华中科技大学2003至2004学年第一学期复变函数与积分变换期末考试试题

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1、华中科技大学2003至2004学年第一学期复变函数与积分变换期末考试试题 华中科技大学复变函数与积分变换试题2004.1.4系别_班级_学号_姓名_题号一二三四五六七八九总分得分得分评卷人一、填空（每题3分，共24分）1的实部是_，虚部是_，辐角主值是_.2满足的点集所形成的平面图形为_，该图形是否为区域_.3在处可展成Taylor级数与在处解析是否等价？_.4的值为_；主值为_.5积分的值为_，_.6函数在处Taylor展开式的收敛半径是_.7设,则_，其中定义为_ .8函数的有限孤立奇点_，是何种类型的奇点？_.得分评卷人二、（6分）设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.得分评

2、卷人三、（8分）设求的值使为调和函数，并求出解析函数.得分评卷人四、（10分）将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数.得分评卷人五、计算下列各题（每小题6分，共24分）1，求2求出在所有孤立奇点处的留数34得分评卷人六、（6分）求上半单位圆域在映射下的象.得分评卷人七、（8分）求一映射，将半带形域映射为单位圆域.得分评卷人八、（6分）设在内解析，在闭圆上连续，且，证明：.得分评卷人九、（8分）用Laplace变换求解常微分方程： 华中科技大学复变函数与积分变换试题解答一、填空（每题3分，共24分）1的实部是，虚部是，辐角主值是.2满足的点集所形成的平面图形为，以2为焦点，长半轴为的椭圆

3、，该图形是否为区域否.3在处可展成Taylor级数与在处解析是否等价？是.4的值为；主值为.5积分的值为，0.6函数在处Taylor展开式的收敛半径是1.7设,则其中定义为.8函数的有限弧立奇点0，是何种类型的奇点？可去.二、（6分）设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.解：（2分）均连续，要满足条件，必须要成立即仅当和时才成立，所以函数处处不解析；（2分）（2分）三、（8分）设求的值使为调和函数，并求出解析函数.解：因，要使为调和函数，则有即（4分）所以时，为调和函数，要使解析，则有，（2分）所以即，故（2分）四、（10分）将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数.解：的有

4、限孤立奇点为及（2分）1）当时（2分）2）当（2分）3）当（2分）4）当（2分）五、计算下列各题（每小题6分，共24分）1，求解：因在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在内，（3分）所以（2分）而点在内，故（1分）2求出在所有孤立奇点处的留数解：函数有孤立奇点0与，而且在内有如下Laurent展开式：（3分）故（2分）（1分）3解：，它共有两个二阶极点，且在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点，所以（2分）（1分）（3分）4解：由三角函数公式（1分）（2分）令，则，于是（1分）被积函数在内只有一阶极点，由公式故由留数定理（2分）六、（6分）求上半单位圆域在映射下的象.解：令，则，（3分）故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径有割痕.（3分）七、（8分）求一映射，将半带形域映射为单位圆域.解：（2分）（1分）（2分）（2分）（1分）八、（6分）设在内解析，在闭圆上连续，且，证明：证：由于（2分）（4分）九、（8分）用Laplace变换求解常微分方程：解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得（4分）即（2分）故（2分）