2 正交增量过程( orthogonal incremental process )定义28设X(t),t GT是零均值的二阶矩过程，若对于任意 防t3 t4 GT,2.8)-X (t3)J则称 X (t), t G T 为正交增量过程.从定义可以看出，正交增量过程的协方差函数可由其方差确定，且C (s,t) = R (s,t) =a2 (min(s,t)(2.9)XXX则当a s t s t a 时，C (s,t) = R (s,t) =b 2 (t) XXX于是C (s,t) = R (s,t) =02 (min(s,t)XXX2.5.3 独立平稳增量过程( independent s

27、tationary incremental process )定义29给定随机序列 Xn , n 1，如果随机变量叭，X2相互独立，那么随机 序列X , n 1为独立过程(或独立随机序列).n在例 2.1中，如果骰子每次出现的点数是相互独立的，那么得到一个独立随机过程.值得注意的是，就物理意义来说，连续参数独立过程是不存在的，因为，当t和t很12接近时，我们完全有理由说X(t)和X(t )有一定的依赖关系，因此，连续参数独立过12程只是理想化的随机过程.定义210设随机过程X(t),t G T，若对任意正整数n和t t a .XX证明 假设 s 0,且X二0n0(1) X ,n 0是独立增量过

28、程的充要条件是X可以表示为独立随机变量序列的nn部分和(n 1)；(2) X ,n 0是平稳独立增量过程的充要条件是X可以表示为独立同分布随机nn变量序列的部分和(n 1).证明 充分性由定义直接得到,下面证明必要性.令随机变量U = X X , n 1，则X = U U , n 1nnn1nii=1(1) X ,n 0是独立增量随机过程，对任意n，增量U ,U，,U相互独立，因n12n此， U ,U , 是独立随机变量序列；12(2) X ,n 0是平稳独立增量过程时，对任意m,n，增量U ,U同分布，因此，nm nU ,U , 是独立同分布随机变量序列.122.5.4 维纳过程(W i e

29、 n e /process)在概率论中我们都知道，正态分布是一种十分重要的分布，正态过程在随机过程中 的地位类似于正态随机变量在概率论中的地位，尤其在电讯技术中，正态过程有着十 分广泛的应用.定义212设随机过程X(t),t g T，对任意正整数n和t,t，,t e T,12n(X(t),X(丫),X(t )是n维正态分布，即有密度函数12nf (x)=面占丽exp 2( x卩)2 B1( x卩)其中 x = (x , x ,x )T,卩=(EX(t), EX(t ),EX(t )t，B = (b )为正定矩阵，12n12nj nxnb = EX(t ) EX(t )X(t ) EX(t ).

30、则称X (t),te T为正态过程或 Gaussijiijj过程.19世纪英国植物学家布朗( Brown )发现，浸在水中的微小花粉粒子，受到作不规 则运动的水分子的随机碰撞在水面上做不规则的运动，后来，人们把这种运动称为布 朗运动爱因斯坦(Einstein )于1905年第一次给出它的物理解释.1918年，控制论创 始人维纳(Wiener )首先对这个随机过程进行了严格的数学论证，奠定了研究这类随 机过程的基础.定义2.13设随机过程X (t), t g T满足下列条件：(1) X (0)二 0 ；(2) X(t)是独立增量过程；(3) 对任意0 s 0，则称随机过程X (t), t g T

31、为参数为r 2的Wiener过程.从定义可以看出，Wiener过程的参数集T二0,g)，状态空间I二(一叫+Q，而 且Wiener过程也是平稳增量过程，因此，Wiener过程是平稳独立增量过程，另外， 当s t时，X (t) - X (s) N (0, r 2| t - s I)依然成立，特别地，当r 2二1时，随机过 程X (t), t g T为标准Wiener过程.定理2.4设随机过程X (t), t g T为参数为r 2的Wiener过程则( 1) Wiener 过程是一个正态过程；(2) m (t)二 0,r 2(t)二r 2t ； t 0 且XXR (t,t )二 C (t,t )

32、=r 2 min(t,t ), t,t 0(2.10)X 1 2 X 1 21 21 2证明：(2)m (t)二 EX(t)二 EX(t) - X(0)二 0X当t t时，同样可以得到R (t ,t ) =r 2t12X 1 22因此R (t,t ) = r 2 min(t,t )X 1 21 2例2.9设随机过程X (t), t g T为参数为4的Wiener过程，定义随机过程Y(t) = 2X (tf3),t 0，则有Y(t)的均值函数为：m (t) = EY(t) = 2EX(t；3) = 0 ；Y (t ) 的相关函数为：R (t, t )二 EY(t )Y(t )二 4EX (t .

33、X (t Y 1212121 G-4 x 4 min(t /3, t -min(t, t )2.5.5 泊松过程( Poisson process )在现实世界中有很多例子，例如：盖格记数器上的粒子数，二次大战时，伦敦空 袭的弹着点，电话总机所接听的呼唤次数，交通流中事故数，某地区地震发生次数等. 这类过程有如下两个性质：一是时间和空间上的均匀性，二是未来的变化与过去的变 化没有关系，为了描述这类过程的特性，我们来建立Poisson过程的模型.定义2.14给定随机过程N(t),t 0，如果N(t)表示时间段0,t出现的质点数,状态空间 I = 0,1,2,，且满足(1) N(0) = 0 ；

