常数项级数敛散性的判定法

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1、常数项级数敛散性的判定法常数项级数敛散性的判定法第二节第二节正项正项级数的概念级数的概念则称其为则称其为正项级数正项级数一、正项级数及其敛散性的判定法一、正项级数及其敛散性的判定法，的通项的通项如果级数如果级数01 nnnuu是正项级数，是正项级数，若若 1nnu则其部分和数列则其部分和数列 单调增加单调增加 ns如果部分和数列如果部分和数列 有上界，有上界，ns收收敛敛；则则正正项项级级数数 1nnu如果部分和数列如果部分和数列 没有上界，没有上界，ns发散发散则正项级数则正项级数 1nnu从而我们有从而我们有正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件 有上界有上界其部分和数列其部分和数列

2、正项级数收敛正项级数收敛ns例例 1 讨讨论论 p-级级数数 解解时，时，当当0 ppnnnnu1limlim 时，时，当当1 p由图可知由图可知的收敛性的收敛性 ppppnpnn1413121111，001pp发散发散 ，nsn131211 的图形，的图形，作函数作函数xy1 11nnxdxnxy1 nsn131211 11nxdx)1ln(n所以所以 没有上界，没有上界，ns发散发散 ppppnpnn1413121111p-级数级数 时，时，及及当当10 pp发散发散 时时，当当10 pnnsppn12111211 )1ln(n所以所以 没有上界，没有上界，ns发散发散 时，时，当当1 p

3、oyx)1(1 pxyp1234的图形，的图形，作函数作函数pxy1 由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p所以所以 有上界，有上界，ns收敛收敛),3,2(n综上所述，我们有以下综上所述，我们有以下重要结论重要结论：11npnP级数级数时，时，当当1 p称称为为级级数数 nnn13121111调和级数调和级数，调和级数调和级数是是发散发散的的 发发散散时时，当当收收敛敛时时，当当11pp 时时，发发散散当当时时，收收敛敛于于当当几几何何级级数数1|11|0qqaqaqnn二、正项级数二、正

4、项级数敛散性的判定法敛散性的判定法1.比较判定法比较判定法定理定理 ，其其中中，设设有有级级数数),2,1(011 nvuvunnnnnn也也收收敛敛；收收敛敛，则则如如果果 11)1(nnnnuv也发散也发散发散，则发散，则如果如果 11)2(nnnnvu证明证明nnuuus 21收敛，收敛，1)1(nnv，设为设为其部分和数列有上界其部分和数列有上界)(，收敛收敛 1nnunvvv 21，又又nnvu 即即 的部分和数列有上界，的部分和数列有上界，1nnu由由(1)用反证法可证用反证法可证(2)1.比较判定法比较判定法定理定理 ，其中，其中，设有级数设有级数),2,1(011 nvuvun

5、nnnnn也也收收敛敛；收收敛敛，则则如如果果 11)1(nnnnuv也发散也发散发散，则发散，则如果如果 11)2(nnnnvu根据级数的性质，定理中的条件根据级数的性质，定理中的条件，),2,1(0 nvunn可放宽为：可放宽为：，及及正正数数存存在在正正整整数数kN，使使)(0Nnkvunn 利用利用比较判定法比较判定法判定判定正项级数正项级数的敛散性，需要的敛散性，需要找一个已知敛散性的找一个已知敛散性的正项级数正项级数作为比较级数作为比较级数 常用的比较级数是常用的比较级数是 几何级数几何级数，p-级数级数 例例2 解解，11)1(1)1(nnn 111nn发散，发散，又级数又级数

6、1)1(1nnn发散发散级数级数，nn)31(311)2(另解另解，nnn1)1(1)1(11nn发散，发散，又级数又级数 1)1(1nnn发发散散级级数数 1)31(nn收收敛敛，又又级级数数 1311nn收敛收敛级数级数 11311)2()1(1)1(nnnnn的的敛敛散散性性，判判定定级级数数利用利用比较判定法比较判定法判定判定正项级数正项级数的敛散性，需要的敛散性，需要找一个已知敛散性的找一个已知敛散性的正项级数正项级数作为比较级数作为比较级数 如果所需判定的如果所需判定的正项级数正项级数收敛收敛，则需找一个通项，则需找一个通项 较大的较大的收敛收敛的的正项级数正项级数作为比较级数作为

