函数的单调性和极值

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1、第二节 函数的单调性和极值一、函数单调性的判别方法二、函数极值的判别法三、函数的最大值、最小值的求法一、函数单调性的判别方法 罗尔定理 拉格郎日定理 函数单调性的判别方法定理定理1 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理)(xfy 满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b),使.0)(fxyoab)(xfy 在(a,b)内至少存在一点注意注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,1,010,)(xxxxfx1yo 1,1)(xxxf 1,0)(xxxfx1yo1x1yo使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为)(xfy 在(a,b)内可导,且

2、)(limxfax)(limxfbx在(a,b)内至少存在一点,.0)(f定理定理2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )(1)在区间 a,b 上连续)(xfy 满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点,),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路:利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,)(x在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证证:问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点,),(ba,0)(使即定理结论成立.,)(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕推论推论1:若函数

3、在区间 I 上满足,0)(xf则)(xf在 I 上必为常数.)(xf推论推论2：如果函数 在区间(a,b)内可导，且对于(a,b)中任意 有 则在(a,b)内 ，其中c为常数。/()()fxgx()()f xg x和x()()f xg x与仅相差一个常数()()f xg xc即函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 3.设函数)(xf0)(xf则 在 I 内单调递增)(xf,)0)(xf(递减).证证:无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故.)()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开

4、区间 I 内可导,例1 求函数 f(x)=x3-3x 的单调区间 解（1）该函数的定义区间为（-,）；（2）f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f/(x)=0,得 x=-1,x=1 它们将定义区间分为三个子区间：(,1),(1,1),(1,)x(,1)(-1,1)(1,+)f/(x)+-+f(x)所以单调增加区间为(,1)1 和（，）单调减少区间为（-1，1）例例2.确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故)(xf的单调增单调增区间为,)1

5、,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1(12xoy12yxo说明说明:单调区间的分界点除导数为零的点外,也可是导数不存在的点.例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2)如果函数在某点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 确定函数的单调性的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；3、确定 在各个子区间的符号，从而判断出 的单调性。/()0()fxfx 和不存在的点，/()fx()f x例3 讨论函数23()(1)f xxx的单调性 解 （1）该函数的定义域为(

6、,)（2）12/3313/252()(1)332()0,()520,522(,0),(0,),(,)55xfxxxxxfxxxf xxx令得显然=0为的不可导点,于是分定义区间为三个子区间 （3）列表确定 f(x)的单调性 x(,0)2(0,)5 2(,)5 f/(x)+-+f(x)即 f(x)2(,0)(,),52(0,).5在和上单调增加在上单调减少 例例4.证明方程0155 xx,15)(5xxxf.3)1(,1)0(ff,0)(0 xf,)1,0(011xxx)1(5)(4xxf),1,0(,0 x有且仅有一个小于1 的正实根.证证:1)存在性.则)(xf在 0,1 连续,且由介值定理

7、知存在,)1,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2)唯一性.假设另有,0)(1xf使在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点,.0)(f使但矛盾,故假设不真!设例例5.证明等式.1,1,2arccosarcsinxxx证证:设,arccosarcsin)(xxxf上则在)1,1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)(常数)令 x=0,得.2C又,2)1(f故所证等式在定义域 上成立.1,1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上,0)(xf,0Ix

8、且.)(00Cxf使例例6.证明不等式证法证法1:设,)1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0,)0)(因此应有证法 2 证明不等式 ln(1)(0)1xxxx /22()ln(1),1()0,),0,11()0,1(1)(1)()0,),(0)0,0,()(0),ln(1)1xf xxxf xxxxxfxxxxf xfxf xfxxx设函数因为在上连续 当时所以在区间内单调增加 又因此 当时 恒有即 二、函数的极值函数的极值定义定义:,),(

9、)(内有定义在设函数baxf,),(0bax，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时,)()(0 xfxf(1)则称 为 的极大点极大点,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值;)(0 xf,)()(0 xfxf(2)则称 为 的极小点极小点,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值.)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点.注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大点,2)1(f是极大值 1)2(f是极小

10、值 2x为极小点,12xoy12定理 4 如果函数 f(x)在点 x 的一个邻域内有定义，f(x)在 x 可导，那么 x 是 f(x)的极值点的必要条件是 f/(x)=0 该定理的几何意义是说，可微函数的图形在极值点处的切线与 x 轴平行。定义 使导数 f/(x)为零的点 x,称为函数 f(x)驻点。注意：函数的极值可能在其导数为零的点，或者在连续但不可导的点处取得。在可导情况下，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。定理定理 5(极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1)(xf“左左正正右右负负”,;)(0取极小值在

11、则xxf(2)(xf“左左负负右右正正”,.)(0取极大值在则xxf例例7.求函数求函数32)1()(xxxf的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大点，其极大值为0)0(f是极小点，其极小值为52x33.0)(52f定理定理6(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在