34、(2)当 s t 时，N(s) 0为记数过程(countingprocess)记数过程的样本函数是单调不减的右连续函数(阶梯函数)，当跳跃度为 1 时，称 为简单记数过程.简单记数过程表示同一时刻至多出现一个的记数过程 .记数的对象不 仅仅是电话呼叫次数、来到商店的顾客数，也可表示质点流. 记数过程是时间连续状态 离散的随机过程.定义2.15设随机过程N(t), t 0是记数过程，如果N(t)满足条件：(1) N (0)二 0 ；(2) N(t)是独立增量过程；(3) 对任意a 0，t 0，区间(a, a + t ( a二0是应理解为0, t )上的增量N(a +1) N(a)服从参数为九t的

35、Poisson分布，即PN (a +1) N (a) = k = e-兀-,k = 0,1,2,(2.11)k!则，称N(t), t 0为参数为九的泊松过程(Poisson process ).九0条件(3)表明，N(a +1) N(a)的分布只依赖时间t而与时间起点a无关，因此,Poisson 过程具有平稳增量性，当 a = 0 时，(尢 t)kCPN (t) = k = e-k, k = 0,1,2,九0k!因此，Poisson过程的均值函数为m (t) = EN(t) = kt，它表明在时间段0,t出现的 平均次数为九t ,九称为Poisson过程的强度.因此，Poisson过程表明前后

36、时间的独 立性和时间上的均匀性，强度九描述了随机时间发生的频率.有关Poisson过程的更多结果，后面将进一步论述.2.5.6 马尔可夫过程 ( Markovprocess )定义2.16设随机过程X(t),t g T，对于任意正整数n及t t 0，且条件分布11n-1n-1PX (t ) x I X (t)二 x,X (t )二 x 二 PX(t ) 0nn11n-1n-1nnn-1n-1则称 X (t), t g T 为马尔可夫过程( Markov process ).定义中给出的性质称为马尔可夫性，或称无后效性，它表明若已知系统“现在” 的状态，则系统“未来”所处状态的概率规律性就已确定

37、，而不管系统“过去”的状 态如何.也就是说，系统在现在所处状态的条件下，它将来的状态与过去的状态无关.Markov过程X(t),t g T的状态空间和参数集可以是连续的，也可以是离散的.有关 Markov 过程的进一步讨论，我们将在第四章进行.2. 5.7 鞅过程( martingale process )最近几十年才迅速发展起来的现代鞅(过程)论是概率论的一个重要分支，它给随 机过程论、随机微分方程等提供了基本工具.定义2.17设参数集T二0,1,2,，如果随机序列X(n),n 0对任意n 0,，且EIX(n)I 0 为离散参数鞅( discrete parameter martingale

38、 ).定义2.15设参数集T二0, )，如果随机过程X (t), t g T对任意EI X (t) I t g T，若EX(s) I X(u),u t,a.s.(2.13)则称 X (t), t g T 为连续参数鞅( continuousparameter martingale ).上式中，如果将“=”换成“”，则分别称为离散参数(连续参数)上(或 下)鞅.鞅是用条件期望来定义的，关于离散时间鞅，我们可以作下面的直观解释：设X(n)表示赌徒在第n次赌博时的资本，X(1)表示最初赌本(这是一常数)而X(n) (n 2)由于赌博的输和赢是一个随机变量，如果赌博是公平的，那么每次他的 资本增益的期

39、望为零，在以后的赌博中，他资本的期望值还是他最近一次赌完的资本 数 X (n) ，用数学模型表示，就是定义中的等式，因此，鞅表示一种“公平”的赌博 上鞅和下鞅表示一方赢利的赌博.例2.8设Y(n), n 0相互独立的随机变量序列，Y(0)二0,且EI Y(n) 1 0，令 X(0) = 0,X(n)=工 Y(i),n 1，则X(n),n 0是鞅.i=1证明因为 EI X(n) I= EI Hy(i)l 工I Y(i)l 0是Wiener过程，则它是鞅.证明：对于任意0 s t ，由独立增量性得EX(t)-X(s)l X(s) = EX(t)-X(s) = 0因此，对于任意参数t ,t，,t ,

40、t，(0 = t t t t)有0 1 n01nEX(t)l X(t ),0 in = EX(t) X(t ) + X(t )l X(t ),0 i 0, Y 0),求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t),R (t,t ).X122.2设随机过程X (t) = Acos(et) + B sin(et)，其中w为常数,A, B是相互独立且服 从正态N(0,b 2)的随机变量，求随机过程的均值和相关函数.2.3随机过程X(t)的均值函数m (t)和协方差函数C (t,t ),p (t)为普通函数，令XX 1 2Y(t) = X(t)+p (t)，求随机过程Y(t)的均值和相关函数.2.4设随

41、机过程X(t) = X + Yt + Zt2,其中X,Y,Z是相互独立的随机变量，且均值 为 0,方差为 1,求随机过程 X (t) 的协方差函数.2.5设f (t)是一个周期为T的周期函数，随机变量Y在(0,T)上均匀分布，令1X(t)二 f (t- Y)，证明：随机过程X(t)满足 EX(t)X(t +T)二 J Tf (t)f (t +T)dt T02.6设随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为C (t,t )，证明XY 1 2I C (t , t )l 0是实正交增量过程,X(0)二0,V是标准正态随机变量，对任意的t 0, X(t)与V相互独立，令Y(t)二X(t) + V，求随机过程Y(t),t 0的协方差函数.2.8设Y, Z是独立同分布随机变量,PY = 1 = PY = -1 = i,2X (t) = Y cos(et) + Z sin(01), -a t ,其中0为常数，证明：随机过程X(t)是广义平稳过程，但不是严平稳过程.