7、比较级数 如果所需判定的如果所需判定的正项级数正项级数发散发散，则需找一个通项，则需找一个通项 较小的较小的发散发散的的正项级数正项级数作为比较级数作为比较级数 从而在实际问题中，直接应用从而在实际问题中，直接应用比较判定法比较判定法有有很大的盲目性，且也很不方便很大的盲目性，且也很不方便 为此我们给出方便实用的为此我们给出方便实用的比较判定法的极限形式比较判定法的极限形式定理定理(比较判定法的极限形式比较判定法的极限形式)为正项级数，为正项级数，设设 11nnnnvu，如果如果0lim lvunnn有相同的敛散性有相同的敛散性与与则则 11nnnnvu证明证明，0lim lvunnn，对于对

8、于20l ，0 N时，时，当当Nn 2|llvunn 有有，nnnvluvl232 由由比较判定法比较判定法知知 有有相相同同的的敛敛散散性性与与 11nnnnvu，若若特别地，特别地，0 l收敛收敛 1nnv收敛收敛 1nnu，若若 l发散发散 1nnv发散发散 1nnu例例3 解解判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性 .1ln)2()0,0(1sin)1(1221 nnqpnnqpn；qpnn1sinlim)1(，01 的敛散性知，的敛散性知，由由 11nqpn发发散散时时，当当 11sinnqpnqp，011)11ln(lim)2(22 nnn收敛，收敛，又又 121nn收敛收敛 1

9、221lnnnn收收敛敛，时时，当当 11sinnqpnqpqpn1.)12()2()12()1(1133 nnnnnnnn；例例4 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性 解解0)12(lim)1(33 lnnnn？，0211)12(lim)1(633 nnnnn发散，发散，又又 161nn发散发散 133)12(nnnnnnnnn)21()12(lim)2(nnnn)122(lim nnn)1211(lim .1e 收敛，收敛，又又 1)21(nn收敛收敛 1)12(nnnn推论推论 为正项级数，为正项级数，设设 1nnu，如如果果0lim lunnpn时，级数收敛；时，级数收敛；则当则

10、当1 p时，级数发散时，级数发散当当1 p，如如果果0lim npnun，且且1 p级数收敛；级数收敛；，如果如果 npnunlim，且且1 p.级级数数发发散散例例5 收敛收敛存在，证明存在，证明设设 12|limnnnnuun，设设sunnn 2lim证证 ，则则|lim2sunnn 由上述推论知由上述推论知 收收敛敛 1|nnu绝对收敛绝对收敛此时我们也称此时我们也称 1nnu2.比值判定法比值判定法(达朗贝尔判定法达朗贝尔判定法)定理定理 证明证明，0 N时，时，当当Nn|1nnuu有有)(1Nnuunn ，nnnuu1lim，0 时时，当当1 ，取取 1，使使1 r，11 NmmNu

11、ru，12 NNruu，1223 NNNurruu，从而有从而有 111mNmur收敛，收敛，又级数又级数收敛收敛 11NnnmmNuu收敛收敛 1nnu，或或是是正正项项级级数数，如如果果设设)(lim11 nnnnnuuu时时级级数数收收敛敛；则则当当1 时时级级数数发发散散或或当当 1时，时，当当Nn|1nnuu有有)(1Nnuunn 时时，当当1 ，取取1 ，使使1 r时，时，当当Nn，nnnuruu 10lim nnu发散发散 1nnu时，时，同理可证同理可证 发散发散 1nnu注意注意发发散散，级级数数例例如如 11nn收收敛敛，级级数数 121nn)1(比值判定法比值判定法的优点

