图像处理的数学形态方法

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1、1第八讲 图像处理的数学形态方法2图像处理的数学形态方法 数学形态学是一门建立在数学形态学是一门建立在集合论集合论基础上的学科，基础上的学科，它是几何形态分析和描述的有力工具。它是几何形态分析和描述的有力工具。从某种意义上说，数学形态学实际上构成了一种从某种意义上说，数学形态学实际上构成了一种新型的数字图像分析方法和理论。新型的数字图像分析方法和理论。这门学科最早起源于对岩相学的定理描述工作，这门学科最早起源于对岩相学的定理描述工作，近年来在数字图像处理和机器视觉领域中得到了广近年来在数字图像处理和机器视觉领域中得到了广泛的应用。泛的应用。3图像处理的数学形态方法基本思想：基本思想：用一定形态

2、的结构元素去度量和提取图像中的对用一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。应形状以达到对图像分析和识别的目的。图像目标集合结构元素(探针)小图像，如圆形、正方形、线段的集合移动、描述48.1 数学形态学的基本概念5基本概念1.1.基本集合定义基本集合定义2.2.图像空间的集合表示图像空间的集合表示 对于对于n维图像，可用维图像，可用n维欧式空间的维欧式空间的E(n)中的一个中的一个集合来表示。集合来表示。E(n)的全体集合用的全体集合用R来表示。来表示。假设要考察的图像是假设要考察的图像是R中的一个集合中的一个集合X，而，而X的补的补集则表示图像的背景。集则

3、表示图像的背景。二维图像、三维图像、二值图像或灰度图像都二维图像、三维图像、二值图像或灰度图像都可以用集合来表示，只是表示的维数不同而已。可以用集合来表示，只是表示的维数不同而已。6基本概念 如果在全集如果在全集R中另有一个集合中另有一个集合B，这两个集合，这两个集合X和和B(两幅子图像两幅子图像)至少符合如下一个关系：至少符合如下一个关系：(1)(1)BXXB或(2)(2)XBXB，即(3)(3)XBXBc，即X1B2B3B7基本概念3.3.结构元素结构元素 对于每一个结构元素，我们指定一个原点，它对于每一个结构元素，我们指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点，该原点可是结构元素参

4、与形态学运算的参考点，该原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果会有不同。中，但运算的结果会有不同。在考察分析图像时，要设计一种收集图像信息在考察分析图像时，要设计一种收集图像信息的探针，称为结构元素的探针，称为结构元素B。它是。它是E(n)或其子空间或其子空间E(m)(mn)中的一个集合，具有一定的几何形状，中的一个集合，具有一定的几何形状，如圆形、正方形、十字形、有向线段等的集合。如圆形、正方形、十字形、有向线段等的集合。在图像中不断移动结构元素，便可以考察图像在图像中不断移动结构元素，便可以考察图像中各个部分之间的关系，从

5、而提取有用的特征进中各个部分之间的关系，从而提取有用的特征进行分析和描述。行分析和描述。8基本概念 (2)(2)结构元素的形状最好具有某种凸性结构元素的形状最好具有某种凸性，如圆，如圆形、十字形、方形等。对非凸性子集，由于连接形、十字形、方形等。对非凸性子集，由于连接两点的线段大部分位于集合的外面，落在其补集两点的线段大部分位于集合的外面，落在其补集上，故用非凸性子集作为结构元素将得不到更多上，故用非凸性子集作为结构元素将得不到更多的有用信息的有用信息 结构元素的选取须考虑以下几个原则：结构元素的选取须考虑以下几个原则：(1)(1)结构元素必须在几何上比原图像简单，且结构元素必须在几何上比原图

