三、扰动稳态误差终值的计算

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1、3.6.7、扰动稳态误差终值的计算根据终值定理及式(3-81)、式(3-82)，式(3-84)、式(3-86),扰动稳态误差的终值七可由 下式计算：mesn=lim e (t) = lim sE (s) = lim- sN(s)4 (s)t S ss T0s T0C H ( + 1)回(T s + 1)2iji=1j=l+1sv 顶 hs +1) + K H (T s + 1)i ji=1j=1比较式(3-105)及(3-87)可见，4 (s)的分母多项式与七(s) 一样，但七(s)的分子多项 式中只有sv项，不象4偷(s)的分子多项式中有sv+H项。它说明只是控制环节传递函数G1(s) 中串

2、联积分环节的数目v对系统扰动稳态误差有决定性影响。=lim- sN (s)ST0(3-105)一阶跃扰动作用下的稳态误差在单位阶跃扰动作用下n(t) = 1, N (s)=-s这时扰动稳态误差终值为e = lim 4 (s)sn s T0 en二斜坡扰动作用下的稳态误差(3-106)在单位斜坡扰动作用下1 n(t) = t, N (s)= s 2这时扰动稳态误差终值为e = lim 4 (s)sT0 s nsn(3-107)三 加速度扰动作用下的稳态误差在单位加速度扰动作用下n(t) = 12这时扰动稳态误差终值为e = lim4 (s) sT0 s2 nN(s)= s 3sn(3-108)按

3、式(3-105)、(3-106)、(3-107)及(3-108)计算求得的各型系统在不同扰动作用下的稳态误 差终值汇总列于表3-2中。表3-2不同系统中扰动稳态误差的终值扰动稳态误差的终值扰动输入v=0系统v=1系统v=2系统K一(R = 0) 1 + Ku (t)1 3。0) K K 1300t810K K1 t 2 2881q K 3由表3-2可见，系统扰动稳态误差终值有可能为零、常数及无穷大三种情况。当扰动稳 态误差终值为常数时，其值与控制环节及反馈环节的增益乘积成反比。3.6.8、扰动稳态误差级数的计算一 C _ C参考式 e (t) = C x(t) + C 跑)+ -2 嫩t) +

4、 3 x(3)(t) + 可写出系统扰动稳态误差级数的表达式：e(t) = Bn(t) + B% + B勒 +A2、3、sn01式中：B 扰动误差系数，i=1、参考式(3-91)可知，扰动误差系数为B = k (i)(0)i i! eni = 0,1,2,3,A(3-109)(3-110)例3-11设单位反馈系统中控制器和被控对象的传递函数分别为G (s)=二,G (s) = L, 1 s +1 2 s1当扰动n(t)单位阶跃函数时，试求系统的扰动稳态误差。2当扰动n(t)单位斜坡函数时，试求系统的扰动稳态误差。解 系统的开环传递函数为G (s) = G s)G2(s) = 于是,(s) =

5、_*en 1 + G (s) s 2 + s + 5s +1sn1 当扰动为单位阶跃函数时，扰动稳态误差的终值为 e = lim 4 (s) = 0.2 sT0 en根据式(3-110 )可以计算扰动误差系数B0 =4 (0) = 0.2B =栏(0) = 0.16 1 en 如果扰动为单位阶跃函数，即有n(t) = 1,微)=nt) =A = 0于是扰动稳态误差级数是e (t) = B0n(t) + B政t) +A = 0.22当扰动为单位斜坡函数时，扰动稳态误差的终值为e = lim 4 (s) = 8sn s T0 S en根据式(3-110 )可以计算扰动误差系数B =4 (0) =

6、0.2B =展(0) = 0.16 1 en 如果扰动为单位斜坡函数，即有n (t) = t,救t) = 1, n(t) = n (3) (t) = A = 0于是扰动稳态误差级数是e (t) = 0.2t + 0.16亦即扰动稳态误差随时间线性增长，所以当t 8时，稳态误差的终值为无穷大。3.6.9、给定输入、扰动共同作用下系统的稳态误差的终值在实际控制系统中，给定输入和扰动往往是同时存在的。根据线性系统的叠加原理，可 分别求出系统在的给定输入作用下的稳态误差和扰动作用下的稳态误差值，然后把二者相 加，即得到系统在给定输入、扰动共同作用下系统的稳态误差的终值，广，+七3.6.10、减少稳态误