12、的优点:不必找比较级数不必找比较级数 时时比比值值判判定定法法失失效效当当1 解解)1(!)1(!limlim1 nnuunnnn011lim nn收敛收敛故级数故级数 1!1nn，1 例例6 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性 )2(11)1(limlim nnnnnnnnuu，1011)1(lim nnnnn收收敛敛故故级级数数 11nnn 1!)3(nnnn)3(nnnnnnnnnnuu!)1()1(limlim11 nnnnn)1(lim ，1 e发散发散故故 1!nnnn；1!1)1(nn；11)2(nnn例例7 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 121)1(nnnnn解解1

13、2321)1()2()1(limlim nnnnnnnnnnnnuu13)1()21(lim nnnnnnn13)11()211(lim nnnnn，1 21)1(lim nnnnnn又又22)1(lim nnnnn22)1()1(lim nnnnnnn，01 e所以原级数所以原级数发散发散 所以比值判定法失效所以比值判定法失效例例8 )1997()1()2(lim)1(11 nnnnnaaa收敛收敛级数级数存在；存在；证明证明证证 (1)1(211nnnaaa )1(211nnnnaaaa 又又，0 从而它收敛从而它收敛，易知，易知对题设条件两边取极限对题设条件两边取极限1lim nna，设

14、设),2,1()1(21211 naaaannnnnaa1 ，1 有下界，有下界，数列数列nannaa2121 单调减少，单调减少，数列数列na例例8 )1997()1()2(lim)1(11 nnnnnaaa收敛收敛级数级数存在；存在；证明证明证证 (2)11 nnnaab令令1111limlim2221211 nnnnnnnnaaaabb又又从而由比值判定法知，从而由比值判定法知，10 ，设设),2,1()1(21211 naaaannn，01122 nnaa22244)1(1limnnnnaaa 11)1(nnnaa收敛收敛级数级数例例9 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 12)1(2

15、nnn解解)1(22)1(2limlim11nnnnnnuu 不存在不存在nnnuu1lim ，又又nnnnnvu 232)1(2收敛，收敛，而级数而级数 1123nnnnv所以级数所以级数收收敛敛 112)1(2nnnnnu故故比比值值判判定定法法失失效效 为奇数，为奇数，为偶数，为偶数，nn23613.根值判定法根值判定法(柯西判定法柯西判定法)定理定理 时不能判定时不能判定当当1 例例10 均为正数均为正数，且，且其中其中baaaannn lim解解，ababunnnnn limlim时，级数收敛；时，级数收敛；当当ba 时，级数发散；时，级数发散；当当ba 时时，不不能能判判定定当当b

16、a，或或是正项级数，如果是正项级数，如果设设)(lim1 nnnnnuu时时级级数数收收敛敛；则则当当1 时时级级数数发发散散；或或当当 1的敛散性的敛散性判定级数判定级数nnnab)(1 4.柯西积分判定法柯西积分判定法定理定理 例例11 解解 收收敛敛则则正正项项级级数数1)(nnf时时非非负负且且单单调调减减少少，在在设设函函数数1)(xxf收收敛敛广广义义积积分分 1)(dxxf的的敛敛散散性性判判定定级级数数 2)(ln1npnn 2)(lnpxxdx 2)(lnlnpxxd 2ln，pudu 2)(ln1收敛，收敛，时，时，当当pxxdxp 2)(ln1发发散散时时，当当pxxdx

17、p时发散时发散时收敛，当时收敛，当从而原级数当从而原级数当11 pp例例12 论正确的是论正确的是为正项级数，则下列结为正项级数，则下列结设设)(1 nna(A)收敛收敛，则级数，则级数若若 10limnnnnana(B)(C)(D)发发散散则则，使使得得，若若存存在在非非零零常常数数 1limnnnnana 收敛，则收敛，则若级数若级数0lim21 nnnnana，使得，使得发散，则存在非零常数发散，则存在非零常数若若 nnnnnaalim1解解 正确的选项应是正确的选项应是 BB)2004(，若若取取nnanln1，则则0lim nnna发散，发散，且且 22ln1nnnnna故故 A、D