6、像简单，且有界。有界。其尺寸相对地要小于所考察的物体，当选其尺寸相对地要小于所考察的物体，当选择性质相同或相似的结构元素时，以选取图像某择性质相同或相似的结构元素时，以选取图像某些特征的极限情况为宜。些特征的极限情况为宜。98.2 基本的形态变换10基本的形态变换 膨胀运算膨胀运算(Dilation)膨胀运算也称扩张运算，用符号膨胀运算也称扩张运算，用符号“”表示，表示，X用用B来膨胀记为来膨胀记为XB，定义为：，定义为：XBxBXx)(|膨胀过程可以描述如下：集合膨胀过程可以描述如下：集合B先做关于原点的先做关于原点的映射映射B，然后平移，然后平移x形成集合形成集合xB)(，最后计算集合，最

7、后计算集合xB)(与集合与集合X不为空集的结构元素参考点的集合。换句话不为空集的结构元素参考点的集合。换句话说，用说，用B来膨胀来膨胀X得到的集合是得到的集合是B的位移与集合的位移与集合X至少至少有一个非零元素相交时结构元素有一个非零元素相交时结构元素B的参考点位置的集的参考点位置的集合。因此，膨胀运算又可以写成：合。因此，膨胀运算又可以写成：XXBxBXx)(|11基本的形态变换*膨胀运算膨胀运算示例示例 在计算机上来实现膨胀运算时，必须提出与之相在计算机上来实现膨胀运算时，必须提出与之相适应的方法，它们是适应的方法，它们是向量运算向量运算或或位移运算位移运算，在实际，在实际运算时也更为方便

8、。运算时也更为方便。12基本的形态变换向量运算：将集合向量运算：将集合X与集合与集合B都看成是向量，于是：都看成是向量，于是：BbXxbxyyBX,|对于示例，图像以左上角位置为对于示例，图像以左上角位置为(0,0)，结构元素，结构元素以以“+”+”位置为参考点位置为参考点(0,0)，则，则X和和B分别表示为：分别表示为：)1,0(),1,0(),0,1(),0,1(),0,0()3,5(),3,4(),3,3(),4,2(),3,2(),2,2(BX0 1 2 3 4 5 6 701234567-101 -1 0 113基本的形态变换用向量运算进行膨胀得到：用向量运算进行膨胀得到：)1,0(

9、),1,0(),0,1(),0,1(),0,0()3,5(),3,4(),3,3(),4,2(),3,2(),2,2(BX)4,5(),4,4(),4,3(),5,2(),4,2(),3,2()2,5(),2,4(),2,3(),3,2(),2,2(),1,2()3,6(),3,5(),3,4(),4,3(),3,3(),2,3()3,4(),3,3(),3,2(),4,1(),3,1(),2,1(),3,5(),3,4(),3,3(),4,2(),3,2(),2,2(BX0 1 2 3 4 5 6 701234567),3,6(),4,5(),3,5(),2,5(),4,4(),3,4(),

10、2,4(),4,3(),3,3(),2,3(),4,1(),3,1(),2,1(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(14基本的形态变换 腐蚀运算腐蚀运算(Erosion)膨胀运算也称侵蚀运算，用符号膨胀运算也称侵蚀运算，用符号“”表示，表示，X用用B来腐蚀记为来腐蚀记为XB，定义为：，定义为：XBxBx)(|X 腐蚀过程可以描述如下：集合腐蚀过程可以描述如下：集合B平移平移x后仍在集合后仍在集合X中的结构元素参考点的集合。换句话说，用中的结构元素参考点的集合。换句话说，用B来腐来腐蚀蚀X得到的集合是得到的集合是B完全包括在集合完全包括在集合X中时中时B的参考的参考点位置

11、的集合。点位置的集合。15基本的形态变换*腐蚀运算腐蚀运算示例示例 像膨胀运算一样，腐蚀运算也可以通过向量运算像膨胀运算一样，腐蚀运算也可以通过向量运算或位移运算来实现。腐蚀的向量运算为：或位移运算来实现。腐蚀的向量运算为：BbXbxxB,)(|X16基本的形态变换将上图用向量运算进行腐蚀：将上图用向量运算进行腐蚀：图像的左上角设为图像的左上角设为(0,0)，结构元素的参考点，结构元素的参考点(0,0)，是是B中的中的“+”+”点，则：点，则：)1,0(),0,1(),0,0()5,3(),4,4(),4,3(),3,4(),3,3(),3,2(),2,2(BX17基本的形态变换(2,2)(2