7、差的方法一提高系统的开环增益；二增加开环系统中积分环节的个数；但是这两种方法在其他条件不变时，一般会使闭环系统的稳定性变差，因此要在系统 稳定范围内使用。三米用复合控制当要求控制系统既要有高的稳态精度，又要有良好的动态性能时，如果单靠增加系统 的开环增益或在前向通路中串入积分环节，往往不能同时满足上述要求，这时可采用复合控 制的方法。复合控制结构通常有两种：1对扰动进行补偿的复合控制图3-29为对扰动进行补偿的系统方框图。为了补偿扰动N(s)对系统产生的影响，引入 了扰动的补偿信号，补偿装置为Gn (s)，图3-29按扰动补偿的复合控制系统令X (s) = 0,可以求出在扰动作用下系统的输出为

8、G2(刘1一气(R ( S)s1 + G1( s )G 2( s)(3-111)由上式可见，引入补偿装置后，系统的闭环特征方程式没有发生任何变化，即不会影响系统的稳定性。为了补偿扰动对系统输出的影响，令式(3-111)等号右边的分子为零，则有G 2( s )1 - g( s )Gn (s) = 0气(s)=1Gy)(3-112)在式(3-112)条件下，无论在什么扰动作用下，扰动稳态误差均为零。2按给定输入补偿的复合控制系统图3-30为对输入进行补偿的系统方框图，给定输入信号通过补偿装置Gx(s)，产生一 补偿信号参与控制。图3-30按输入补偿的复合控制系统由图3-30可知，系统的输出为/ (

9、 s ) = G1( s ) + GX( s)G2( s ) X ( s )1 + G (s)G (s)G1(据2(，) 2 X (s )+ Gx( ，)X (s )1 + G (s)G (s)1 + G (s)G (s)根据式(3-73),系统的误差为E (s )= X (s )- Y (s )(3-113)(3-114)将式(3-113)代入式(3-114)有E (s )= X (s )- Y (s)1 一 GX(s)G2(s) X (s)1 + G( s )G2( s)(3-115)令式(3-115)等于零，则有1 - Gx (s匕(s) = 0(3-116)所以有(3-117)Gx =

10、占2式(3-117)表明，当输入补偿装置的传递函数Gx (s)为被控对象的传递函数Gs)的倒数时， 系统的输出量都能无误差地复现输入信号的赢规律。以上两种补偿方法是理想情况下的补偿，在实际应用时，还需考虑到系统模型和参数的 误差、周围环境和使用条件的变化，无法保证稳态误差为零，因此，在具体实施时，如果补 偿后的误差能够控制在允许误差范围之内，就是很满意的了。1时域分析法是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性 能。系统的时间响应由暂态响应和稳态响应两部分组成。2单位阶跃函数是一种重要的函数，控制系统常采用单位阶跃函数作为输入信号，因 为这种典型信号比较容易产生，且对系统的

11、考察是严格的。单位脉冲函数是一种理想的试验 信号。3二阶系统，特别是二阶欠阻尼系统，在时域分析法中占有重要地位，具有典型性。 二阶欠阻尼系统的时间响应虽有振荡，但只要阻尼比& (& = 0.7左右)取值适当，则系统既 有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制工程中常把二阶系统设计为欠阻尼系 统。4如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的暂态响应就可以近似地用这对主 导极点所描述的二阶系统来表征。5对系统首要要求的性能是稳定性。线性定常系统的稳定性取决于系统的暂态响应是否 收敛到零，而这一点取决于系统特征方程式的根。如果系统特征方程式的全部根都具有负实 部，系统就稳定。系统的稳定性

12、是系统本身的固有特性，即系统的稳定性取决于系统本身的 结构和参数。对线性定常系统而言，系统的稳定性和输入信号的形式和大小无关，和初始状 态无关。6判别系统的稳定性有多种方法。本章介绍了一种代数判据，即劳斯判据。劳斯判据根 据代数方程式的根和系数的关系来判别系统稳定与否。7稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要的性能指标。系统的稳态误差 既和系统的结构和参数有关，也和输入信号的形式、大小和作用点有关。思考题3-1在时域分析法中，分析系统的性能时，经常使用哪些典型的实验输入信号？3-2为了考察系统的动态性能，都定义了哪些性能指标？3-3 一阶系统的特征参数是什么？有什么物理意义？3-4什