18、 错错，若若取取nnan1 收敛，收敛，则则 21nnn，且且 nnan2lim故故 C 错错二、交错级数及其敛散性判定法二、交错级数及其敛散性判定法1.交错交错级数的概念级数的概念)1()1(111nnnnnnuu 或或级级数数，其其中中)0(nu称为称为交错级数交错级数它是正负项相间的级数它是正负项相间的级数2.交错交错级数级数敛散性敛散性的的判定法判定法莱布尼茨定理莱布尼茨定理 满足：满足：如果交错级数如果交错级数nnnu 11)1(，),2,1()1(1 nuunn，0lim)2(nnu，则级数收敛，且其和则级数收敛，且其和1us 的的绝绝对对值值其其余余项项1|nnnurr莱布尼茨定

19、理莱布尼茨定理 满足：满足：如果交错级数如果交错级数nnnu 11)1(，),2,1()1(1 nuunn，0lim)2(nnu证明证明nnnnuuuuuus212223212)()(又又)()()(21243212nnnuuuuuus 又又1u，01 nnuu.lim12ussnn 设设，0lim12 nnu 单单调调增增加加，数数列列ns2 有上界，有上界，数列数列ns2)(limlim12212 nnnnnuss，s.)1(111ussunnn 且且，.limssnn 故故，且其和且其和则级数收敛，则级数收敛，1us 的的绝绝对对值值其其余余项项1|nnnurr，又余项又余项)(21 n

20、nnuur，21|nnnuur且满足收敛的两个条件，且满足收敛的两个条件，.|1 nnur定理证毕定理证毕也是交错级数，也是交错级数，例例13 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 111)1(nnn解解，1111 nununn，且且01limlim nunnn所以级数所以级数 收敛收敛 111)1(nnn以后可以证明：以后可以证明：.2ln1)1(11 nnn由定理可知，若以由定理可知，若以 nkkk111)1(，2ln.11|nrn其其误误差差例例14 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 11ln)1(nnnn解解的单调性，的单调性，首先讨论首先讨论nnunln，令令xxxfln)(2ln1

21、)(xxxf 则则.)(0ex ，单调减少，单调减少，时，时，故当故当nun3 xxxfxxlnlim)(lim 又又，0lnlimlim nnunnn故故，01lim xx收敛收敛 11ln)1(nnnn三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛前面我们讨论了前面我们讨论了正正(负负)项级数项级数与与交错级数交错级数敛散性的敛散性的判定法，判定法，定义定义 下面我们讨论任意项级数如何判定其敛散性下面我们讨论任意项级数如何判定其敛散性如级数如级数 收敛，收敛，111)1(nnn发散发散但但 11nn所以级数所以级数 条件收敛条件收敛 111)1(nnn收敛，收敛，若级数若级数 1|nnu为为

22、绝绝对对收收敛敛；则则称称级级数数 1nnu收敛，收敛，发散，而发散，而若若 11|nnnnuu为条件收敛为条件收敛则称则称 1nnu证明证明，|2|0nnnuuu 收敛，收敛，1)|(nnnuu收收敛敛，又又|1 nnu定理定理收收敛敛故故 11)|(nnnnnnuuuu即即 绝对收敛的级数本身一定收敛绝对收敛的级数本身一定收敛 定理的作用：定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数收敛，收敛，若若 1|nnu收敛收敛则则 1nnu例例15 问级数问级数 绝对收敛，还是条件收敛？绝对收敛，还是条件收敛？11ln)1(nnnn解解，)3(1ln nnnn发散，发散，又又 11nn发散发散

23、 1lnnnn收敛，收敛，知知又由前面例又由前面例 11ln)1(11nnnn 11ln)1(nnnn从而级数从而级数条件收敛条件收敛 例例16 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 111)1(npnn解解 111npnp收收敛敛，时时，当当 111)1(npnn 1110npnp发发散散，时时，当当ppnnnu)1(11 但但，1 nu，且且01limlim pnnnnu 111)1(npnn，时时，当当01lim0 pnnp 111)1(npnn绝对收敛绝对收敛；条件收敛条件收敛；发散发散 例例17 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 123cosnnnn 解解|23cos|nnnnu ，