12、,3)(3,3)(4,3)(3,4)(4,4)(3,5)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(3,4)(4,4)(3,5)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(4,4)(5,4)(4,5)(2,3)(2,4)(3,4)(4,4)(3,5)(4,5)(3,6)b(0,0)b(1,0)b(0,1)?XXXXXXXX18基本的形态变换 以上给出的都是参考点包含在结构元素中的情况以上给出的都是参考点包含在结构元素中的情况下膨胀和腐蚀运算，因此对膨胀运算来说，总会有下膨胀和腐蚀运算，因此对膨胀运算来说，总会有BXX。对于腐蚀运算来说，总有。对于腐蚀运算来说，总有XB X。当参考点不属于结构元素的

13、元素时，相应的结果当参考点不属于结构元素的元素时，相应的结果会有所不同。经膨胀运算之后，有些原来属于会有所不同。经膨胀运算之后，有些原来属于X X的的元素就不再属于集合元素就不再属于集合BX，即，即BXX；而经腐；而经腐蚀运算后集合的元素不一定属于原来的集合蚀运算后集合的元素不一定属于原来的集合X，即，即或是或是XB X，或是，或是XB X。19基本的形态变换 由膨胀和腐蚀的向量和位移运算可知，它们都可由膨胀和腐蚀的向量和位移运算可知，它们都可以转化为集合的逻辑运算以转化为集合的逻辑运算(与、或、非与、或、非)。因此，形。因此，形态变换易于物理实现并行处理，这就是形态变换分态变换易于物理实现并

14、行处理，这就是形态变换分析之所以在图像分析与模式识别、计算机视觉中占析之所以在图像分析与模式识别、计算机视觉中占突出地位的重要原因之一。突出地位的重要原因之一。20基本的形态变换 膨胀运算和腐蚀运算图像处理示例膨胀运算和腐蚀运算图像处理示例21基本的形态变换*膨胀和腐蚀运算的性质膨胀和腐蚀运算的性质性质性质1 1 膨胀运算具有互换性：膨胀运算具有互换性：BAXABX)()(性质性质2 2 腐蚀运算不具有互换性：腐蚀运算不具有互换性：XA(X()B)AB性质性质3 3 膨胀和腐蚀运算具有组合性：膨胀和腐蚀运算具有组合性：CBDCBXCBXDX)()(22基本的形态变换*膨胀和腐蚀运算的性质膨胀和

15、腐蚀运算的性质性质性质4 4 膨胀运算和腐蚀运算是增长性的：膨胀运算和腐蚀运算是增长性的：YX)()(BYBX性质性质5 5 膨胀运算具有外延性，而腐蚀运算非外延性：膨胀运算具有外延性，而腐蚀运算非外延性：XXOM).(.外延性定义：外延性定义：性质性质6 6 膨胀运算和腐蚀运算不具有同前性：膨胀运算和腐蚀运算不具有同前性：同前性定义：同前性定义：).(.)(.XOMXnOM23基本的形态变换 复合形态变换：复合形态变换：开启运算开启运算(Opening)和闭合运算和闭合运算(Closing)一般情况下，膨胀与腐蚀不是互为逆运算，所以它一般情况下，膨胀与腐蚀不是互为逆运算，所以它们可以级连结合

16、使用。们可以级连结合使用。膨胀后再腐蚀，或者腐蚀后再膨胀，通常不能恢复膨胀后再腐蚀，或者腐蚀后再膨胀，通常不能恢复成原来图像成原来图像(目标目标)，而是产生一种新的形态变换，这，而是产生一种新的形态变换，这就是形态开启和闭合运算，它们也是数学形态学中的就是形态开启和闭合运算，它们也是数学形态学中的重要运算。重要运算。24基本的形态变换 由此可知，开启运算是先用结构元素对图像进行腐由此可知，开启运算是先用结构元素对图像进行腐蚀之后，再进行膨胀；闭合运算是先用结构元素对图蚀之后，再进行膨胀；闭合运算是先用结构元素对图像进行膨胀之后，再进行腐蚀。开启和闭合运算不受像进行膨胀之后，再进行腐蚀。开启和闭