13、么条件下一阶系统可以分别近似为比例环节或积分环节？3-5为什么比例负反馈可以改变一阶系统阶跃响应的快慢？3-6二阶系统的特征参数是什么？有什么物理意义？3-7二阶系统的性能指标有哪些？分别写出它们的计算公式。3-8二阶系统的阶跃响应都有哪些类型？是由什么来决定的？3-9高阶系统的输出响应是由哪些基本分量构成的？3-10什么是系统的闭环主导极点？3-11线性系统稳定的充分必要条件是什么？3-12如果系统闭环特征方程式的各项系数全部大于零，那么对于系统的稳定性提供了什么样的信息？3-13如何应用劳斯稳定性判据来判别系统的稳定性？3-14什么叫稳态误差？3-15系统的静态误差系数有哪些？如何使用静态

14、误差系数来描述系统的稳态误差？3-16系统的动态误差系数与系统的静态误差系数之间有什么关系？3-17系统的开环增益对系统的稳态误差有何影响？3-18扰动信号对于系统稳态误差的影响是什么？3-1若二阶系统的单位阶跃响应为h(t) = 1 + 0.2e-60t - 1.2e-101(1) 试求其闭环传递函数；(2) 确定其阻尼比&和无阻尼自然频率n3-2设单位反馈系统的开环传递函数为(1) 当开环增益K = 4时，试求在单位阶跃输入作用时，系统的最大超调量M p和调节 时间t ;s(2) 若要使系统的阻尼比& = 0.707，试确定系统的开环增益K。3-3控制系统的方框图如图3-31所示。I I

15、图3-31题3-3图要想使系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%,峰值时间为2s，试确定K和K f 的数值。3-4单位反馈系统的开环传递函数为G (s)=Ks(Ts +1)试求在下列条件下系统单位阶跃响应的超调量和调节时间。(1) K = 4.5, T = 1s(2) K = 1, T = 1s(3) K = 0.16, T = 1s(2) G (s)=()s( s +1)(05 s +1)K (s +1)(4) G (s)=()s(s -1)(s + 5)(1) G (s)=()(s +1)(01 s +1)K (0.5s +1)(3) G (s)=s (s +1)(0.5s 2 + s

16、+1)3-7已知单位反馈控制系统的开环传递函数为K (s +1) G (s)=s (Ts +1)(2 s +1)试确定能使系统稳定的待定参数K和T的数值，并以K和T为坐标轴画出稳定区域图。3-8单位反馈控制系统的开环传递函数为K3-5已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。如果系统不稳定，请确定系统 在右半，平面的特征根数。(1) s4 + 8s3 + 18s2 + 16s + 5 = 0(2) s5 + s4 + 2s3 + 2s2 + 3s + 5 = 0(3) s5 + 3s4 +12s3 + 24s2 + 32s + 48 = 03-6根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定

17、使系统稳定的K值的范围。KKG (s)= s(as + 1)(8s 2 + cs +1)试求：(1)位置误差系数、速度误差系数和加速度误差系数。(2)当参考输入为r x u(t), rt x u(t), rt2 x u(t)时系统的稳态误差。3-9单位反馈控制系统的开环传递函数为4G (s)=s( s + 5)试求：(1)系统的单位阶跃响应和单位速度响应；(2)确定位置速度系数，速度误差系数和当输入r(t)=2t时系统的稳态误差。3-10设单位反馈系统的开环传递函数为10G (s)=s(01 s +1)若输入信号为如下，求系统的给定稳态误差级数(1)x(t) = R (2) x(t) = R

18、+ Rt(3)x(t) = R + Rt +1R 1200101223-11已知系统方框图如图3-32所示，其中参考输入x(t)为定值，(1)(2)图3-32题3-11图当K = 20时，求扰动输入n(t) = 2 x u(t)时系统的稳定输出和稳态误差；当K = 40时，其结果如何？试比较说明之。如果在扰动作用点之前的通道中引入积分环节，其结果又如何？如果在扰动作用点 之后引入积分环节，结果又将如何？(3)3-12设控制系统的方框图如图3-33所示。当扰动n(t) = n0 xu(t)和输入血)二七xu(t) 时，试计算系统在输入和扰动同时作用下的稳态误差。%+1图3-33题3-12图3-13设控制系统的方框图如图3-34所示。(1) 分析说明内反馈Kfs对系统稳定性的影响。(2) 试求位置误差系数，速度误差系数、加速度误差系数，并说明内反馈的存在，对系 统稳态误差的影响。)图3-34题3-13图