24、令令nnnv2 nnvvnnnnnn221limlim11 又又nnn21lim ，121 收敛，收敛，12nnn根据比较判定法，根据比较判定法，原级数原级数绝对收敛绝对收敛，nn2 例例18 解解，令令)11()1(11 nnnnuua，1lim nnunnann1|lim，2 发散，发散，又级数又级数 11nn(A)发散发散(B)(C)(D)绝绝对对收收敛敛条条件件收收敛敛不能确定不能确定，且且设设1lim0 nnnunu)11(lim1 nnununnnn所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛)2002()11()1(111 nnnnuu则则级级数数例例18 解解 nkkkknuuS1

25、11)11()1(，又又1limlim11 nuunnnnn(A)发散发散(B)(C)(D)绝绝对对收收敛敛条条件件收收敛敛不能确定不能确定，且且设设1lim0 nnnunu，01lim nnu)11()1()11()11(113221 nnnuuuuuu，1111)1(1 nnuu，故故11limuSnn 故应选故应选 CC)2002()11()1(111 nnnnuu则则级级数数例例19 )2003(则则下下列列命命题题正正确确的的是是解解(A)都收敛都收敛与与条件收敛，则条件收敛，则若若 111nnnnnnqpa(B)(C)(D)，设设),2,1(2|2|naaqaapnnnnnn错错、

26、故故CA都收敛都收敛与与绝对收敛，则绝对收敛，则若若 111nnnnnnqpa的的敛敛散散性性都都不不定定与与条条件件收收敛敛，则则若若 111nnnnnnqpa的的敛敛散散性性都都不不定定与与绝绝对对收收敛敛，则则若若 111nnnnnnqpa条件收敛，条件收敛，若若 1nna 11|nnnnaa发发散散，收收敛敛，而而则则都发散都发散及及从而从而 11nnnnqp例例19 )2003(则则下下列列命命题题正正确确的的是是解解，设设),2,1(2|2|naaqaapnnnnnn故应选故应选 BB绝对收敛，绝对收敛，若若 1nna 11|nnnnaa均均收收敛敛，与与则则都收敛都收敛及及从而从

27、而 11nnnnqp(A)都收敛都收敛与与条件收敛，则条件收敛，则若若 111nnnnnnqpa(B)(C)(D)都收敛都收敛与与绝对收敛，则绝对收敛，则若若 111nnnnnnqpa的的敛敛散散性性都都不不定定与与条条件件收收敛敛，则则若若 111nnnnnnqpa的的敛敛散散性性都都不不定定与与绝绝对对收收敛敛，则则若若 111nnnnnnqpa比比(根根)值判定法的一般形式值判定法的一般形式，设设有有级级数数 1nnu，或或如如果果)(|lim1 nnnuu，或或或或)(|lim nnnu则当则当 时，级数绝对收敛；时，级数绝对收敛；1 或或1当当 时，级数发散；时，级数发散；不能判定不

28、能判定时，时，当当1 例例20 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 12)11(21)1(nnnnn解解nnnnnnu)11(21lim|lim ，12 e.)11(21)1(12发发散散 nnnnn最后我们介绍最后我们介绍比比(根根)值判定法的一般形式值判定法的一般形式思考题思考题解答解答nnnuu2lim nnu lim，0 由比较判定法知由比较判定法知 收敛收敛 12nnu反之不成立反之不成立例如：例如：121nn收敛收敛，11nn发散发散也也收收敛敛？收收敛敛，能能否否推推得得设设正正项项级级数数 121nnnnuu反之是否成立？反之是否成立？四、数项级数敛散性判定法小结四、数项级数敛散性判定法小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数敛敛散散性性的的判判定定1.，则级数收敛，则级数收敛若若SSn2.则级数发散则级数发散，当当0 nun3.按基本性质按基本性质4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛与发散绝对收敛与发散5.交错级数交错级数(条件收敛条件收敛)(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)比比(根根)值法的一般形式值法的一般形式