17、合运算不受参考点是否在结构元素之中的影响。参考点是否在结构元素之中的影响。开启运算的符号用开启运算的符号用“”表示，闭合运算的符合表示，闭合运算的符合用用“”表示，即：表示，即：XBX(BB)(BXBXB25基本的形态变换*开启运算和闭合运算的示例开启运算和闭合运算的示例 开启运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，开启运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细长的突出、边缘毛刺和孤立斑点。去掉细长的突出、边缘毛刺和孤立斑点。闭合运算也是可以平滑图像的轮廓，但与开启运算闭合运算也是可以平滑图像的轮廓，但与开启运算不同，闭合运算一般融合窄的缺口和细长的弯口，能填不同，闭合运算一般融合窄的

18、缺口和细长的弯口，能填补图像的裂缝及破洞，所起的是连通补缺作用，图像的补图像的裂缝及破洞，所起的是连通补缺作用，图像的主要情节保持不变。主要情节保持不变。26基本的形态变换 开启运算和闭合运算图像处理示例开启运算和闭合运算图像处理示例27基本的形态变换*开启运算和闭合运算的性质开启运算和闭合运算的性质性质性质1 1 开启和闭合都具有增长性：开启和闭合都具有增长性：即若即若YX，则：，则：YBXYBX性质性质2 2 开启运算是非外延的，而闭合运算是外延的：开启运算是非外延的，而闭合运算是外延的：BXXXBX,28基本的形态变换性质性质3 3 开启和闭合运算都具有同前性：开启和闭合运算都具有同前性

19、：BXBBXBXBBX)()(性质性质4 4 开启和闭合运算都具有对偶性：开启和闭合运算都具有对偶性：BXBXBXBXCCCC)()(即开启运算和闭合运算是关于集合补和反转即开启运算和闭合运算是关于集合补和反转的对偶，即：的对偶，即：298.3 二值图像的数学形态变换30二值图像的数学形态变换 处理二值图像时，采用的是基于二值数学形态学处理二值图像时，采用的是基于二值数学形态学运算的形态学变换。运算的形态学变换。形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状、形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状、特征的有用成分，特别是应用形态学方法提取某一特征的有用成分，特别是应用形态学方法提取某一区域的边界线

20、、图像边缘轮廓、图像连接成分、物区域的边界线、图像边缘轮廓、图像连接成分、物体骨架特征、目标识别等众多的实际应用。体骨架特征、目标识别等众多的实际应用。31二值图像的数学形态变换 图像的平滑处理图像的平滑处理 图像的边缘提取图像的边缘提取 图像的形态滤波图像的形态滤波 图像的细化图像的细化32二值图像的数学形态变换 图像的平滑处理图像的平滑处理 采集图像时由于各种因素，不可避免地存在着噪采集图像时由于各种因素，不可避免地存在着噪声，多数情况下噪声是加性的。可以通过形态变换声，多数情况下噪声是加性的。可以通过形态变换进行平滑处理，滤除图像的可加性噪声。进行平滑处理，滤除图像的可加性噪声。形态开启

21、是一种串行复合极值滤波，可以切断细形态开启是一种串行复合极值滤波，可以切断细长的搭线，消除图像边缘毛刺和孤立点，具有平滑长的搭线，消除图像边缘毛刺和孤立点，具有平滑图像边界的功能；图像边界的功能；闭合运算是一种串行复合极值滤波，具有平滑边闭合运算是一种串行复合极值滤波，具有平滑边界的作用，能连接短的间断，填充小孔的作用。界的作用，能连接短的间断，填充小孔的作用。33二值图像的数学形态变换 可以通过开启和闭合运算的串行结合来构成形态可以通过开启和闭合运算的串行结合来构成形态噪声滤波器，如下图所示：噪声滤波器，如下图所示：34 图像平滑处理示例图像平滑处理示例二值图像的数学形态变换35二值图像的数

