贝塞尔函数释疑

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1、数理方程中与贝塞尔函数有关的问题据百度百科介绍：贝塞尔（17841846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。20岁时发 表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年 当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以天文学基础（1818）为标志发 展了实验天文学，还编制基本星表，测定恒星视差，预言伴星的存在，导出用于天文计 算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折 射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的 一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供

2、了重要工具。此外，他在 大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。（图片来自维基百科）一、贝塞尔方程与贝塞尔函数二、贝塞尔方程与欧拉方程比较三、贝塞尔函数与伽马函数四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较右图来自网页“维基百科一一自由的百科全书”中贝塞尔 函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受 到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一 个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振 动是各阶类似振动形态的叠加一、贝塞尔方程与贝塞尔函数Bessel方程是二阶线性变系数齐次常微分方程d2 ydyx2 + x + （x2 一 v2）y = 0d

3、x 2 dx其中，v是常数，称为Bessel方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。该方程 的解无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类Bessel函数和第二类Bessel函数的 线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的贝 塞尔函数是指第一类Bessel函数Jv（x） = * m!r（v+m +1）（x）v+2mm=0贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方 程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式）， 因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的

4、问题 有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振 动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。在教科书中Bessel方程来源1. 在圆柱坐标系下解二维热传导方程；u = a2（u + u ）, x2 + y2 0 u（x, y,0）=中（x, y）, x2 + y2 R2u = 0, x 2 + y 2 = R 2X.用分离变量法，令u（x, y, t） = V（x, y） T （t）,代入方程整得二=匕+ .= 一人a汀 V由

5、此得两个方程Tf(t) + a2X T(t) = 0 , V + V +人 V = 0其中，一阶常微分方程的通解为T (t) = A exp( 一a 2 X t)而另一个是圆域上Laplace算子的固有值问题，在极坐标系下/ 2V 1 dV 1 d 2V 顼 D疝 + 6弗 + 函丽 + XV = 5v|= 0、 p= R再一次使用分离变量法，令V(p9) = P(p)0(9)，代入方程整理得p 2 P+ pP + Xp 2 P 一0=uP0由此得两个方程0+U0 = 0， p 2P+pP+ (Xp 2 - u)P = 0第一个二阶常微分方程的通解为_0(9) = C cos u9 + C s

6、in %,阚引入周期边值条件0(2兀)=0(0)，得cos2、m= 1。所以固有值u = n2，(n = 0，1, 2，)固有函数系为0 (9 )=上a ， 0 (9) = a cosn9 + b sinn9， (n = 1， 2，)02 0 nnn将固有值代入第二个常微分方程，得p2P+ pP + (Xp2 -n2)P = 0令x = Xp，y3) = P3/ *X)，则方程转化为标准的整数阶贝塞尔方程d2 y dyx2+ x+ (x2 一n2)y = 0dx 2 dx2. 圆柱坐标系下解二维波动方程；rz八u = a2(u + u ), x2 + y2 0 u(x, y,0) *(x, y

7、), % (x, y,0) =W (x, y), x2 + y2 0用分离变量法，令u(x, y, t) = V(x, y) T (t),代入方程整得二=Vxx + Vyy = -X a 2TV由此得两个方程V + V +XV = 0 , T(t) + a2XT(t) = 0第一个是圆域上Laplace算子的固有值问题，与热传导问题类似可得整数阶贝塞尔方程d 2 y dyx2+ x + (x2 一n2)y = 0dx 2dx3. 在圆柱坐标系下解三维拉普拉斯方程或亥姆霍夫方程。圆域上亥姆霍兹方程边值问题。2V1 dV1 d 2V八+ - + - + k 2V = 0, 0 VpV 尺0 0 2

8、 兀V = 0, 00 2兀用分离变量法，令V(p,0) = P(p)0(0)，代入方程整理得P 2 P+pP + k 2 p 2 P一0=LXP0由此得两个方程0+X0 = 0 , p 2P+pP + (k2 p 2 X)P = 0第一个二阶常微分方程的通解为_0(0) = Cicos、.X0 + C2 sin |lx0引入周期边值条件0(2兀)=0(0)，得cos2(口兀=1。所以固有值X = n2, (n = 0, 1, 2,)固有函数系为0 (0 )=上a , 0 (0) = a cosn0 + b sinn0 , (n = 1, 2,)02 0 nnn将固有值代入第二个常微分方程，得

9、p 2 P+ pP+ (k 2 p 2 一 n 2) P = 0令x = kp , y(x) = P(x/k)，则方程转化为标准的整数阶贝塞尔方程d2 y dyx2+ x + (x2 -n2)y = 0dx 2dx二、贝塞尔方程与欧拉方程比较欧拉方程d 2 ydy八x 2+ x +人 y = 0dx 2dx也是一类二阶线性变系数齐次常微分方程。该方程的二阶导数项和一阶导数项表达式与 贝塞尔方程相同。不同的是，贝塞尔方程中函数项系数为变系数，欧拉方程中函数项系数为常数。贝塞尔方程只能求出级数形式的解，即使是零阶贝塞尔方程d 2ydy八x 2+ x+ x 2 y = 0dx 2dx欧拉方程可以通过

10、自变量变换成为线性常系数常微分方程。作变换：x = exp(t)，即 t = lnx，未知函数的导数为dydy dt1 dydxdt dxx dtd2 y 1 dy 1 d dy 1 ,d2 y dydx 2代入微分方程，得+()=()x 2 dt x dx dt x 2 dx 2dt(也-空)+空+人y = 0 dt 2dt dtd 2 y方程化简为：灯+ *y = 0,该方程有初等函数表达式的通解。三、贝塞尔函数与伽马函数1 .正整数阶贝塞尔函数贝塞尔函数的阶数V不一定是整数。引入伽马函数使表达式简化，但有一丝神秘J (x) = E ( x ) ,+ 2 mvm!r(v + m +1) 2

11、m=0当阶数为正整数时，贝塞尔函数可写成J n (x) = #m=0零阶贝塞尔函数J (x) = # 斗(0(m!)2m=0还有一种是积分形式(可用于数值计算实验)J (x) = 2! 2兀cos(ug - xsin&)dg(1) mv2.负整数阶贝塞尔函数由于自变量为负值时，伽马函数的值趋于正无穷大，所以负整数阶贝塞尔函数了(1)mx- * _m!(-n + m +1) 2 一”* 中对于m J1dx = S0 xs+10 xs+1xs所以自变量为负值时，伽马函数的值趋于正无穷大。四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较1 .贝塞尔函数的级数收敛性贝塞尔函数通常用级数表达式(1) mJ (x) = E W () n+2mnm!r(n + m +1) 2m=0利用交错级数的收敛判别法用系数比值取极限lim I 01= limm!r(n + m +1)= limm* a2mm* 4(m + 1)!r(n + m + 2) in“ 4(m +1)(n + m +1)所以级数对任意自变量x收敛。2.几个常用函数的台劳级数展式Y (1)m顶(1)msin x =，x 2 m+1cos x =。x 2 m(2m +1)!(2m)!m=0m=0(1) m-1 Xmmm=1尹1exp( x)=乙一xmm!m=0