1312线段的垂直平分线的性质2

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1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时三、三、线段的垂直平分线的集合定义线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是到线线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合段两端点距离相等的所有点的集合任何图形都是由点组成的。因任何图形都是由点组成的。因此我们可以把图形看成点的集此我们可以把图形看成点的集合。由上述定理和逆定理，线合。由上述定理和逆定理，线段的垂直平分线可以看作符合段的垂直平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形？什么条件的点组成的图形？线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质 性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个线段垂直平分线上的点和这条

2、线段两个端点的距离相等。端点的距离相等。性质逆定理：与性质逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。这条线段的垂直平分线上。PA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上逆定理逆定理性质性质2.2.如图，如图，NMNM是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线,下列说下列说法正确的有：法正确的有：.ABMN,ABMN,AD=DBAD=DB，MNABMNAB，MD=DNMD=DN，ABAB是是MNMN的垂直平分线的垂直平分线.A AB BM MN ND D1.1.下列说法：若直线下列说法：若直线PEPE是线

3、段是线段ABAB的垂直平分线，则的垂直平分线，则EA=EBEA=EB，PA=PBPA=PB；若；若PA=PBPA=PB，EA=EBEA=EB，则直线，则直线PEPE垂直平分垂直平分线段线段ABAB；若；若PA=PBPA=PB，则点，则点P P必是线段必是线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的点；若的点；若EA=EBEA=EB，则过点，则过点E E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段ABAB其其中正确的个数有（）中正确的个数有（）A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个C C练一练练一练 问题思考：问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何既然轴对称图形的对称轴是任

4、何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？图形的对称轴如何来作呢？只要我们找到一对对应只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了两个图形的对称轴了如何作出线段的垂直平分线？如何作出线段的垂直平分线？作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线.已知：线段已知：线段AB.AB.求作：线段求作：线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.A AB BC CD D作法：作法：（2 2）作直线）作直线CD.CD.CDCD即为所求即为所求.结论：结论：对于轴对

5、称图形，只要对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴就得到此图形的对称轴.（1 1）分别以点）分别以点A A，B B为圆心，为圆心，以大于以大于 AB AB的长为半径作弧，的长为半径作弧，两弧交于两弧交于C C，D D两点两点.12（1）任意取一点）任意取一点K，使点使点K与点与点 C 在直线在直线ABAB两旁两旁.对应练习对应练习 经过已知直线外一点作这条直线的垂线。经过已知直线外一点作这条直线的垂线。（2）以点）以点C C为圆心，为圆心，CKCK为半径作弧为半径作弧，交，交ABAB于点于

6、点D D和点和点E.E.（4）作直线）作直线CFCF，直线，直线CF 就是所求作的垂线。就是所求作的垂线。CABKFDE例例1 1：已知：直线已知：直线ABAB和和ABAB外一点外一点C C 求作：求作：ABAB的的 垂线，使它经过点垂线，使它经过点C.C.作法：作法：12DE（3）分别以点）分别以点D D和点和点E E为圆心，大为圆心，大于于 的长的长为半径作弧，两弧相交为半径作弧，两弧相交 于点于点F.F.变式训练：变式训练：经过经过已知直线上一点作已知直线上一点作这条直线的垂线这条直线的垂线1.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴这些对称轴 A

7、AB B作法：作法：（1 1）找出五角星的一对）找出五角星的一对对应点对应点A A和和B B，连接，连接ABAB（2 2）作出线段）作出线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线n n则则n n就是这个五角星的一条对称轴就是这个五角星的一条对称轴 n n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五五条条对称轴对称轴【跟踪训练跟踪训练】2.2.如图，如图，ABCABC中，边中，边ABAB，BCBC的垂直的垂直平分线交于点平分线交于点P.P.（1 1）求证：）求证：PA=PB=PC.PA=PB=PC.（2 2）点）点P P是否也在边是否也在边ACAC的垂

8、直平分线的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？上呢？由此你能得出什么结论？A AP PC CB B结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等到三角形三个顶点的距离相等.1.1.（临沂（临沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角分别是对角线线BDBD上的两点，过点上的两点，过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于则图中阴影部分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称

9、、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即影部分面积等于正方形面积的一半，即 .答案：答案：21a221a22.2.有有A A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.A AB BC C【提示提示】学校在连接任意两学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线点的两条线段的垂直平分线的交点处的交点处.3.3.如图，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BCDBCD

10、的周长的周长.D DC CB BE EA A【解析解析】EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，BCDBCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC BCDBCD的周长的周长=BD=ADBD=AD，AD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=19.12+7=19.4.4.如图，如果如图，如果ACDACD的周长为的周长为18cm18cm，ABCABC的的周长为周长为28cm28cm，DEDE是是BCBC的垂直平分线的垂直平分线,根据这根据这些条件，你可以求出哪条线段的长些条件，你可以求出哪条线段的长?（1 1）ACDACD的周长的周长AD AD CDCD

11、ACAC18cm.18cm.（2 2）ABCABC的周长的周长ABABACACBCBC28cm.28cm.（3 3）由）由DEDE是是BCBC的垂直平分线得：的垂直平分线得：BDBDCDCD；所以；所以ADADCDCDADADBDBDAB.AB.（4 4）由（）由（2 2）中式子（）中式子（1 1）中式子得）中式子得BCBC10cm.10cm.EDCBA【解析解析】5.5.如图，如图，A A，B B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？车站

12、应建在什么地方？BA【提示提示】连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站交点就是要建的公共汽车站.通过本课时的学习，需要我们：通过本课时的学习，需要我们：1.1.了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质.2.2.会灵活运用这些性质来解决问题会灵活运用这些性质来解决问题3.3.用尺规作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个用尺规作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个轴对称图形的一条对称轴的方法轴对称图形的一条对称轴的方法.4.4.找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴的一条对称轴 在数学的领域中在数学的领域中,提出问题的艺术比解答提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要问题的艺术更为重要.康托尔康托尔