22、学形态变换 图像的边缘提取图像的边缘提取 在一幅图像中，图像的边缘线或棱线是信息量最在一幅图像中，图像的边缘线或棱线是信息量最为丰富的区域，而提取边界或边缘也是图像分割的为丰富的区域，而提取边界或边缘也是图像分割的重要组成部分。重要组成部分。通过提取物体的边界可以明确物体的大致形状，通过提取物体的边界可以明确物体的大致形状，这种做法实质上把一个二维复杂的问题表示成一条这种做法实质上把一个二维复杂的问题表示成一条边缘曲线，大大节约了处理时间，为识别物体带来边缘曲线，大大节约了处理时间，为识别物体带来了方便。了方便。36二值图像的数学形态变换提取物体的轮廓边缘的形态学变换为：提取物体的轮廓边缘的形

23、态学变换为：)BXXY(37 图像的边缘提取示例图像的边缘提取示例二值图像的数学形态变换38二值图像的数学形态变换 形态滤波形态滤波 无论是基本形态变换还是复合形态运算，都可以无论是基本形态变换还是复合形态运算，都可以改变图像的某些特征。改变图像的某些特征。结构元素的形状和大小直接影响形态滤波的输出结构元素的形状和大小直接影响形态滤波的输出效果。不仅不同形状的结构元素，而且不同尺寸的效果。不仅不同形状的结构元素，而且不同尺寸的同形状结构元素，其滤波效果也有明显的差异。同形状结构元素，其滤波效果也有明显的差异。选择不同形状、不同尺寸的结构元素，可以提取选择不同形状、不同尺寸的结构元素，可以提取图

24、像的不同特征。图像的不同特征。39二值图像的数学形态变换40 图像的形态滤波示例图像的形态滤波示例二值图像的数学形态变换41二值图像的数学形态变换 细化细化 物体细化后的骨架是一个非常有用的特征，是描物体细化后的骨架是一个非常有用的特征，是描述图像几何及拓扑性质的重要特征之一，它决定了述图像几何及拓扑性质的重要特征之一，它决定了物体路径的形态。物体路径的形态。求图像骨架的过程，就是对图像进行细化的过程。求图像骨架的过程，就是对图像进行细化的过程。在文字识别、地质构造识别、工业零件识别或图在文字识别、地质构造识别、工业零件识别或图像理解中，先进行细化有助于突出形状特点和减少像理解中，先进行细化有

25、助于突出形状特点和减少冗余的信息。冗余的信息。42 图像细化（骨架提取）示例图像细化（骨架提取）示例二值图像的数学形态变换43实验(三)要求44实验三 实验三：图像处理的数学形态变换实验三：图像处理的数学形态变换 (1)(1)读入原始图像；读入原始图像；(3)(3)运用开启运算和闭合运算，实现图像平滑处理。运用开启运算和闭合运算，实现图像平滑处理。(2)(2)将图像进行二值化，转换成二值图像；将图像进行二值化，转换成二值图像；（一）编写程序，用数学形态变换实现图像的平滑处理。（一）编写程序，用数学形态变换实现图像的平滑处理。45实验三程序提示：程序提示：I1=im2bw(I0,0.5);(1)(1)图像二值化：图像二值化：46实验三(2)(2)开启运算和闭合运算：开启运算和闭合运算：XBX(BB)开启运算：开启运算：)(BXBXB闭合运算：闭合运算：程序实现：程序实现：结构元素：结构元素：se=;膨胀运算：膨胀运算：I2=imdilate(I1,se);腐蚀运算：腐蚀运算：I2=imerode(I1,se);47实验三 实验三：图像处理的数学形态变换实验三：图像处理的数学形态变换 （二）形态滤波：对下图滤出斜方向的米粒分布。（二）形态滤波：对下图滤出斜方向的米粒分布。