12、点 取极小值.)(xf0 x求函数极值的一般步骤：确定定义域，并求出所给函数的全部驻点 考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点 求出极值点处的函数值，得到极值求函数极值的一般步骤：若函数定理6失效，应运用定理5，其步骤为：1、确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；2、考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；3、求出极值点处函数值，得到极值。/0000()0()0()0()fxfxfxfx且或但不存在例例8.求函数1)1()(32 xxf的极值.解解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判

13、别因,06)0(f故 为极小值;0)0(f又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1定理定理7(判别法的推广判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则:数,且1)当 为偶数时,n,0)(0)(时xfn0 x是极小点;,0)(0)(时xfn0 x是极大点.2)当 为奇数时,n0 x为极值点,且0 x不是极值点.)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo例如例如,例2中1)1()(32 xxf,)35(24)(2 xx

14、xf0)1(f所以1x不是极值点.极值的判别法(定理5 定理7)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如例如:)(xf,)sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.xy11例 9 求函数 23()(67)f xxx的单调区间和极值 解 f(x)的一阶导数为 /2333/1224107()(67)67677()0,.1077()66xxfxxxxfxxxf xx 令得驻点又时，不可导，即是不可导点。x 76（，-）76 77610（，）710 710（，）f/(x)+不可导-0+f(x)极大值 极小值 从表中可知：1327

15、7()066777()9801010507761077610 xfxf 是极大值点，极大值是极小值点，极小值单调增加区间（-，），（，）单调减少区间（，）。三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)

16、(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)例 10 321()(1)12f xxx求在，上的最大值和最小值 312312352(),()32(0(5234()()0.32575525()(0)011)0.315024(0)0,xxf xxxxf xff xff /解 因为f所以的可能极值点为驻点）和不可导点），相应的函数值1区间端点的函数值f(-1)=-2,f(21比较这四个数的大小得知f(x)在-1，上2最大值为最小值为f(-1)=-2)1292(2 xx1224)9(209681

17、012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例11.求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.解解:显然,)(2541Cxf且)(xf,)1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2,1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5)1(f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0;在1x及25取最大值 5.,)2)(1(6xx,)2)(1(6xx251 241例12 函数 f(x)=2x3-6x2-18x-7 在区间1，4上的最小值 解 f/(x)=6x2

18、-12x-18=6(x-3)(x+1)令 f/(x)=0 得驻点1223,11xxx 。不在给定区间1，4内，故不必讨论21x 的极值情况。f(3)=2*33-6*32-18*3-7=-61 f(1)=-29 f(4)=2*43-6*42-18*4-7=128-96-72-7=-47 比较这三个数的大小得知，f(x)在1，4上的最小值为 f(3)=-61(k 为某一常数)例例13.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20AB100C解解:设,(km)

19、xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000(x,)34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问DKm,公路,例例14.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd261hbw,)(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意义可知,所求最值

20、存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.例15 某产品的次品率 y 与日产量 x 之间的关系为 1,01001011,100 xyxx 若每件产品的赢利为 A 元，每件次品造成的损失为A/3 元，试求赢利最多的日产量。解 按题意，x 应为正整数，设 x0,100,日产量为x 时赢利为 T(x),这时次品数为 xy,正品为 x-xy,因此()()3(),(0100)1013 101()AT xA xxyxyxAxA xxxxT x于是问题就归结为求的最大值。/2()1()()1013 101410113(101)xAxTxAxxAx 令 T/(x)=0 可得 T(x)的唯一驻点 x=89.4

21、。因此 x=89.4 是使 T(x)取得最大值的点，因为 x 实际 上 是 正 整 数，所 以 将T(89)=79.11A与T(90)=79.09A 相比较，即知每天生产 89 件产品赢利最多。用开始移动,F例例16.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作P解解:克服摩擦的水平分力cosFFx正压力sin5FFPygcosF)sin5(Fg即,sincos5gF,02令sincos)(则问题转化为求)(的最大值问题.F 为多少时才可使力F,25.0设摩擦系数F问力与水平面夹角的大小最小?cossin)(sincos)(令,0)(解得arctan25.0arctan214,0)(而,

22、)(214取最大值时因而 F 取最小值.解解:FP即令则问题转化为求的最大值问题.,sincos5gF,02sincos)()(清楚(视角 最大)?m,例例17.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于x4.18.1解解:设观察者与墙的距离为 x m,则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最内容小结内容小结1.连续函数的极值

23、(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3)第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf(4)判别法的推广最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习思考与练习(L.P500 题4)2.连续函数的最值1.设,1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.

24、B提示提示:利用极限的保号性.费马费马(1601 1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.拉格朗日拉格朗日(1736 1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主

25、要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,2.设)(xf在0 x的某邻域内连续,且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A)不可导;(B)可导,且;0)0(f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.3.设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx